【最最最最最新】数学物理方法试卷(附答案)

福师大物理系《数学物理方法》B课程考试题一、简答题（共70分）1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分）解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。2、奇点分为几类？如何判别？（6分）在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。判别方法：洛朗级数展开法A，先找出函数f(z)的奇点；B，把函数在的环域作洛朗展开1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点；2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点；3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。3、何谓定解问题的适定性？（6分）1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分）在某区域上处处可导的复变函数称为该区域上的解析函数.1）在区域内处处可导且有任意阶导数.2）21,,CyxvCyxu这两曲线族在区域上正交。3）yxu,和yxv,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数)4）在边界上达最大值。4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分）数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。5、写出)(x挑选性的表达式（6分）)()()(00000RfdvRrrffdxxxfxfdxxxxf6、写出复数231i的三角形式和指数形式（8分）三角形式：3sin3cos231cossin2321isincos222iii指数形式：由三角形式得：313iez7、求函数2)2)(1(zzz在奇点的留数（8分）解：奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=21)2)(1()1(limRe21)1(zzzzsfz1)1(1lim)2)(1()2(!11limRe22222)2(\zzzzzdzdsfzz8、求回路积分dzzzz13cos（8分）解：)(zf有三阶奇点z=0（在积分路径内）21-coszlimzcosz!21limRe033220)0(\zzzdzdsf原积分=iisfi)21(2)0(Re29、计算实变函数定积分dxxx1142（8分）解：)1(22)1(22)1(22)1(22111)(242izizizizzzzzf它具有4个单极点：只有z=)1(22i和z=)1(22i在上半平面，其留数分别为：2)221221(2I221)1(22)1(22)1(221limRe221)1(22)1(22)1(221limRe20))1(22(\20))1(22(\iiiiizizizzsfiizizizzsfzizi10、求幂级数kkizk)(11的收敛半径（8分）111lim111limlim1izkkkkaaRkkkkk所以收敛圆为二、计算题（共30分）1、试用分离变数法求解定解问题（14分）0,2/100,000002tttlxxxxxxttuxuuutlxuau令)()(),(tTxXtxu，并代入方程得0)()(0)()0(0''''2''tTlXtTXTXaXT移项XXTaT''2''0)(0)0(0''''lXXXX和02''TaTxCxCxXCxCxXeCeCxXxxsincos)(0)(0)(0212121时，方程的解为：＞在时，方程的解为：在时，方程的解为：＜在由边界条件0)(0)0(''lXX，得：xlnCxXlnnllClClClXCCXxCxCxXCXxxXcos)(0sin00sincos)(000)0(sincos)(0(00)(01222121'22'21'（否则方程无解），，时，＞时，时，＜)3,21(sincos)()(000002''222，得：的方程代人和把nlatnBlatnAtTtBAtTTaTTlnnnnxlnlatnBlatnAtBAtxUnnncos)sincos(),(100由初始条件得0cos21cos1010xlnlanBBxxlnAAnnnn把右边的函数展成傅里叶余弦级数,比较两边的系数得lnlnllxdxlnanBxdxlnxlAdxlBdxxlA000000cos02cos)21(201)21(1得：)2(0)12(4)1(cos22122220knknnlAnnlAlAnnxlnlatnnlltxUncoscos)4(21),(2212、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题（不必求解）（6分）0,sin0),(000byyaxxuaxBuuybAyuu),(),(),(txwtxvtxu令0sin00000byyaxxyyxxvaxBvvvvv，，000)(000byyaxxyyxx，，则，v，w都可以分别用分离变量法求解了。3、求方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=1的解。(10分)解：对方程程两边取拉氏变换，并注意到初始条件，得113212ppfpfppfp解上式这个代数方程，得3112pppppf318111831141ppppfttteeety3818341teyyy32