理性消费者（PDF32页）

一、理性消费者理性决策的概念：在商品价格和收入约束下，实现昀大满足。本章的核心内容就是要介绍消费者的理性选择框架，涉及的概念和使用的工具为：消费束与消费集偏好关系效用函数无差异曲线效用昀大化（一）消费束与消费集消费就是购买一系列商品，当然这里的商品可能是实际商品也可以是服务，例如旅游。这一系列被消费的商品组合就成为了一个消费束，用向量表示就是：),,,(21nxxxx，其中0ix是对第i种商品的选择数量,ni,,2,1。更一般的，消费是一个广义概念。),(lwx；),(21ccx不同的消费者有不同的消费组合，也就是不同的消费束，所有的消费束的集合就构成了消费集。nRX，nR为n维非负实数向量。nRXΦ（非空子集）消费集X是连续的。（消费集是个闭集，包含边界，也就是说所有的消费束都包含在X中，由于消费束有无数多个，填充整个消费集，因此X是连续的。）消费集X是凸集凸集：Xyx,，若其凸组合X])1([yx，10。则X为凸集。X0（消费者可以选择不消费）（二）偏好关系定义：可选择的消费束上的排序关系。如果只将两个消费束进行比较，称为二元偏好关系，可以用下面一组符号表示：（1）弱偏好关系：yx表示x不次于y，如果xy也成立，则有：（2）无差异：~x~y表示x与y无差异。如果yx但没有xy成立，则有：（3）严格偏好关系：偏好关系是基于序数效用的。一开始经济学家创立了基数效用论，也就是商品消费带来一个实际的效用。但这一假设是不合理的，我们只需要作消费满足多和少的比较，多多少无关紧要，也就是序数效用。偏好关系的公理系统：（1）完备性两个消费束是可以比较的，比较的结果无非三种：yx、xy、x~y（2）自返性一个消费束至少与它本身一样好，即：Xx，总有xx（3）传递性如果你喜欢荔枝而不喜欢苹果，但和荔枝相比，你更喜欢樱桃。所以，如果让你从苹果和樱桃中选择，你一定选择樱桃而不是苹果，用符号表示就是：Xxxx321、、，若21xx，32xx则31xx。上述的三个公理界定了一个理性消费者！为了建立效用函数还需要对偏好做出性质上的假设。（1）连续性对于所有Xyx,，则集合}:{yxx和集合}:{yxx都是闭集。也就是说如果x优于y，那么与x非常相似的消费束也优于y，这就保证了突然的偏好逆转不会出现。存在着一条由一组点形成的边界，这条边界在商品空间中把那些消费者偏好的商品组合同不偏好的商品组合划分开来。词典式偏好就会出现逆转情况词典式偏好（字典序偏好关系，lexicographicpreferencerelations）是指某个商品（如商品1）具有优先排序权，只有当商品1的数量相等时，才会就商品2进行排序。表示为若11yx，或者11yx且22yx，则称yx。为什么词典式偏好会出现逆转呢？令)1,11(nnx，)1,2(ny当0n1时，nnyx，当n=1时，nnyx~，当n时，nnyx，发生了逆转！（2）强单调性对于所有的0x和Xx1，如果10xx则10xx。)1,2,3,4,5(0x，)1,1,2,3,4(1x这也就暗示了每一种商品对消费者都是有用的，多多益善。思考：对于环境污染，这种我们不喜欢的“商品”，强单调性是否成立？（3）局部非饱和性（非餍足性）餍足点：某一特定的昀优商品组合。对于任意的Xy，在其邻域内找到另一个消费束Xx，yx。局部非饱和性意味着不存在无差异区域，也就是无差异曲线没有厚度。这样昀优消费点在预算线上，如果没有局部非餍足性，昀优消费点可能在预算集内部（而不在边界）（4）严格凸性如果两个消费束01xx，那么对于所有的]1,0[（闭区间），都有001)1(xxx。也就是多样的消费束要比极端的消费束好？Why？多样的消费降低了相同商品的消费次数，同时增加了其他商品的消费，效用必然增加。思考：请举例说明凹性偏好。在凸性概念下还有凸组合和凸集的概念。凸组合：设nzyxR,,，对于任意的10，存在yxz)1(。则称z是x和y一个凸组合。凸集：Xyx,，若其凸组合X])1([yx，10。则X为凸集。习题：证明如果偏好关系满足上述公理，若zyx，则zx；二、效用函数（一）效用函数的定义效用满足程度效用函数满足程度与消费集的关系，即：)(),,(1xuxxuun，x为消费束。效用函数的存在性：若偏好是完备的、自返的、传递的、连续的和强单调的，那么一定存在一个连续的效用函数u，它可以表示这些偏好，记为对于所有的0x和nRx1，当且仅当10xx，存在)()(10xxuu。效用函数偏好效用函数存在性的证明：第一步，定义映射RRun:，使其满足xx~)(eu，其中)1,,1,1(e；第二步，证明)(xu是惟一确定的，假设存在)()(21xxuu，满足xx~)(1eu和xx~)(2eu，则根据传递性有eueu)(~)(21xx，根据偏好的强单调性，则有：)()(21xxuu，这与)()(21xxuu矛盾；)](,),([)](,),([2211xxxxuuuu第三步，证明)(xu可以代表偏好关系。假设存在两个消费束x和y，yx，则有eueu)()(yx，根据强单调性)()(yxuu进一步说明：任何效用函数)(xu的严格递增变换也代表原效用函数反映的偏好关系。思考一下如何证明。例如，某人效用函数为212121)(),(xxxxu，则该函数也可变换成为：21ln5.0ln5.0lnxxu（对数线性化）习题：根据描述写出效用函数。