习题课(导数与微分)

第二部分导数与微分一重点与难点1.导数与微分的概念；2.初等函数求导方法；(1)函数的和差积商的导数.(2)反函数的导数。(3)复合函数求导法.(4)复合函数求导练习23题.(5)分段函数求导.(6)参数方程的一、二阶导数.(7)隐函数的导数.(8)幂指函数的导数.(9)求高阶导数.二课堂练习1.选择(4题)2.填空(9题)3.计算(8题)4.计算题解答第二部分导数与微分1.导数与微分的概念(1)导数与微分的实质各是什么？它们的关系及区别是什么？数：导的在点0xxfy)(的微分：在点0xxfy)(xyxfx00lim)(.)(d0yxxfy它们的区别：从x,y的比值出发得导数概念；从y的近似值出发得微分概念。导数是函数平均变化率的极限。微分是函数的局部线性化。它们的关系：函数在x点可导函数在x点可微.例1.设)(0xf存在,求.)())((lim0200xxfxxxfx解:原式=xxfxxxfx)())((lim02002)(xx2)(xx)(0xf机动目录上页下页返回结束例2.若0)1(f且)1(f存在,求.tan)1()cos(sinlim20xexxfxx解:原式=220)cos(sinlimxxxfx且联想到凑导数的定义式220)1cossin1(limxxxfx1cossin2xx1cossin2xx)1(f)1(f)211()1(21f机动目录上页下页返回结束例3.设试确定常数a,b使f(x)处处可导,并求解:)(xf1x,bxa1x,)1(21ba1x,2x,1时x;)(axf时，1x.2)(xxf)1()1()1(fff)1()1(ff则必定连续，从而有处可导，在利用1)(xxf即ba1)1(21ba2a机动目录上页下页返回结束,1,2ba2)1(f1,21,2)(xxxxf是否为连续函数?判别:机动目录上页下页返回结束)(xf1x,bxa1x,)1(21ba1x,2x,1时x,)(axf时，1xxxf2)(设解:又例4.所以在处连续.即在处可导.处的连续性及可导性.0)0(f机动目录上页下页返回结束).()()(lim)(.).()()(lim)(.).()()(.).()()(.000000000000xxxfxfxfdxxfxxfxfcxfxfbxfxfaxxxxx.(1)判断是非(是：非：)：√×√√√×：可导已知)(xfy).()()3(lim31)(.).()()(lim)(.).()()(lim)(.000000000000hxfhxfxfghxfhxfxffhxfhxfxfehhh.(2)判断是非(是：非：)：√×√×√：可导在点已知0xxfy)(意义？什么下列各式表示(3))(0xf)(0xf)0(0xf)0(0xf.....)(lim.)(lim.)()(lim.)()(lim.00000000xfdxfcxxxfxfbxxxfxfaxxxxxxxx可导的充要条件是在点0)(xxf).()(00xfxf.(4)一元函数y=f(x)在点x=a处：a.有定义b.有极限c.连续d.可导e.可微等五个命题之间有什么关系？将它们的序号填入空格：单向箭头都不可逆，试举反例。decab.)(sec6)(log5)tan(4)2(3)(2)2(ln13xxxxxn)(csc12)(cot11)e(10)arctan(9)cos(8)arcsin(72xxxxx0–sinx–cscxcotx2ln2xx2sec3ln1x211xx2cscxxtansec211xnxn–10........(5)导数基本公式练习23题(5)导数基本公式练习23题)(arccos18)(17)cth(16)th(15)(ch14)sh(13xxxxxxn)(23)1(22)3πcot(21)sin(20)arccot(19xxxxchxcosxx21111nxnx2ch1211x211x.......shxx2sh1021x.vuuvvu)()(2.初等函数求导法)()(xvv,xuuvuvuvu2vvuvu..(1)函数的和差积商的导数：yxxysin12求例2sinxxy解：42sin2cosxxxxx.sin2cos3xxxxxtx2123求例解：..232tx..)(0dd)(1yfxxyxfy，则其反函数的导数若.dd1ddxyyx(2)反函数的导数：的导数存在，且.ddtan3yxxy求例.secdd2xxy解：xxyyx2sec1dd1ddx2tan11.112yy若把自变量化成.(3)复合函数求导法yxy11ln4求例y=–lnu.),1ln(xy解xuuyxyydddddduux11...1xu令.11x“链”式法则)()()(xuufyxxu在可导，在点若函数).()(ddxufxy可导，且在点处可导，则复合函数)]([xxfy)(27)||(ln13)2(tan6])[ln(12)3(5)(ln11)2(14)1(e10)3ln(3)21(9)(e2)3ln(8)2sin(1sin2322xxxxxxxxxxxx2cos2x1x2e226xx233ln2x2sec22xxcos22lnsin.