第2章消费者最优选择和需求分析

1/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU第2章消费者最优选择和需求分析上一章根据消费者的偏好结构建立了效用函数，利用效用函数可以刻画消费者在既定收入约束下的最优选择行为，并从中推导出消费对商品的需求函数。其中的逻辑过程是：偏好关系→效用函数→需求函数，本章将在这一逻辑框架下来分析消费者的最优选择问题。消费者最优选择问题可以归结为消费者在既定收入约束条件下的效用极大化问题或为既定效用水平下的支出极小化问题，这两个问题互为对偶问题，对前一问题的求解所得到的需求函数为马歇尔需求函数，而通过对后一个问题的求解所得到的需求函数为希克斯需求函数。通过本章的学习，你可以了解：消费者效用极大化问题；消费者支出极小化问题：对偶原理；需求的比较静态分析；需求弹性;2/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU2.1消费者的最优选择：效用极大化问题效用最大问题与马歇尔需求函数间接效用函数及其性质马歇尔需求函数与间接效用函数的关系：罗伊恒等式3/512019/10/19©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU2.1.1效用最大问题与马歇尔需求函数效用最大化问题的基本形式效用最大化问题的均衡解马歇尔需求函数4/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNUA、效用极大化问题的基本形式.(.)max()nxRstpxm21ux5/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNUB、均衡解与马歇尔需求函数瓦尔拉斯法则：最优解总是把钱化光，即p*•x=m这与x*是最优解矛盾均衡解的充要条件：如果u(x)具有良好性质，即u(x)可导，则根据拉格朗日函数：一个例子（见：例2.1）*,,(*)(*)(*)pxmΔx0pxΔxmuxuxΔx若令则L(x,)=u(x)-(px-m)λλ()iiLxuxxλp0Lλpxm0**(,)xxpy（马歇尔需求函数）6/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU2.1.2间接效用函数及其性质间接效用函数的定义间接效用函数的性质7/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNUA、间接效用函数的定义效用最大化问题的目标函数直接表明了效用与消费量之间的关系，因此又被称为直接效用函数，根据直接效用函数和预算约束所得到的最优解反映了在不同价格和收入水平下消费者对商品的需求，将效用最大化的最优解带入直接效用函数所得到的函数被定义为间接效用函数，记为：，即：)(xuu),(mpx)],(*[),(mpxumpv(,)max(*)(.).:nxRvpmux22stpxm8/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNUB、间接效用函数的性质如果直接效用函数在上是连续且严格递增的，那么间接效用函数就一定具有以下几个性质：性质1：在上是连续的[1]；性质2：是关于的零次齐次函数；性质3：是关于m的严格递增函数；性质4：是关于p的严格递减函数性质5：对价格p是拟凸性质6：满足罗伊恒等式（Roy’sidentity）[1]表示预算集的定义域，其中：表示价格的定义域，下标“＋＋”是指严格为正，没有一维价格为0，n表示有n维价格；表示收入的定义域，收入可以为0。),(mpvnnRRnR),(mpv(,)pm),(mpv),(mpv),(mpv),(mpv9/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU证明性质1：性质1是说，当收入与价格发生微量的变化时，极大化了的效用也会发生微量的变化。这是很自然的，因为如果u(x)是连续的，那么其极大化了的值也是连续的。10/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU证明性质2：性2质是说，当价格和收入同比率变动时，效用不会发生变动。为此需要证明对于所有t0，有:由于:，它显然等价于：即：性质2得证。),(),(),(mpvmpvttmtpv0(,)[max(),.:]nxRvtptmuxsttpxtm[max(),.:]nxRuxstpxm(,)[max(),.:](,)nxRvtptmuxstpxmvpm11/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU证明性质3：即要证明。由于,，这里中的x是效用极大化时的x，即x=x*(p,m)它是关于参数p和m的函数。按照包络定理(envelopetheorem，详细内容见附录2.1)，对v=v(p,m)关于m的偏导，只要对的拉格朗日函数求关于m的导数即可：由于（i=1,2,…,n），又由于，,则必有,因此：即性质3得证。0mmpv),((,)max(),.:nxRvpmuxstpxmnRxxu)(maxmax(),.:nxRuxstpxm)()(pxmxuL*(,)(,)(,)(.)xxpmvpmLxλλ23mm0pxxuxxLiii)(),(0pi0xxui)(00mmpv),(12/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU证明性质4：即要证明。