数学物理方法总复习

1第一章复变函数复数的三种表示：代数表示，三角表示与指数表示几个初等函数的定义式：1sin2izizzeei1cos2izizzee12zzshzee12zzchzeelnln()lniArgiArgzzzezz§1.3导数2uvxyvuxyCauchy-Riemann方程§1.4解析函数1．定义若复变函数()fz在点0z及其邻域上处处可导，则称()fz在0z点解析。注意：如果只在一点导数存在，而在其他点不存在，那么也不能说函数在该点解析。例如：函数2)(zzf在0z点是否可导？是否解析？解：222)(yxzzf，22yxu，0v，xxu2，yyu2，0xv，0yv，由此可见，仅在0z，u、v可微且满足C-R条件，即)(zf仅于0z点可导，但在0z点不解析。在其他点不可导，则它在0z点及整个复平面上处处不解析。3某一点，函数解析可导某一区域B，函数解析可导2．解析函数的性质（ⅰ）几何性质（ⅱ）调和性（ⅲ）共轭性例已知323uxxy求v看书上例题§2.1复变函数的积分()((,)(,))((,)(,))()()lllllfzdzuxydxvxydyivxydxuxydyudxvdyivdxudy复变函数的路积分可以归结为两个实函数的线积分。因此复变函数积分也具有实变函数积分的某些性质。一般说来，积分值不仅依赖于起点、终点。积分路线不同，其结果也不同.§2.2柯西定理的应用§2.3不定积分§2.4柯西公式均属于考试内容！第三章幂级数展开4,)()()(20201000zzazzaazzakkk（1）比值判别法（达朗贝尔判别法,D’Alember）引入收敛圆半径：1limkkkaaR（3.2.3）（2）根值判别法（柯西判别法）引入收敛半径：kkkaR1lim（3.2.6）§3.3泰勒级数的展开2.其他展开法可用任何方法展开，只要0()kzz项相同，那么展开结果一定相同（根据Taylor展开的唯一性）如利用00111!kkkzktttzezkzkzzkkk,)!12()1(sin012;zkzzkkk,)!2()1(cos02等等！5例6将211z在00z点邻域展开（1z）解：利用011kktt有：24222011(1)1kkkzzzzzz例711z在02iz点的邻域展开解：01011111(1)()1222211212()1122()2(1)22(1)2kkkkkiiiizzziiziiiziizi§3.5洛朗（Laurent）级数展开（1）展开中心z0不一定是函数的奇点；63展开方法的唯一性间接展开方法：利用熟知公式的展开法较常用例2将函数21()(2)(3)fzzz在021z内展开为Laurent级数解：因为021z内展开，展开形式应为(2)nnncz01113(2)11(2)(2)(21)nnzzzzz而20111(2)(3)312(2)(2)(21)nnnzzzznzz得到：722221111()(2)(3)(2)(3)123(2)(2)(2)(2)021nnnfzzzzzznzznzz例3函数1()(1)(2)fzzz在下列圆环域内都是处处解析的，将()fz在这些区域内展开成Laurent级数①01z②12z③2z④011z解：①11111()211212fzzzzz由于1z从而12z，利用21111nzzzzz可得：22111(1)122222212nnzzzzz22221()(1)(1)22221370248nnnzzzfzzzzzzz结果中不含负幂次项，原因在于1()(1)(2)fzzz在1z内解析的。②由于12z，从而11,12zz所以x21Oy821111111()12121121111248nnfzzzzzzzzzzz（12z）③2z所以2121,1zzz于是234111111()212111137(2)fzzzzzzzzzzz④由于011z可知展开的级数形式为(1)nncz所以01111()211(1)11(1)(011)1nnfzzzzzzzz其他例子见书第四章留数定理（残数，Residue）4.2应用留数定理计算实变函数定积分本章没重点，但是考点在这节！9第五章傅里叶变换§5.1Fourier级数（一）周期函数的Fourier展开若函数f(x)以2l为周期，即)()2(xflxf，则可取三角函数族,sin,2sin,sin,cos,2cos,cos,1lxklxlxlxklxlx（5.1.2）（其中函数都以2l为周期）作为基本函数族，将f(x)展开为傅里叶级数10sincos~)(kkklxkblxkaaxf（二）奇函数和偶函数的Fourier展开§5.2Fourier积分与Fourier变换记住基本的，最重要的公式，能理解即可！5.3函数(又叫狄拉克函数)函数的性质（见书）10第六章Laplace变换6.3Laplace变换的应用本章没重点，但是考点在这节！第七章数学物理定解问题（1）依据物理规律（同一类物理现象的共同规律），将具体的物理问题化为数学问题——数学物理方程，称此方程为泛定方程（共性，一般规律）。（2）列出具体问题的初始条件（历史状态）和边界条件（所处环境）称为定解条件（个性）。