–200(4)复合函数求导练习23题......x1.x1x1..)2(sec20)2(sec19)3(csc18)2arctan(17])12[(ln(23)e(16)e(22)2(ln15)3arcsin(21))1(ln(1431332xxxxxxxxxx.xx2tan2sec22913xx3122x13e3xxx3cot3csc3x11xx2tan2sec632e2xx2412x.........(4)复合函数求导练习23题.y|x|xy5求例000022xxxxxy解：；当2,0xyx用定义.写成分段函数再求导.0,x当yx|xxx|lim0xyx20,当)0()(lim(0)0xfxffx0|lim0|xx020002xxxxx含绝对值符号的函数怎么求导？在分段点处怎么求导？.(5)分段函数的求导)()(tyytxx已知参量函数22ddxy)()(ddtxtyxy22ddln6xytytxm求设例)()(ddtxtyxy)(d)(ddd22txtmtxymtmtm/11ttmm/112)(d)()(dtxttxtymtm2mmt..(6)参数方程的一、二阶导数解:例7.设由方程)10(1sin222yytttx确定函数,)(xyy求解:方程组两边对t求导,得txddt2txddyttycos12dd故xydd)cos1)(1(ytt22ttyddycostydd0)1(2ttyddtxdd机动目录上页下页返回结束22ddxy)(ddddxyttxdd)()cos1)(1(ddyttt)1(2tyttysin)1()cos1(23)cos1()1(2yttyddyttysin)1(2)cos1(2233)cos1()1(2yt机动目录上页下页返回结束xyyxFdd,0),(求若(0).ee7yxyy求设例求导：两边对x由原式知：)2(式：再代入在y=y(x)的关系下，两边对x求导。求导：两边再对x(1)0eyxyyy(2)0ee2yxyyyyyy1e(0))1(y式：代入..e)0(2y.时当0x,1y(7)隐函数的导数解：.)(sin8yxyx求例——对数求导法xxylnsinlnxxxxyysincoslnsin).cotlnsin()(sinxxxxyx两边取对数：两边对x求导：(8)幂指函数的导数.解：对数求导法也可用于对多个因子积商的导数。.1)5()1(9322yxxxy求例)1(ln)5ln()1(ln231ln2xxxy幂指函数的导数——对数求导法125112312xxxxyy1251121)5()1(312322xxxxxxxy.(8)解：两边取对数：注：有的学生提出以下问题：.1)5()1(9322yxxxy求例幂指函数的导数——对数求导法.(8).解：所以第一项不影响结果。当x5，有采用同样方法做，结果与上面相同..1)(5)1(322xxxy)1(ln)5ln()1(ln231ln2xxxy对吗？取对数缩小了定义域。原函数的定义域是),,(问题：两边取对数：;11]|1|ln[])1[ln(])1([lnxxxx因为：对第二项：求n阶导数一般公式的方法是什么？（1）先求函数前几阶导数，找出规律，写出n阶导数的一般公式,再用数学归纳法给出证明。若前几阶导数很繁，很难找出规律，可先把函数或导函数变形。（2）对两个函数的积，可用莱布尼茨公式求n阶导数。常用的高阶导数公式：.(9)求高阶导数)2sin(sin3)(onxxn)2cos(cos4)(onxxn.nnnnaxaxaxay1110o1!0)(nayn0)2()1(nnyy)(o)(2nxa)(lnnxaa....(9)求高阶导数）（求例1002,65110yxxy:解,)3(21)2(21)1(332xxy.3)(!100)2(!100101101)100(xxy,)3(1)2(122xxy······.3121xxy.莱布尼茨公式nkkknknnvuuv0)()()(C)(??)0()0(vu.)()(nuvvun)(vunn)1(1Cvunn)2(2C)1(1Cnnnvu)(nuv.常见错误：..见下例+···例11.sin)80(2yxxy求，:解)80(y由莱布尼茨公式：2)80()(sinxxxx2)(sin80)79(2)(sin27980)78(xxxxx2)π279sin(80)π40sin(2.sin6320cos160sin2xxxxx.2)π39sin(27980x例12.且存在,问怎样选择可使下述函数在处有二阶导数.)(xf解:由题设)0(f存在,因此1)利用在连续,即,)0()0()0(fff得)0(gc2)利用,)0()0(ff0)0()(lim)0(0xgxgfx)0(g0)0()(lim)0(20xgcb