一元二次函数方程和不等式教学设计(陈开懋)

课题：一元二次函数、方程和不等式（衔接课）华中师范大学第一附属中学陈开懋一、教案设计1.教案内容解读在现行人民教育出版社A版高中数学教材中，“一元二次不等式的解法”这一部分内容安排在《必修5》的第三章第二节，学生高二时才学习，导致高一学生在学习《必修1》的“集合”、“函数”等内容时，有一定的障碍，达不到一定的深度，初高中数学内容衔接不连贯，对于这一部分内容，老师普遍认为应调整到《必修1》之前，或是安排在《必修1》的“集合”之后，“函数”之前比较好.本节课的产生正是基于以上原因，但它并不是一节“一元二次不等式的解法”的新知课，也不是一节复习课，而是一节衔接课，以一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式（后面称三个“二次”）三者之间的关系及其应用为核心内容，特别是用函数的观点来处理方程与不等式问题，引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，为高中数学课程的学习作学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡.三个“二次”是初中三个“一次”（一元一次函数、一元一次方程与一元一次不等式）在知识上的延伸和发展，它是函数、方程、不等式问题的基础和核心，在高中数学中，许多问题的解决都会直接或间接用到三个“二次”.如，解读几何中解决直线与二次曲线位置关系问题，导数中导函数为二次函数时的许多问题等，同时，此部分内容又是培养函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想以及等价转化思想的极好素材，本节课的地位和作用主要体现在它的基础性和工具性方面.根据以上分析，本节课的教案重点确定为教案重点：一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式三者之间的关系及应用.2.学生学情诊断本节课的授课对象为华中师大一附中高一平行班学生，华中师大一附中是湖北省示范高中，学生基础很好，一般而言，学生已经掌握了一次函数、二次函数的图象与性质，简单的一元二次不等式的解法，能利用函数图象解决简单的方程和不等式问题.但是，当所研究的问题中含有参数或者综合性较强、或者运算较复杂的时候，学生往往不能正确理解题意，不能准确地利用三个“二次”之间的内在联系进行合理转化，不善于分类讨论，不善于归纳总结，对函数、方程、不等式的处理方法不够完整，没有形成基本的规律.教案难点：含参数的二次方程、不等式，如何利用三个“二次”之间的关系进行等价转化处理，为今后处理其它类型的函数、方程、不等式问题提供范式.3.教案目标设置(1)理解一元二次函数、一元二次方程及一元二次不等式三者之间的关系；(2)能够用二次函数的观点处理二次方程和二次不等式问题，感悟函数的重要性以及数学知识之间的关联性；(3)引导学生感悟高中阶段数学课程的特征，适应高中阶段的数学学习，能够在本主题的学习中，逐步提升数学抽象、逻辑推理、几何直观和数学运算等核心素养.4.教案策略分析本课作为初高中内容和方法上的“衔接课”，有其重要特点：一不能靠单纯的复习；二不宜上成新课；三，必须展示基本的套路，而又不可能一次到位；四，需要立足于函数、圆锥曲线等核心概念必然联系的高度，着眼于继续学习，而又必须遵循数学的自然顺序，避免后继内容的前移。这种课的关键是整合和提升，形成基本套路并了解它在进一步学习中的基本价值。这些都需要问题驱动，循序渐进，在师生互动中不断地归纳总结。教案流程：5．教案过程环节一：回顾师：同学们，我们初中学过一元一次不等式，同学们说说这个不等式023x的解集是多少啊？生：32x.师：诶，怎么算出来的啊？哪位同学来说说？生：把2移到右边去，再不等式左右两边同时除以3.师：你的解题依据是什么呢？