（3）泛定方程提供解决问题的依据，定解条件提出具体的物理问题，作为一个整体，叫做定解问题。【——定解条件：边界条件与初始条件——物理规律用偏微分方程表达出来，叫做数学物理方程——泛定方程（不带定解条件的数学物理方程）——定解问题：在给定的定解条件下求解数学物理方程】11§7.1数学物理方程的导出——本小结导出的偏微分方程主要分为三类（ⅰ）以波动方程（1-6，14）为代表的双曲型方程；齐次方程222220(7)uuatx，其中Ta2，就是振动在弦上传播的速度。上式也称为弦不受外力的横振动方程（自由振动方程）比如弦在振动过程中还受到外加横向力),(txF（与2T同方向）的作用，引入力密度/),(),(txFtxf（7）修改为),(2txfuauxxtt（8）（7）称为弦的自由振动方程，（8）称为弦的受迫振动方程。再比如考虑重力，作用在此段上的重力为gdx，则12ttxxudxTudxgdx，重力与1T同向。则有：2ttxxuaug。（ⅱ）以输运方程（扩散，热传导，7，8）为代表的抛物型方程；02uaut，)(2Da（7.1.25）如果仅在x方向有扩散，则一维扩散方程为02xxtuau，)(2Da（7.1.26）（iii）稳定场问题（PoissonandLaplaceequations）（九）稳定的浓度分布见P147-148浓度在空间的分布构成一个标量场，在一般情况下，浓度分布),,,(tzyxu是时间的函数，遵从扩散方程),,,(2tzyxFuaut，)(2Da如果扩散源强度),,(zyxF不随时间变化，扩散运动将持续进行下去，最终将达到稳定状态。空间中各点的浓度不再随时间变化，即0tu，则上式变为泊松方程13DzyxFazyxFu),,(),,(2（7.1.39）为泊松（Poisson）方程如果源与汇不存在，则得到Laplace方程：0u。（7.1.40）为Laplace方程。§7.2定解条件泛定方程表达同一类现象的共同规律。从物理的角度看，仅有方程还不足以确定物体的运动，因为物体的运动还与起始状态以及通过边界所受到的外界作用有关。另外，从数学的角度看，一个微分方程的通解中往往含有若干个任意常数或任意函数，这就使得其解不能唯一确定，为了得到唯一确定的合理解，我们必须根据不同的实际问题加上相应的条件——定解条件．．．．来确定这些任意常数的数值和任意函数的形式。定解条件即是初始条件和边界条件的统称，求解一个数理方程且满足一定定解条件的解的问题称为“定解问题”。（一）初始条件14某时刻，通常取t=0时，作为初始条件。1.波动方程的初始条件初始条件表示如下：0(,,,)|(,,)tuxyztxyzt=0时刻系统中各点“位移”0(,,,)|(,,)ttuxyztxyzt=0时刻各点的“速度”2.输运方程的初始条件（如浓度温度等）0(,,,)|,,tuxyztxyz——没有初始条件的问题见P154-155——稳定场方程无需提初始条件（二）边界条件第一类边界条件0000,,(,,,)|(,,)yzuxyztfyz00边界xx或常数弦的横振动：如果弦的两端固定，其边界条件为0),(0xtxu，0),(lxtxu。1.第二类边界条件15,,0000|(,,)yzufyzn边界x00x或常数即u在边界外法线方向上方向导数值.n表示外法线方向的单位矢量。un在一维问题中常以ux代替。两端压力/拉力、自由等情况下的边界条件讲解！——热传导举例设流入物体内的热流（单位时间通过单位截面积的热量）为f(t),则边界条件为：|()uKftn边界流出：则有|()uKftn边界具体到细长杆的热传导问题，如一端面x=0流入热流为1()t，另一端(x=l)流出热流为2()t，于是1|()uKtnx=0，2|()uKtnx=l例考虑长为l的均匀杆的导热问题，若（1）杆的两端温度保持零度；16（2）杆的两端绝热；(3)杆的一端为恒温零度，另一端绝热；试写出该导热问题在以上三种情况下的边界条件。解：设杆的温度为u(x,t)则（1）0|0,|0xxluu（2）因为当沿着杆长方向有热量流动时由Fourier实验定律（2.1.7）有0|()xuqkx，|xluqkx其中q为热流强度，而杆的两端绝热，就意味着杆的两端与外界没有热交换亦即没有热量的流动（q=0），故有0|0,|0xxxxluu（3）显然，此时有0|0,|0xxxluu（三）定解问题的表述所谓定解问题，就是根据物理规律，分析问题的性质、条件等导出相应的方程（泛定方程）和应满足的初始条件，边界条件等（定解条件）。17泛定方程共同规律的一面初始条件定解问题定解条件边界条件特殊具体的一面衔接条件解的适定性：有解，唯一性，稳定性。§7.4达朗内尔公式（又叫行波法，定解问题）本节只要求掌握：在无界的情况下一维波动方程初值问题的Dalembert公式及其物理意义。（一）定解问题我们研究弦、杆、传输线等是“无限长的”，即在不存在边界条件，只存在初始条件。研究这样的定解问题20(,0)()(2)(,0)()(3),0,0ttxxtuauuxxuxxxta或写成22222000|()|()tttuuatxuxux（此为双曲型波动方程，见P164-165）(