数学物理方法期末试题A-答案和评分标准

第1页共19页06级数学物理方法期末考试试卷（A卷）参考答案和评分标准一、填空题（每小题5分，共40分。）1、sinhT2、通过振动方程求出通解，该通解中含有任意函数，然后通过初始条件来确定函数的形式，就得到达朗贝尔公式11(,)()()()d22xatxatuxtxatxata。对于无限长弦振动问题，只需将初始位移()x和初始速度()x的函数形式代入达朗贝尔公式，就可得到满足初始条件的解。3、222,()(1,2,)()()sinnnn本征值本征函数4、0(,)(,)()dtfxtfxt5、220000,(0,)|0,|,|0txxxxxltuauxlaDuuuu6、(1)00(,,)()(cos)(cossin)llmlllmmmlurArBrPCmDm7、00cosu8、0,(0)0,()()0XXmXXlXlS，或20,(0)0,()()0XXmaXXlXlYS，物理问题：一根长为l的均匀杆，上端0x处固定在电梯天花板，杆身竖直，下端xl处挂着一个质量为m的物体。初始时电梯静止，随后电梯以重力加速度g下降，求解杆的纵振动。杆的自身重力忽略不计。二、（20分）解：设(,)uxt分离变量形式的解(,)()()uxtTtXx代入泛定方程及边界条件，得20()()0()()0|0,|0xxlTtaTtXxXxXX求解()Xx为本征值问题，其解为222,(0,1,2,)()cosnnnlnnxXxl本征值本征函数将本征值代入()Tt的方程并求解，得第2页共19页2222()enatlnnTtC所以，有22220(,)ecosnatlnnnxuxtCl由初始条件，得0102coscoscosnnnxxxCuulll，可得10Cu，21Cu，0nC最终解得2222224012(,)ecosecosaattllxxuxtuull分离变量试探解；()Xx的方程；边界条件；()Tt的方程(4分)本征值问题n；()nXx；n的取值(4分)非本征值问题解()nTt(3分)一般解(3分)定系数(4分)解式(2分)三、（20分）解法一：傅里叶级数法利用傅里叶级数法求解，相应齐次方程本征值问题的解222,(1,2,3,)()sinnnnlnnxXxl本征值本征函数按照本征函数系{sin}nxl将所求的解展开为1(,)()sinnnnxuxtTtl代入泛定方程，有222022[1(1)]sinnnnfnaTTtln代入边界条件，有00|0,|0ntntTT求解得0222222[1(1)]()(sinsin)(/)nnflnatnaTttnannalll最终得0222222212[1(1)](,)(sinsin)sin(/)nnflnatnanxuxttnanallll第3页共19页或022222220(21)(21)sinsin4(21)(,)sin(21)(21)/kkatkatflkxlluxtalkkal相应其次方程本征值问题的解(4分)未知解按本征函数族展开(2分)代入方程和初始条件，得到()nTt的方程及初始条件(6分)()nTt的求解(6分)解式(2分)解法二：冲量定理法利用冲量定理法求解，0(,)(,;)dtuxtvxt，其中(,;)vxt满足200,|0,|0,|0,sin.ttxxxxltttvavvvvv设(,;)vxt分离变量形式的解(,;)(;)()vxtTtXx本征值问题的解为222,(1,2,)()sinnnnlnnxXxl本征值本征函数非本征值问题22220nnnTaTl解为()()(;)()cos()sinnnnnatnatTtABll则1()()(,;)()cos()sinsinnnnnatnatnxvxtABlll代入初始条件，得0nA,02[1(1)]()sinnnflBnan于是有02212[1(1)]()(,;)sinsinsinnnflnatnxvxtnall则第4页共19页0220010222222212[1(1)]()(,)(,;)dsinsindsinsinsin2[1(1)]sin/nttnnnflnatnxuxtvxtnallnatnatflnxllnanall冲量定理表述(4分)(,;)vxt的求解(12分)u的解(4分)解法三：特解法选择适当的(,)vxt，使其满足非齐次方程和齐次边界条件，即200sin|0,|0ttxxxxlvavftvv取(,)vxt的分离变量形式(,)()sinvxtXxt代入(,)vxt的方程和边界条件，得2022()()(0)0,()0fXxXxaaXXl求解得02()cossinfxxXxABaa代入边界条件02(0)0fXA，02()cossin0fllXlABaa，得02fA，02(1cos)sinfllBaa则02(,)cossinsinfxxvxtABtaa令(,)(,)(,)uxtvxtwxt则(,)wxt的定解问题为2000020,(0)|0,|0,|0,|cossinttxxxxltttwawxlwwfxxwwABaa(,)wxt的通解为1(,)cossinsinnnnnatnatnxwxtABlll代入初始条件定系数，得第5页共19页0nA020202222222cossinsind(1)(cossin)2[(1)1]/lnnnflxxnxBABxnalaalanllABAflllaanalnaln又02fA，02cossinfllABaa所以，有20002222222222222222[(1)1]/[(1)1][1(1)]///nnnnfffllanlBnalnalnlnanal因此，有0222222212[1(1)](,)sinsin/nnflnatnxwxtnanalll综合起来，有002222222212[1(1)](,)cossinsinsinsin/nnfflxxnatnxuxtABtaananalll若进一步将(,)vxt按函数族sinnxl展开，即021(,)cossinsinsinsinnnfxxnxvxtABtCtaal其中展开系数00222222022[1(1)]cossinsind/nlnffxxnxCABxlaalnnal则022222221sinsin2[1(1)](,)sin/nnnatnatflnxlluxtnanall特解法表述(2分)(,)vxt的求解(8分)(,)wxt的求解(8分)u的解(2分)四、（20分）解：这里()2pxx，()1qx，易得0x是方程的常点。设第6页共19页0()kkkyxax则2220()(1)(2)(1)kkkkkkyxkkaxkkax0()kkkxyxakx0(1)()(1)kkkyxax代入方程，合并同幂项，令各幂次的系数为零，得递推公式：221(2)(1)kkkaakk即20121aa，4205(1)(5)434!aaa，…，20(1)(5)(43)(2)!kkaak31332aa，5317(3)(7)545!aaa，…，211(3)(7)(41)(21)!kkaak得2001(1)(5)(43)()1(2)!kkkyxaxk21111(3)(7)(41)()(21)!kkkyxaxxk级数解0()yx和1()yx的收敛半径分别为22022(21)limlim143kkkkakkRak21121(21)2limlim141kkkkakkRak43k，1,2,3,k时，0y退化为多项式41k，1,2,3,k时，1y退化为多项式判断常点及解的一般形式(4分)递推公式(4分)2ka、21ka(5分)0y、1y及其收敛半径(2分)退化为多项式(5分)第7页共19页05级数学物理方法期末考试试卷（A卷）参考答案和评分标准一、填空题（每小题6分，共30分。）1、2,(0,1,2,)()cossinmmXxAmxBmx本征值本征函数2、0，0()Ixx3、()xat4、220000,(0,/)|0,|0,|2(/2),|0ttxxxxxxltttuauxlaYSuuuxlu5、22()tuauuaD二、（20分）求解热传导方程定解问题2000,(0)|0,|0,2|cos.txxxxxxltuauxluuxul解：设(,)uxt分离变量形式的解(,)()()uxtTtXx代入泛定方程及边界条件，得20()()0()()0|0,|0xxlTtaTtXxXxXX求解()Xx为本征值问题，其解为222,(0,1,2,)()cosnnnlnnxXxl本征值本征函数将本征值代入()Tt的方程并求解，得2222()enatlnnTtC所以，有22220(,)ecosnatlnnnxuxtCl由初始条件，得2nnC，00A，00B最终解得第8页共19页22242(,)ecosatlxuxtl分离变量()Xx的方程;边界条件;()Tt的方程(3分)本征值问题n;()nXx;n的取值(5分)非本征值问题解()nTt(3分)一般解(3分)定系数(3分)解式(3分)三、（20分）在圆形区域内求解0u，使之满足边界条件00|sinuu。解：取极坐标系，定解问题为00200110(0),sin,(,)(,2)uuuuuuuu有限设(,)u分离变量形式的解(,)()()uR代入拉普拉斯方程及周期性条件，得20,()()0,()(2)RRR求解()为本征值问题，其解为2,(0,1,2,)cossin,(0)().(0)mnmmAmBmmAm