生：不等式的性质.师：很好，请坐，这位同学利用不等式的性质，从代数的角度把这个不等式解出来了，还有其它的解法吗？生：可以先画出一次函数的图象，从图象可以看出不等式的解集.师：好，我们先画图象，怎么画这个函数的图象？生：找两个点.师：找那两个点比较好？生：与坐标轴的交点.师：与x轴的交点是多少?生：)0,32(.师：这32是怎么出来的啊？生：令0y.即023x，这个方程的根.师：很好，与x轴的交点的横坐标恰好是对应一次方程的根.与y轴的交点是多少？生：令0x.得2y，交点)2,0(.师：所以这个不等式的解集就是？生：32x，即图象在x轴上方时所对应的x的范围.师：很好，请坐，由此可以看出一次函数、一次方程和一次不等式三者之间有着密切的联系，谁来概括一下？生：一次方程的根就是一次函数图象与x轴交点的横坐标（即一次函数的零点），一次不等式的解集就是一次函数图象在x轴上方时所对应的x的范围，一次方程的根也是一次不等式解集的端点师：同学们再想一想，这三者之间为什么会有关系呢？生：……师：我们从代数表达式来看一看，一次方程、一次不等式和一次函数，这个三个表达式有什么共同点？^……，都含有一次式，对吧，所以它们之间有关系.【评析】回顾初中知识，利用一次函数的图象理解一次方程和一次不等式.由三个“一次”，类比引出课题，并为三个“二次”的研究提供思路.环节二：整合回顾整合提升展望师：很好，一次函数、一次方程和一次不等式三者之间有着密切的关系.我们再来看一下一元二次函数)0(2acbxaxy，一元二次方程)0(02acbxax、一元二次不等式)0(02acbxax，)0(02acbxax.师：从它们表达式来看，好像也有相同的部分，是什么呀？……，二次多项式，对吧？那么这三个二次之间是否也有类似三个一次之间的关系呢？这就是我们这节课要研究的内容，首先请同学们画画这个二次函数的图象.（板书课题）画出二次函数322xxy的图象.观看几何画板动画，随着动点C横坐标x的变化，纵坐标y的变化情况.（1）当x取哪些值时，0y？（2）方程0322xx的根为；当x取哪些值时，0y？不等式0322xx的解集为；当x取哪些值时，0y？不等式0322xx的解集为.问题2：一元二次方程0322xx，一元二次不等式0322xx和一元二次函数322xxy，三者之间有什么关系？动画展示：问题3：对于一般的一元二次方程、一元二次不等式和一元二次函数，三者之间有什么关系？小组合作探究：画一画看一看说一说变一变师：二次函数、方程和不等式三者之间有着密切的联系，函数是核心，图象是载体，可以通过函数的观点来处理方程和不等式问题.【评析】以具体的常系数的二次函数、方程、不等式为例，让学生通过类比三个“一次”，理解三个“二次”之间的内在联系，突出二次函数在“三个二次”中的中心地位。并对一般情形的二次函数、方程和不等式之间的关系进行整合，培养学生的数学抽象、几何直观、逻辑推理等核心数学素养，具体策略是问题驱动，在教案中，鼓励学生自主探索、合作研究.师：好，对于一个具体的一元二次不等式，我们会求解集，如果反过来，已知不等式的解集，你会求这个不等式吗？同学们思考这样的一个问题：【例1】已知关于x的不等式02cbxx的解集为)3,1(，求实数cb,的值.【评析】逆向变式，强化一元二次函数、方程和不等式的内在联系.生1：依题意，3,1是对应一元二次方程02cbxx的两根，将1x和3x代入方程得，0330)1()1(22cbcb，即09301cbcb，解得32cb.生2：依题意，3,1是对应一元二次方程02cbxx的两根，由韦达定理有cb3131，解得32cb.师：很好，请坐.根据三个“二次”之间的关系，不等式的解集就是函数图象在x轴下方时，所对应的x的取值范围，所以3,1正好是图象与x轴交点的横坐标，也就是方程02cbxx的两个根，从而根据韦达定理，可以求出cb,的值.