用与证明性质3相同的方法，可得：由于：，，因此：即性质4得证0pmpvi),(*(,)(,)(,)(.)iiixxpmvpmLxλλx24pp00xi0xpmpvii),(13/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU性质5的证明：即要证明，对于所有的a，是一个凸集假设p1和p2满足定义预算集：可以断言：，若不然，存在某个x：这意味着：但：，这显然不可能因此：pvpma:(,)12(,),(,)vpmavpmaampvpttpptt),()(。我们只要证明：令2111122:::ttBxpxmBxpxmBxpxm12tBBB12,,txBxBxB但121()tpxtpxtpxm12,pxmpxm112212111()()(),(,)ttttpxmtpxtmpxmtpxtmtptpxmpxmxBxBpm与矛盾ampvampvaBBBBBxxuBxxumpvttt),(),(,)(max)(max),(212121和因为因为属于满足属于满足14/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU2.1.3罗伊恒等式（Roy’sidentity）罗伊恒等式是说：若间接效用函数v(p,m)已知，且连续可导，则根据其可以直接推导出马歇尔需求函数x(p,m)，即：上式即为罗伊恒等式，罗伊恒等式刻画了马歇尔需求函数和间接效用函数之间的关系。罗伊恒等式的证明：将等式(2.4)除以等式(2.3)可得证。一个例子：见例题2.2(,)(,)(,)iivpmpxpmvpmm15/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNURoy恒等式的其它证明方法：以上我们利用包络定理证明了Roy恒等式，但还有其它方法可以证明，试按下面的方法证明之：直接从间接效用函数的定义出发，使用效用最大化的一阶条件（FOC）16/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU2.2消费者最优选择：支出最小化问题上一节讨论的是消费者在既定的收入约束下如何选择商品，以使自己获得最大的效用。消费者的这种最优选择问题也可以从另一个角度考虑，即为了获得既定的效用水平，消费者如何选择商品，以使自己的支出最小，这就是所谓的支出最小化问题。支出最小化问题与希克斯需求函数支出函数及其性质希克斯需求函数与支出函数的关系：谢泼德引理17/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU2.2.1支出最小化问题与希克斯需求函数支出最小化问题的基本形式支出最小化问题的均衡解希克斯需求函数18/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNUA、支出最小化问题的形式min.:()(.)0pxstuxu2619/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNUB、均衡解与希克斯函数构建支出最小化问题的拉格朗日函数根据支出最小化一阶条件：根据（2.8）和（2.9）可得：（希克斯需求函数）希克斯需求函数是一个关于价格和效用水平的函数，它刻画了在既定价格和效用水平下，消费者实现支出最小化时对商品的需求量。[()](.)0Lpxλuxu27(),,(.)iiiiiLuxpλpλu0i1n28xx[(,)](.)120Luxxu029λ**(,)xxpu20/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU2.2.2支出函数及其性质支出函数的定义支出函数的性质21/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNUA、支出函数的定义将支出最小化问题的解代如其目标函数而得到的函数即为支出函数，记为e(p,u):),(),(upxpupeh(,)min.:()(.)n0xRepupxstuxu210＋即：，22/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNUB、支出函数的性质如果直接效用函数u(x)在上是连续且严格递增的，那么支出效用函数e(p,u)就一定具有以下几个性质：性质1：e(p,u)在上连续；性质2：e(p,u)是关于p的一阶齐次函数；性质3：e(p,u)是关于p的非递减函数；性质4：e(p,u)是关于u的严格递增函数性质5：e(p,u)是关于p的凹函数nnRR上述性质的证明方法与间接效用函数性质的证明方法类似，因此这里我们不给出以上性质的的证明过程，留做习题。23/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU2.2.2谢泼德引理(Shephard)谢泼德引理是说：若支出函数e(p,u)已知，且连续可导，则根据支出函数可以直接推导出希克斯需求函数即：也就是说，给定支出函数，我们只需对其求关于p的导数便可得到消费者的希克斯函数，这一结论就是所谓的谢泼德引理，它刻画了支出函数与希克斯需求函数之间的关系。),(upxxhii(,)(,)(.)hiiiepuxxpu211p24/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU谢泼德引理的证明由支出函数可知，中的x是最优消费束，即，而x*又是关于参数p和u的函数。根据包络定理，对e(p,u)求的导数，只要对支出函数的拉格朗日函数求关于的导数即可：一个例子：见例2.3(,)min.:()n0xRepupxstuxu＋，nRxxpmin),(upxxxhiiip(,)min.:()n0xRepupxstuxu＋，ip),(*),(),(upxxpxLpupehiiii25/51©AllCopyrightsReservedbyLiuJianghui,SHNU2.3对偶原理消费者的效用极大化问题和支出最小化问题是一对对偶问题，因为两者的行为原则是一致的，只是目