数学物理方法综合试题及答案

复变函数与积分变换综合试题（一）一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．设coszi，则（）A．Im0zB．RezC．0zD．argz2．复数3(cos,sin)55zi的三角表示式为（）A．443(cos,sin)55iB．443(cos,sin)55i-C．443(cos,sin)55iD．443(cos,sin)55i-3．设C为正向圆周|z|=1，则积分czdz||等于（）A．0B．2πiC．2πD．－2π4．设函数0zfzed，则fz等于（）A．1zzezeB．1zzezeC．1zzezeD．1zzeze解答：5．1z是函数41)(zzcot的（）A．3阶极点B．4阶极点C．5阶极点D．6阶极点6．下列映射中，把角形域0arg4z保角映射成单位圆内部|w|1的为（）A．4411zwzB．44-11zwzC．44ziwziD．44ziwzi7.线性变换[]iizzizaeziziza(）A.将上半平面Imz0映射为上半平面Imω0B.将上半平面Imz0映射为单位圆|ω|1C.将单位圆|z|1映射为上半平面Imω0D.将单位圆|z|1映射为单位圆|ω|18.若(,)(,)fzuxyivxy在Z平面上解析，(,)(cossin)xvxyeyyxy，则(,)uxy=（）A.(cossin)yeyyxy)B.(cossin)xexyxyC.(cossin)xeyyyyD.(cossin)xexyyy(cossin)sin(cossincos)xxxveyyxyeyxveyyyxyycossincoscossinsincossincossincossin(1)xxxiyiyiyzwuvvviizxxyxeyyyxyiyyixyiyeyiyxyixyiyyyyeexeiyeezcossincossinsincoszxiyxxwzexiyeexiyyiyexyyyixyyyuivcossinxuexyyy9.1(2)(1)fzzz在021z的罗朗展开式是（）A.01nnnz)(B.021nnz)z(C.02nn)z(D.10(1)(2)nnnz10.320coszzdz=（）A.21sin9B.21cos9C.cos9D.sin9二、填空题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11．方程Ln3zi的解为_________________________。12．幂极数1!nnnnzn的收敛半径为________________________。13．设100(1)zi，则Imz＝______________________。1zzzzzeezezez14．设C为正向圆周|z|=1，则1()czdzz=___________________________。15．设C为正向圆周 2，sin3()-cfzdz，其中2z，则'(1)f=___________________。16．函数5111[1]1(1)fzzzz在点z=0处的留数为__________________。三、计算题(本大题共8小题，共52分)17.计算积分22(-)(3)zceIdzzizi的值，其中C为正向圆周|z-1|=3。18.函数1()(1)nfzz(n为正整数)在何处求导？并求其导数19.求222-uxxyy的共轭调和函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1.20.计算积分||czzIdzz的值，其中C为正向圆周|z|=2.21.试求函数f(z)=2-0zed在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛区域.22.求出1()zzfze在所有孤立奇点处的留数.23.求级数11(1)nnnnz的和函数.24.函数3366sin(6)zzz在0z点为零，用级数展开法指出该零点的级.四、综合题(下列3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每小题8分，共16分)25．利用留数求积分420cos109xIdxxx＝的值26．设Z平面上的区域为||2,|-|2Dzizi：，试求下列保角映射（1）11()wfz把D映射成W1平面上的角形域113arg44Dw：＜；(2)121()wfw把D1映射成W2平面上的第一象限220arg2Dw：＜;（3）32()wfw把D2映射成W平面的上半平面：Imw0;（4）(z)wf把D映射成G。27．利用拉氏变换解常微分方程初值问题：''2'1(0)0,'(0)1yyyyy综合试题（一）答案一、1.A2.C3.A4.D5.C6.C7.B8.D9.D10.A二、11．),3i(121z或3ie12．e13．014．4πi15．i,33或3cos3i216．6三、17．解：因在C内22z3i)(zi)-(zef(z)有二阶级点z=I，所以22322()lim(-)()2lim-(-12)1!(3)(3)16zzcziziideefzdzzifziidzzizi18.解：因为n为正整数，所以f(z)在整个z平面上可导.1()(1)nfznz.19．解1：2y-2xyu2y2xxu，，由C－R条件，有yu-xv,xxyv，(x)y2xy2y)dy(2xdyxvv2。再由yu-2y-2x(x)'2yxu，得-2x(x)'，于是C-x(x)2，Cx-y2xyv22。由1,v(0,0)得1C＝。故1x-y2xyv22解2：Cdyyvdxxvy)v(xy)(x,(0,0)y)(x,(0,0)C2y)dy(2x2x)dx-(2yCy2xy-x22以下同解1。20．解1：-12Re2cos2(cossin)||2cczzdzzdziidzi4)dcos2(14i0。解2：-20222||||22iiiczzeedziedzz2(20)4ii＝。21．解：因为22-200(-)(-1)'()(|)!!nnznnnzfzezznn｜，（2分）所以由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得2100(-1)()'()(|)!21nnznzfzfdznn｜22.解：函数zzezf1)(有孤立奇点0与，而且在z0内有如下Laurent展开式：)1!311!2111)(!31!211(323211zzzzzzeeezzzzz1)!41!31!31!21!211(故1101Re[,0]!(1)zzkcsekk01)1(!1],[Rekzzkkes23.解：11limlim1nnnnCnCn故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：-1011(1)(1)1znnnnnnznzdzzz所以-1211(1)(),11(1)nnnznzzzz于是有：11211(1)(1)1(1)nnnnnnznzznzzz24.解：336393391593()6sin(6)6sin6116()63!5!fzzzzzzzzzzzz故z=0为f(z)的15级零点四、25.解：在上半平面内，9)1))(z(zef(z)22iz有一阶极点z=i和z=3i。2222--1cos1Re2(1)(9)2(1)(9)ixxeIdxxxdxxx　1Re2Res(),2Res(),32ifziifzi，16ei1if(z),Res，i48e1-f(z),3iRes3，1)-(3e48eI23　。26.解：（1）由22zizi－解得交点z1+1,z2=-1。设111zwz，则它把D映射成W1平面上的1143arg4Dw：（2）设-241iwew，则它把D1映射成W2平面上的第一象限220arg2Dw：。（3）设22ww，则它把D2映射成W平面的上半平面G：Imw0。（4）224i-)1z1-zi(1z1-z(ew＝－）。(Z)1-10-ii111zzw(W1)40(W)(W2)27.设()FpLyt，对方程两边取拉氏变换，有2112pFpPfpFpp，从中解得2111()(1)(1)pFppppp再求拉氏逆变换，得-1111ytLpp=1-et或利用卷积定理得到y(t)－*p11－1-p11－＝－1*et=1-et