22_复杂的工程问题

本讲主要讲解需运用比和比例及分段解决的较复杂问题，还有一些需借助程来求解的问题．1．一项工程，甲15天做了14后，乙加入进来，甲、乙一起又做了14，这时丙也加入进来，甲、乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天?【分析与解】方法一：先把整个工程分为三个阶段：Ⅰ﹑Ⅱ﹑Ⅲ；且易知甲的工作效率为1.60有乙、丙工作的天数之比为(Ⅱ+Ⅲ)：Ⅲ=2：1，所以有Ⅱ阶段和Ⅲ阶段所需的时间相等．即甲、乙合作完成的14的工程与甲、乙、丙合作完成1111442−−=的工程所需的时间相等．所以对于工作效率有：(甲+乙)×2=(甲+乙+丙)，甲+乙=丙，那么有丙-乙=1.60又有乙、丙的工作效率的比为3：5．易知乙的工作效率为3,120丙的工作效率为南5.120那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：11311815()()156627460120260120+÷++÷+=++=天.方法二：显然甲的工作效率为160，设乙的工作效率为3x，那么丙的工作效率为5x．所以有乙工作的天数为1111(3)(8),460260xx÷++÷+丙工作的天数为11(8).260x÷+且有111111(3)(8)2(8).460260260xxx÷++÷+=×÷+即1111(3)(8),460260xx÷+=÷+解得1.120x=所以乙的工作效率为3,120丙的工作效率为高5.120那么这种情形下完成整个工程所需的时间为：11311815()()156627460120260120+÷++÷+=++=天.2.甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元．实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天?【分析与解】开始时甲队拿到8400—5040=3360元，甲乙的工资比等于甲乙的工效比，即为3360：5040＝2：3；甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为(3360+960)：(5040—960)=18：17；设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需x天完成任务．有(2×4+4x)：(3×4+3x)=18：17，化简为216+54x=136+68x，解得40.7x=于是共有工程量为4045760,7×+×=所以原计划60÷(2+3)＝12天完成．3.某项工程按照一定的比例由甲、乙、丙三个工程队分别承担．原计划同时开工，这样三个工程队恰好可以在规定的日期内同时完成．但实际上三队开始共工作若干天后，由于某种原因甲队退出，并将自己所余下任务的13转交给乙队,23转交给丙队．于是乙、丙两队为保证仍能按原计划完成任务，需要把自身的工作效率从此分别提高20％、30％．最后按照对整个工程的实际贡献分配劳务报酬，甲队分到2700元，乙队分到6300元，问丙队应得多少元?【分析与解】设甲的工作效率为单位“l”，则有1135=乙，乙的工效率5;323310=丙，丙的效率为20.9乙队在提速以前得到的报酬应为2700×53=4500元，所以有6300—4500=1800元为提速后的报酬；丙队提速以前得到的报酬应为2700×209=6000元，而提速后乙队工效为2，丙队为26.9所以丙队提速后的报酬为1800÷2×269＝2600.即丙队应得报酬6000+2600=8600元4.规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时,第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9．8小时，而乙、甲轮流做同样的程只需要9．6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时?【分析与解】即甲工作2小时，相当与乙1小时．所以，乙单独工作需9.85527.3−+÷=小时．5．一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用型数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流，那么比上次轮流的做注要多半天才能完成．已知乙单独工作需17天完成，那么甲单独做这项工程要多少天完成?【分析与解】我们称甲、乙各工作一天为一个周期，即2天一个周期．如果第一种情况是完整的一个周期完成，那么调换工作的顺序，完成所需时间应该不变；现在调换顺序后，所需的时间增加了1.2于是，第一种情况所需的时间非整数个周期，又因为完成的天数为整数，于是最后一天的T作由甲完成．设以前甲、乙工作了n个周期.乙单独工作需17天，那么甲单独工作只需1171722×=天.8．甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用12天；若按丙、甲、乙的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用13天．已知甲单独完成这件工作需10．75天．问：甲、乙、丙一起做这件工作，完成工作要用多少天?【分析与解】我们以甲、乙、丙各工作一天为一个周期，即3天一个周期．通过上一题的类似分析，我们知道第一种情况下一定不是完整周期内完成；但是在这题中，就有两种可能，第一种可能是完整周期+1天，第二种可能是完整周期+2天．验证第一种可能不成立(详细过程略)再看第二种可能：即丙工作1天，甲只需要工作12天．代入第3种情况知：即甲工作1天，乙需要工作43天．因为甲单独做需10．75天，所以工作效率为4,43于是乙工作效率为443,43343÷=丙工作效率为412.43243×=于是，一个周期内他们完成的工程量为4329.43434343++=则需91443⎡⎤÷=⎢⎥⎣⎦个完整周期，剩下97144343−×=的工程量；正好甲、乙各一天完成．所以第二种可能是正确的．于是，采用第二种可能算出的数据：一个周期内他们完成的工程量：4329.43434343++=需要9437144399÷==天．而甲、乙、丙合作一天完成的工程量正好是甲、乙、丙轮流做一天一个周期内的工程量．于是，甲、乙、丙合作这件工程需749天．7．有10根大小相同的进水管给A、B两个水池注水，原计划用4根进水管给A水池注水，其余6根给B水池注水，那么5小时可同时注满．因为发现A水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满．(1)如果用10根进水管给漏水的A水池注水，需要多少分钟注满?(2)如果增加4根同样的进水管，A水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟?(结果四舍五入到个位)【分析与解】设每只进水管的工效为“1”，那么A池容量为4×5=20，B池容量为6×5=30．当用5根进水管给B池灌水时需30÷5=6小时，而在6小时内5只其水管给A池也是灌有30的水，所以漏了30—20=10，因此漏水的工效为5106.3÷=(1)用10根进水管给漏水的A池灌水，那么需520(10)2.43÷−=小时＝144分钟.(2)设A池需x根，那么B池需14x−根，有5():(14)2:3,3xx−−=所以有28235,xx−=−化简解得6.6.x=所以A池用7根或6根进水管，此时对应所需时间，分别为：①当A池用7根进水管时：A：7根水管，需时间5320(7)334÷−=小时=225分钟；B：7根水管，需时间303077÷=小时≈257分钟．此时要把两个水池注满最少需要257分钟；②当A池用6根进水管时：A：6根水管，需时间56020(6)313÷−=小时≈277分钟；B：8根水管，需时间30÷8=154小时=225分钟．此时要把两个水池注满最少需要277分钟．所以，要把两个水管都注满，最少需257分钟，7根水管注A池，7根水管注B池．8．如图，有一个正方体水箱，在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔．用一个进水管给空水箱灌水，若三个出水孔全关闭，则需要用1个小时将水箱灌满；若打开一个出水孔，则需要用1小时5分钟将水箱灌满；若打开两个出水孔，则需要用72分钟将水箱灌满．那么，若三个出水孔全打开，则需要用多少分钟才能将水箱灌满?【分析与解】方法一：设打开一个出水孔时，灌满出水孔以上的部分需要时间为x，则不打开出水孔和打开两个出水孔灌满水孔以上部分所需时间为5.x−有工作效率之间的关系：211,57xxx=+−+通分为222,(5)(7)xxxx+=−+化简为221235,xxx+=+−解得35.x=所以，不打开出水孔需530x−=分钟灌满水孔以上的水，而灌满出水孔以下的水为603030−−分钟．视水孔以上的水箱水量为单位“l”，有一个出水孔的工作效率为：111.3035210−=那么打开三个出水孔的工作效率为1123.30210105−×=所以，打开三个出水孔灌满整个水箱所需的时间为230182.5105+÷=分钟方法二：在打开一个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管65605−=分钟的进水量；在打开两个出水孔时，从小孔流出的水量相当于进水管726012−=分钟的进水量．而且注意到，后者出水孔出水的时间比前者多72657−=分钟.因此两个出水孔7分钟的排水量相当于进水管12522−×=分钟的进水量因此进水管1分钟的进水量相当于一个出水孔7分钟的排水量．那么在打开一个出水孔的时候，小孔排水5735×=分钟，也就是说，进水，进水653530−=分钟后，水面达到小孔高度．因此打开三个出水孔的时候，灌满水箱需要13030(13)82.57+÷−×=分钟．