八年级数学期末专题复习二：八年级数学上册几何图形添辅助线例谈

赵中八数上册专题复习二：添辅助线例谈第1页（共8页）第2页（共8页）八年级数学上册期末专题复习资料二：八年级数学上册几何图形添辅助线例谈编制：赵化中学郑宗平新人教版八年级数学上册前面三个单元都是几何内容，有些同学说感觉学起来有些吃力，我想除了推理入门是个难关，还因为有部分几何题需添加辅助线；在几何题中，添加辅助线往往是为了变更题中某些图形的位置（特别是线段和角），使得已知条件与结论的之间关系在图形中能清楚的显现出来，从而找到破题的方法，辅助线在其中起到铺路和架桥的作用.下面给同学们提供一些例子进行解析，部分例子还形成“口诀”（顺口溜），目的是加深印象！希望对同学们有帮助.（请同学们利用课外时间事先完善例题证明过程，并完成例题后面的追踪练习.）一.连结例.如图，已知,ACBDADBC；求证：CD分析：要证明CD可考虑化在两个三角形，通过证明其全等使问题获得解决.但从本题图形结构来看要直接证明△AOC和△BOC全等缺少条件；但连接AB后，AB就成了△ABC和△BAD的公共边，相当于使隐含条件显现出来，证明△ABC和△BAD全等即可.略证：连结AB在△ABC和△DCB中∴≌∴CD追踪练习：1.如图，已知,ABADCBCD.求证：BD.2.如图，五边形ABCDE中，,,ABAEBECBDE,AFCD垂足为F；求证：点F为边CD的中点.二.延长如图，DACA于A,ABAC;BD是ABC的平分线,过C作CEBD的延长线于E.求证：BD2CE分析：从本题条件来看要直接证明BD2CE，我们需要找一条线段来替代BD；本题若我们延长BA和CE交于点F使“残缺”的图形“补全”，通过证明△BEC≌△BEF即可得到CFBD，所以就把问题就转化证明CF2CE了,根据题中条件问题可以解决.略证：延长BA和CE交于点F.∵DACA于A，CEBD的延长线于E∴345690∴1F2F90∴12∵BD是ABC的平分线∴1CBE在△BEC和△BEF中∴≌∴ECEF∴CF2CE又在△ABD和△CAF中∴≌∴CF∴BD2CE追踪练习：如图,已知，四边形ABCD中，,,B90A30ADC120AD4BC1，，,求CD的长？三.作高线例.已知△ABC中ABAC；DE、为边BC的两点，且ADAE.求证：BDCE分析：虽然要证明BDCE可以通过证明两个全等三角形来解决，但作△ABC的底边的高线，利用等腰三角形的“三线合一”过程会变得更为简捷.略证：过点A作AFBC,垂足为F∵ABAC,ADAEOBCAD21EDABC654321FEDABCEFBCADEBCDABACDDBACEFCDBA赵中八数上册专题复习二：添辅助线例谈第3页（共8页）第4页（共8页）∴,BFCFDFEF(“三线合一”)∴，即BDCE口诀：底边作高线，解答更方便.追踪练习：如右上图，在△ABC中，,,A30AC8AB9；求△ABC的面积.四.作垂线·连端点例1.如图，四边形AC平分DAB,且CDCB求证:BD180分析：要证明BD180，我们通常会想到一个平角就等于180，所以我们可以想办法把BD、“搬”在一起组成一个平角.通过构造全等三角形可以解决这个问题；角平分线上的点到两边距离相等可以为证明全等提供条件.若过点C作DAB两边的垂线可以构造满足需要的两个全等三角形.略证：过点C作CEAB,垂足为E；作CFAD的延长线与F.∴CEBCFD90又∵AC平分DAB∴CECF∴在Rt△CEB和Rt△CFD中∴Rt△CEB≌Rt△CFDHL∴1B∵12180∴B180即BD180例2.如图，在四边形ABCD中，点E是边BC的中点，点F是边CD的中点，且AEBC,AFCD.⑴.求证:ABAD；⑵.若BCD114,求BAD的度数.分析：本题主要是⑴问，要证明ABAD关键是抓住AE垂直平分BC和AF垂直平分CD,所以连接AC后利用垂直平分线的性质得出,ABACADAC,所以ABAD.略解：⑴.连结AC∵点E是边BC的中点，AEBC∴ABAC（垂直平分线的性质）同理∴ABAD⑵.∵ABAC,ADAC∴B,D∴BD即BDBCD∵BADBDBCD42180360,BCD114∴BAD114114.注：求BAD的度数的途径不止一种.口诀：分角两边作垂线，垂直平分连端点，线段相等好转换.追踪练习：1.如图，BC90,点M是BC中点，DM平分ADC.求证AM平分DAB.2.如图所示，AOB30,OC平分AOB,,CDOACE∥OA，CE4.求CD的长.3.如图，在△ABC中，BC30;点D是边AB的中点，点F是边AC的中点，且EDAB,GFAC，垂足分别为DF、.求证:BEEGGC；五.作平行线例.如图，在△ABC中，ABAC,ED、分别在AB和AC的延长线上，连接DE交BC于F;若点F是ED的中点.求证：BECD.分析：要证明BECD我们的主要思路还是要化归贵在两个三角形中，通过证明其全等使问题获得解决；但本题的条件“不足”，根据△ABC是一个等腰三角形和点F是ED的中点，我们可以构造一对等腰三角形来解决这个难题.