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第一章 章末检测题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知全集U={0,1,2,3}且∁UA={0,2},则集合A的真子集共有( )A.3个 B.4个C.5个D.6个答案 A2.设S,T是两个非空集合,且它们互不包含,那么S∪(S∩T)等于( )A.S∩TB.SC.∅D.T答案 B解析 ∵S∩T⊆S,∴S∪(S∩T)=S.3.已知全集U=Z,A={-1,0,1,2},B={x|x2=x},则A∩(∁UB)为( )A.{-1,2}B.{-1,0}C.{0,1}D.{1,2}答案 A4.已知A={0,1},B={-1,0,1},f是从A到B的映射,则满足f(0)f(1)的映射有( )A.3个B.4个C.5个D.2个答案 A5.已知f(x)=则f(8)的函数值为( )A.-312B.-174C.174D.-76答案 D6.已知函数y=f(x)在区间[-5,5]上是增函数,那么下列不等式中成立的是( )A.f(4)f(-π)f(3)B.f(π)f(4)f(3)C.f(4)f(3)f(π)D.f(-3)f(-π)f(-4)答案 D7.设f(x)是R上的偶函数,且当x∈(0,+∞)时,f(x)=x(1+),则当x∈(-∞,0)时,f(x)等于( )A.x(1+)B.-x(1+)C.-x(1-)D.x(1-)答案 C8.当1≤x≤3时,函数f(x)=2x2-6x+c的值域为( )A.[f(1),f(3)]B.[f(1),f()]C.[f(),f(3)]D.[c,f(3)]答案 C9.已知集合M⊆{4,7,8},且M中至多有一个偶数,则这样的集合共有( )A.5个B.6个C.7个D.8个答案 B解析 M可能为∅,{7},{4},{8},{7,4},{7,8}共6个.10.若函数f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域是( )A.[0,2]B.(1,2]C.[0,1)D.以上都不对答案 C11.已知二次函数f(x)=x2-2x+m,对任意x∈R有( )A.f(1-x)=f(1+x)B.f(-1-x)=f(-1+x)C.f(x-1)=f(x+1)D.f(-x)=f(x)答案 A12.已知f(x)=3-2|x|,g(x)=x2-2x,F(x)=则F(x)的最值是( )A.最大值为3,最小值-1B.最大值为7-2,无最小值C.最大值为3,无最小值D.既无最大值,又无最小值答案 B二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知集合A={x∈N|∈N}用列举法表示A,则A=________.答案 {0,1}解析 由∈N,知2-x=1,2,4,8,又x∈N,∴x=1或0.14.已知集合A={1,3,m},B={3,4},A∪B={1,2,3,4},则m=________.答案 215.国家规定个人稿费的纳税办法是:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4000元的按超过800元的14%纳税;超过4000元的按全部稿酬的11%纳税.某人出版了一本书,共纳税420元,则这个人的稿费为________元.答案 380016.若直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是________.答案 1a解析 由图知a1且抛物线顶点的纵坐标小于1.即⇒1a.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(10分)已知全集U={x|x-2≥0或x-1≤0},A={x|x1或x3},B={x|x≤1或x2},求A∩B,A∪B,(∁UA)∩(∁UB),(∁UA)∪(∁UB).解析 全集U={x|x≥2或x≤1},∴A∩B=A={x|x1或x3};A∪B=B={x|x≤1或x2};(∁UA)∩(∁UB)=∁U(A∪B)={2};(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)={x|2≤x≤3或x=1}.18.(12分)设A={-3,4},B={x|x2-2ax+b=0},B≠∅,且A∩B=B,求a,b的值.解析 ∵A∩B=B,∴B⊆A,∴B=∅或{-3}或{4}或{-3,4}.(1)若B=∅,不满足题意.∴舍去.(2)若B={-3},则解得(3)若B={4},则解得(4)若B={-3,4},则解得19.(12分)已知函数f(x)=.(1)判断函数f(x)在(-∞,0)上的单调性,并证明你的结论;(2)求出函数f(x)在[-3,-1]上的最大值与最小值.解析 (1)设任意x1,x2∈(-∞,0),且x1x2,而f(x1)-f(x2)=-=,由x1+x20,x2-x10,得f(x1)-f(x2)0,得f(x1)f(x2),故函数f(x)=在(-∞,0)上为单调递增函数.(2)f(x)min=f(-3)=,f(x)max=f(-1)=,故f(x)在[-3,-1]上的最大值为,最小值为.20.