（1）A喜欢喝汽水x，但是厌恶吃冰棍儿y；（2）B有个习惯，他每喝一杯汽水x就要吃两根冰棍y，当然汽水和冰棍儿对他而言是多多益善。一类概括能力很强的效用函数：常替代弹性效用函数/1221121)(),(xxxxu当1，该效用函数为线性；当0，该效用函数趋近于212121),(xxxxu当时，该效用函数趋近于),min(),(2121xxxxu（二）效用函数的导数关于ix的一阶偏导数：ixu)(消费束x的边际效用：nxuxuxuMU,,,)(21x习题：证明2121ln5.0ln5.0),(xxxxu中，1x和2x边际效用递减。效用函数的二阶导数：用一个海塞矩阵(Hessian)表示222212222221221221221222)()(nnnnnxuxxuxxuxxuxuxxuxxuxxuxuuHxnnnnnnuuuuuuuuu212222111211根据Young定理：如果)(xf在X中二次连续可导，那么它的海塞矩阵是对称的。具体到效用函数的二阶导数而言，存在：ijjixxuxxu22，nji,,2,1,。（三）效用函数的凹性和拟凹性在微观经济学中，对典型消费者的标准假设是效用函数为拟凹的。凹性：X10,xx而言，当10时，存在)()1()(])1([1010xuxuxxu拟凹性：Xxx10,，且)()(01xuxu，若存在)(])1([001xuxxu，式中10。效用函数凹性的经济含义：一组不同商品加权平均消费而得到的效用大于或等于单独消费每种商品所得到的效用。偏好关系单调性和凸性效用函数凹性或拟凹性注：对于偏好的限制转化为对于效用函数形式的限制（四）无差异曲线和边际替代率无差异曲线：某一特定水平的同等效用的所有消费束的集合。U0U1U2无差异曲线的性质对于良好行为偏好（满足连续性和严格凸性的偏好，如：柯布—道格拉斯偏好：21xxu，)1,0(,）无差异曲线是凸向原点的凸函数。)()1()(])1([11011101xfxfxxf01x11x)(1112xfx)(0102xfx1101)1(xx)()1()(1101xfxf10)1(xx])1([1101xxf远离原点的无差异曲线所代表的效用水平高，反之则低。同一效用函数所形成不同效用水平的无差异曲线互不相交。习题：画出下列效用函数的无差异曲线（1）21xxu（2）),min(21xxu在无差异曲线上，如果增加某种商品的消费量，需要如何调整另一种商品的消费量呢？这就是涉及到边际替代率（MRS）问题。MRS（MarginalRateofSubstitution）使用隐含数法求解MRS消费者效用水平不变021),(uxxu，两边同时对1x求导，得：01221xxxuxuMRS1221xuxu三、效用昀大化选择市场具有n种商品，价格为},{1nppp，并且假设价格是外生的，也就是不会因为购买量变化而变化。在这一前提下，消费者问题就是在预算约束下的效用昀大化（UMP）问题。（一）预算集两个制约因素：商品价格和自己财富水平w。（消费的可行性）),,,(21npppp，nipi,,2,1,0预算约束条件：niiiwxp1px所有满足消费者预算约束的消费束的集合称为预算集，又称为可行消费集。所以，在给定价格P和财富W，消费者问题表述为在中选择一个消费束。预算集的性质（为简化起见，考察2n的预算集）预算线的斜率为21pp，代表两种商品之间的交换比例；零次齐次性，即如果价格和财富同时以同样的比例变化，则消费者的需求不变；预算集是一个凸集。（二）效用昀大化选择效用昀大化（UMP）问题：)(maxxxuwtspx..求解方法：通过引入拉格朗日乘数，构造拉格朗日函数。),(max21xxuu02211..wxpxpts构造拉格朗日函数：)]([),(),,(221102121xpxpwxxuxxfL一阶条件：0111pxuxL；0222pxuxL022110xpxpwL21212211ppxuxupxupxu当商品的边际替代率等于其价格之比时消费者达到了昀大效用目标。拉格朗日乘数为影子价值或边际价值，表示昀优点上消费者财富的边际效用价值。),(wpfx，考察财富水平变化后引起的效用水平边际变化dwdudwduxxx)(（复合函数求导）在效用昀大化状态有：（1）wxppxddw；（2）pxx)(u故：ppxxx1)(dwdudwdu思考：λ的符号。二阶条件为加边海赛矩阵H0补充：无约束昀优化问题要求海塞矩阵H0（昀大值问题）或H0（昀小值问题）有约束昀优化问题要求加边海塞矩阵H0（昀大值问题）或H0（昀小值问题）当2n时，海塞加边行列式为：02122221112112pppuupuuH由于2112uu，上式可以展开成：21222211211222pupuppuH边际效用递减011u，022u故022122221121122pupuppuH扩展到n维的情况：)(maxxxuwtspx..其中Tnxxx),,,(21x，),,,(21npppp拉格朗日函数为：)()(wuLpxx记TnxxxX),,,(21为n维实列向量，)(Xf为X的向量实函数，则：TnxXfxXfxXfXXf)(,,)(,)()(21设u为常数列向量，且与X维数相同，则uXXu)(0)(,,)(,)()(21TTnTxXuxXuxXuXXuXLpp即：jijinnppxuxupxupxu0011习题：设两期消费者的效用