通常在有中点的况下，通过情构造辅助平行线能够得到两个全等三角形.略证：过点E作EG∥AD交BC于点G.∴3D,4ACB∵点F是ED的中点∴EFDFAFEBCDCABEDBOACABMDCGEDFABC21FEDABCDABCFEBCAD4321GFEBCAD赵中八数上册专题复习二：添辅助线例谈第5页（共8页）第6页（共8页）又在△EGF和△DCF中∴≌∴EGCD∵ABAC∴BACB又∵4ACB∴B4∴BEGE∴.追踪练习：1.将本例已知中的“点F是ED的中点”和求证中的“BECD”对调后加以证明；2.叙述并证明三角形的内角和定理.六.截长补短例.如图，AD∥BC，点E在CE上，AEBE、分别平分DABCBA、.求证：ADBCAB.分析：要证明ADBCAB可以从两个方面考虑：一是想办法在AD或BC所在的直线线为基础截取一条一条线段来等于BC或AD,相当于把ADBC转成一条线段通过全等三角形直接证明；二是在线段BC上截取一条来等于ADBC的其中一条，通过证明截取BC余下的线段余下ADBC中一线段相等，从而使问题得以解决.前面一种途径可以称为“补短法”，后面一种途径可以称为“截长法”.略证：在线段AB截取AFAB,连结EF.∵AE分别平分DAB∴12又在△ADE和△AFE中∴≌∴D6∵AD∥BC∴D180（两直线平行，同旁内角互补）又65180∴（等角的补角相等）∵BE分别平分CBA∴34在△FBE和△CBE中∴≌∴BFBC（全等三角形，对应边相等）又AFAB∴AFBFABCD即ADBCAB.口诀：线段和差要证好，截长补短不可少.追踪练习：已知，如右上图△ABC中，,ABACA108,CD平分BCA交AB于D.求证：BCACBD.七.倍长中线：例.如图。在△ABC中，AD为其中线，ACAB;若,AB5AC7；求中线AD的取值范围？分析：要求中线AD的取值范围，通常根据三角形三边之间的关系来解决，但本例中要求部分的和已知并非在同一个三角形中，条件比较分散！所以要想办法把它们集中在同一个三角形中，本例可以采用“倍长中线”构造全等三角形来转换，使已知和要求的部分化归在同一个三角形中，从而使问题得以解决.实际上是线角“折半加倍”的中一种情况.略解：延长AD至F,使FEAD,则AF2AD∵AD为△ABC的中线∴BDCD在△ABD和△FCD中∴≌∴CFAB（全等三角形，对应边相等）在△AFC中有ACCFAFACCF；即ACABAFACAB∵,AB5AC7,且AF2AD∴752AD75解得：1AD6.口诀：两边之间夹中线，倍长中线全等见.追踪练习：如图，在△ABC中，点D为BC边上的一点，且CDAB,BADBDA。AE是△ABD的中线.求证:AC2AE.4321CEABD544321FCEABD6DABC21FDABCCEABDDABC赵中八数上册专题复习二：添辅助线例谈第7页（共8页）第8页（共8页）八.注意“T”字型结构中的辅助线例.图，点C为线段AB的中点；点D为线段AB下方的一点，且有AFBE,DEDF，EF.求证：DCAB分析：根据本题的条件容易想到通过等腰三角形的“三线合一”来证明DCAB，再加上线段AB和线段DC构成了一个“T”字型，比较容易连接DADB、构成一个等腰三角形来证明，而根据题中的条件能证明△AFD≌△BED,从而推出DADB,利用“三线合一”可解决问题.略证：连接DADB、在△AFD和△BED中∴≌∴DADB（全等三角形，对应边相等）又∵点C为线段AB的中点∴（三线合一）口诀：图中出现“T”字型，连成等腰三角形.追踪练习：1.如图，已知,ABAEBCED,F为CD的中点，且BE.求证:AFCD.2.如图，已知在△ABC中，CAB的的平分线AD与BC的垂直平分线DE交于点D,DMAB于点M，DNAC的延长线于N.求证：BMCN九.沿“线”翻折切入来添辅助线例.已知，在△ABC中，ABAC,AD平分BAC,E是AC上的一点，且1BAC.求证：BDED.分析：要直接证明BDED，但由于AD平分BAC，可以考虑沿AD翻折将△AED的顶点落在边AB上来切入添辅助线，使ED和BD化归在同一个三角形，利用“等角对等边”来使问题得以解决.略证：在AB上截取AFAE,连接DF.∵AD平分BAC∴EADFAD在△AFD和△AED中∴≌∴,EDFDAEDAFD∴23（等角的补角相等）∵21801C,B180BACC,1BAC∴1B2∴BDFD∴BDED口诀：垂线、高线、分角线，沿线翻折全等连.追踪练习对于任意⊿ABC（见示意图）.若AD是⊿ABC的边BC上的中线，ADB、ADC的角平分线分别交AB、AC于点EF、，连接EF；探究EFBECF、、之间的数量关系?说明：由于篇幅有限，再加上初二几何哪怕是与三角形相关的性质在教材上也只研究了其中一部分，所以其它辅助线方法就不在这里赘述，务必将本复习资料的例题的证明过程补充完整，并完成每道例题后面的追踪练习；希望同学们多练习、多研究、多总结，做好本次期末迎考的准备.2018.1.6ECABFDEFCDBANMDEBCAFEDBCA21EDBCA321FEDBCA