(12分)某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价为60元,该厂为鼓励销售订购,决定当一次订量超过100个时,每多订购一个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元.(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰好降为51元?(2)设一次订购量为x个,零件的实际出厂单价为P元,写出函数P=f(x)的表达式;(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-成本价)?解析 (1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为x0个,则x0=100+=550.因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实际出厂价格为51元.(2)当0x≤100时,P=60.当100x550时,P=60-0.02(x-100)=62-.当x≥550时,P=51.所以P=f(x)=(3)设销售商的一次订购量为x个时,工厂获得的利润为L元,则L=(P-40)x=当x=500时,L=6000;当x=1000时,L=11000.因此,当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6000元;如果订购1000个,利润是11000元.21.(12分)求函数f(x)=x2-2ax-1在区间[0,2]上的最值.解析 f(x)=x2-2ax-1=(x-a)2-a2-1,(1)当a≤0时,f(x)在[0,2]上为增函数,∴f(x)的最小值为f(0)=-1,最大值为f(2)=3-4a.(2)当0a≤1,f(x)在[0,a]上为减函数,在[a,2]上为增函数,且f(2)f(0).∴f(x)的最大值为f(2)=3-4a,f(x)的最小值为-a2-1.(3)当1a2时,f(x)在[0,a]上为减函数,在[a,2]上为增函数,且f(0)f(2),∴f(x)的最大值为f(0)=-1,f(x)的最小值为f(a)=-a2-1.(4)当a≥2时,f(x)在[0,2]上为减函数,f(x)的最大值为f(0)=-1,f(x)的最小值为3-4a.22.(12分)已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),当x1时,f(x)0,且f(x·y)=f(x)+f(y).(1)求f(1);(2)证明f(x)在定义域上是增函数;(3)如果f()=-1,求满足不等式f(x)-f(x-2)≥2的x的取值范围.解析 (1)令x=y=1,得f(1)=2f(1),故f(1)=0.(2)证明:令y=,得f(1)=f(x)+f()=0,故f()=-f(x).任取x1,x2∈(0,+∞),且x1x2,则f(x2)-f(x1)=f(x2)+f()=f().由于1,故f()0,从而f(x2)f(x1).∴f(x)在(0,+∞)上是增函数.(3)由于f()=-1,而f()=-f(3),故f(3)=1.在f(x·y)=f(x)+f(y)中,令x=y=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2.故所给不等式可化为f(x)-f(x-2)≥f(9),∴f(x)≥f[9(x-2)],∴x≤.又∴2x≤.∴x的取值范围是(2,].1.已知集合A={x|x1},B={x|-1x2},则A∩B等于( )A.{x|-1x2}B.{x|x-1}C.{x|-1x1}D.{x|1x2}答案 D2.已知函数f:A→B(A,B为非空数集),定义域为M,值域为N,则A,B,M,N的关系是( )A.M=A,N=BB.M⊆A,N=BC.M=A,N⊆BD.M⊆A,N⊆B答案 C解析 值域N应为集合B的子集,即N⊆B,而不一定有N=B.3.根据市场调查,某种新产品投放市场的30天内,每件销售价格P(元)与时间t(天t∈N*)的关系满足下图,日销售Q(件)与时间t(天)之间的关系是Q=-t+40(t∈N*).(1)写出该产品每件销售价格P与时间t的函数关系;(2)在这30天内,哪一天的日销售金额最大?(日销售金额=每件产品销售价格×日销量)解析 (1)根据图像,每件销售价格P与时间t的函数关系为:P=(2)设日销售金额为y元,则y==若0t≤20,t∈N*时,y=-t2+10t+1200=-(t-5)2+1225,∴当t=5时,ymax=1225;若20t≤30,t∈N*时,y=-50t+2000是减函数.∴y-50×20+2000=1000,因此,这种产品在第5天的日销售金额最大,最大日销售金额是1225元.4.若函数f(x)=x2-x+的定义域和值域都是[1,b],求b的值.解析 由条件知,f(b)=b,且b1,即b2-b+=b.解得b=3.
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