（画图分析）环节三：提升辩证唯物主义告诉我们，任何事物都是运动、变化、发展的，当我们将方程和不等式中常系数改为字母时,随着字母取值的不同，方程的根和不等式的解会发生相应的变化，这类方程和不等式称为含参方程和含参不等式，下面我们一起来研究两个含参问题.师：我们再把前面那个具体的方程变一下，系数上加一个参数，同学们0y1x一元二次函数一元二次方程一元二次不等式图象思考这样的一个问题：【例2】已知关于x的方程0322axx，一根小于1，另一根大于1，求实数a的取值范围.【评析】含参二次方程问题，继续对二次方程和二次函数进行整合提升，用函数的观点来处理方程问题.生1：设32)(2axxxf，则0)1(f，解之得2a.师：有不同意见吗？生2：不对，应该还要0.师：诶，生2好像说得很有道理呢？还有其它观点吗？生3：我觉得生1是对的，因为0的作用是控制图象与x轴有两个交点，而这是开口向上的抛物线，0)1(f也能保证与x轴有两个交点.师，同学们同意哪位同学的说法？生：曾子轩.师：很好，题目要求这个方程的两根，一个小于1，一个大于1，根据函数与方程的关系，方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标，我们可以通过控制二次函数的图象来控制方程的根，也就是要保证函数图象与x轴的交点，一个在1的左侧，一个在1的右侧.只需要0)1(f，就可以控制住这个二次函数的图象了，当然如果把0加进去，可不可以？也是可以的.我们从代数的角度来检验一下，看两种解法的答案是否一样？法1：202-4)1(aaf法2：2330124202-4)1(2aaaaaaf或.师：这是一个方程问题，我们可以根据函数与方程的关系将它转化为函数问题来处理.师：我们再把前面那个具体的不等式也变一下，系数上加一个参数，同学们思考这样的一个问题：【例3】若不等式0322axx对任意]3,1[x恒成立，求实数a的取值范围.【评析】含参二次不等式问题，继续对二次不等式和二次函数进行整合提升，用函数的观点来处理不等式问题.组内学生相互讨论，分析解题思路，再让学生先分析.学生分析：只需二次函数32)(2axxxf，在]3,1[x这一段的图象位于x轴上方，应分三种情况讨论，当对称轴在区间的左边、中间和右边.师：非常不错啊，刘钰欣同学将这个不等式问题等价转化为函数图象问题，只需要函数图象在]3,1[x这一段的图象位于x轴上方即可.如何保证图象在x轴上方呢？我们边看动画一起来分析.动画展示：随着a的取值变化，函数图象与x轴的位置关系.师：当对称轴在区间的左边时，怎么样就能保证图象在x轴上方？生：只需要0)1(f，师：很好，因为当对称轴在区间的左边时，函数在]3,1[x这一段的图象是上升的，即y随着x的增大而增大，只需要最小值0)1(f即可.师：当对称轴在区间的里面时，怎么样就能保证图象在x轴上方？生：0.师：还可以通过什么来控制？生：0)(af.师：就是函数的最小值大于零即可.师：再来看，当对称轴在区间的右边时，怎么样就能保证图象在x轴上方？生：只需要0)3(f，师：很好，因为当对称轴在区间的右边时，函数在]3,1[x这一段的图象是下降的，即y随着x的增大而减小，只需要最小值0)3(f即可.下面同学们把具体的解答过程写出来，找一个同学上黑板完成具体过程：生：记32)(2axxxf，这个函数的对称轴为ax，则当1a时，只需要024)1(af，解得2a,又1a，所以12a；当31a时，只需要01242a，解得33a，又31a，所以31a；当3a时，只需要0612)3(af，解得2a,与3a矛盾.综上：32a.师：找个同学来点评一下.生：答案正确，但解题过程有点不对，没有讨论1a和3a的情况.师：很好，这两种情况，可以加在哪里比较好.生：加在中间.师：很好，对于含参问题，我们除了要选择恰当的分类讨论标准之外，还应该注意分类讨论还应做到不重不漏..师：好，这是一个不等式问题，我们仍然将它转化为一个函数问题来处理.环节四：展望师：同学们，今天莅