第二章不确定性资产的业绩评估均值方差分析

Chapter2不确定性资产的业绩评估：均值方差分析investmentC64.1风险资产的绩效评估4.2均值方差分析4.3有效界面2.1风险资产的绩效评估我国股市价格的趋势及其波动（上证指数1992－）风险资产的双重性收益性和风险性共生，双重决策风险资产选择的公理－随机占优（StochasticDominance)参见Rothschild&Stiglitz(1970)人们追求预期收益最大和风险最小的资产。也就是说遵循以下随机占优原则：风险相同，选择收益最大的资产；收益相同，选择风险最小的资产。Model2.1:风险资产评估1：预期收益均值预期模型：E(x)=ixiPT0T0T1X1X2X312453123我国股市的收益性（上证指数2000.1--2002.1）Case2.1:一个关于股票投资选择的例子A可能股价1可能股价2可能股价3X1ρ1X2ρ2X3ρ3E(X)股票A80.4120.5150.110.7股票B80.4120.4150.211股票C60.4120.5230.110.7注：股票A、B、C的初始股价均为10元股票回报的概率分布00.10.20.30.40.568121523股票A股票B股票C概率股票回报率•10.7我国股市的波动性（风险）Model2.2:风险资产评估2：风险Markowitz定义的风险:方差：Var(x)=2=i[xi－E(x)]2标准差：测度风险的其它统计量:平均绝对离差MAD：i|xi－E(x)|半方差：2i2iixExxExCase2.2:一个关于股票投资选择的例子B可能股价1可能股价2可能股价3X1ρ1X2ρ2X3ρ3E(X)Var(X)股票A80.4120.5150.110.75.61股票C60.4120.5230.110.724.812.2均值方差分析mean-varianceanalysisapproach风险资产的业绩表述:用概率定义的风险资产均值：E(x)=ixi方差：Var(x)=i[xi—E(x)]2于是，根据随机占优法则，有：Var()相同，选择Max.E()E()相同，选择Min.Var()PortfolioSelection.JournalofFinance1952.Vol.7资产回报的分布股票收益是一个连续概率分布，其最广泛的应用即正态分布00.10.20.30.40.50.60.70.80.9246810121416182022概率股票回报率1926－1996年间美国资本市场不同资产市盈率分布的实际情况参见：investment附录6A随机变量概率分布的性质中值的确定均值（预期值）、中位数、众数风险特性描述a.正负偏离抵消问题—平均绝对偏差（MAD）方差（Variance）、标准差（StandardDeviation）b.偏度(skewness)问题—分布的长尾巴影响投资者选择不对称性的测度和量化：三阶矩差及以上奇数矩差概率分布的基本描述一阶矩差（均值）代表酬报，二阶矩差表示酬报的不确定性偶数矩差表明有极端值的存在，奇数矩差代表不对称性的测度萨缪尔森证明Samuelson,ReviewofEconomicStudies37/1970假设：收益分布的紧凑性、价格的持续性结论：a.超过方差的所有矩差的重要性远小于预期值和方差，即忽略大于方差的矩差不会影响资产组合的选择；b.方差与均值对投资者的福利同等重要。2.3有效界面PortfolioFrontierE(r)0我国A股市场的均值方差分布ABDC0风险程度预期收益风险资产的选择域（均值/方差分析）BA0风险程度预期收益绩优股成长股重组股有效界面（有效资产集）的性质Case2.3:一个关于股票投资选择的例子C可能股价1可能股价2可能股价3X1P1X2P2X3P3E()Var()股票A80.4120.5150.110.75.61股票B80.4120.4150.2117.20股票C60.4120.5230.110.724.81A好还是B好？投资者应如何选择？Chapter3期望效用与风险偏好理论investmentC63.1期望效用理论3.2风险倾向与财富效用曲线3.3风险条件下的最优投资选择3.4金融投资顾问的作用3.5投资者如何处理风险3.1期望效用理论财富的边际效用递减1738年，DanielBernoulli“圣彼得堡悖论”反面概率Pr(n)报酬R(n)=2n概率×报酬01/211/211/421/221/841/231/1681/2::::n(½)n+12n1/2所以，预期报酬为：E(R)=Pr(n)R(n)=1/2+1/2+....=财富的边际效用递减:投资者赋予所有报酬的每一单位的价值是不同的。随着财富的增加我们的效用函数值也增大，但是财富每增加一个单位所增加的效用的数量应该逐渐减少。DanielBernoulli对于“圣彼得堡悖论”的研究，揭示了财富的边际效用递减的规律，使风险厌恶成为投资决策的前提条件和核心内容。推导参见：FoundationforFinancialEconomics，Huang&Litzenberger，宋逢明译，清华大学出版社2003版期望效用(ExpectedUtility)函数经济学家们总是希望用完备的数学规制来定义经济社会中个体的理性行为，从中得出这些行为的最一般的特征。从而在此基础上用某种理论来刻画个体选择的目标和方法。1953年，VonNeumann-Morgenstern以完全公理的体系提出了期望效用函数NMU。1964年，他们又将其运用到投资理论中。期望效用理论证明：当个体的行为服从下述行为公理时，个体偏好可以用期望效用函数来表示。当然，这些行为公理是从经济学角度出发的，并不一定服从人类学、心理学、政治学以及社会学的标准。这就为行为金融学的发展提供了广阔的空间。期望效用函数的存在性约简性公理ReductionAxiom保序性公理OrderPreservingAxiom中值性公理IntermediateValueAxiom独立性或替代公理IndependentorSubstituteAxiom阿基米德公理ArchimedeanAxiomModel3.1:NMU效用函数以概率空间（，F，P）来定义时间t的不确定性,中的每个元素表示一个状态。定义一个消费计划X（·），X：Z（ZR)，为一可测函数，x（）表示状态发生时的消费量。当状态的数目很多时，消费计划X为高维向量，如果存在一个函数u使得消费计划之间的比较是确定的，且存在概率P，此时偏好关系就可以用期望效用表示：()()()()uxdPuxdP记概率分布P下的期望算子为E（·），于是有在有限状态的情况下，我们可以把期望效用函数描述为：E[U(x)]=iU(xi)描述一个偏好关系的期望效用形式主要有两种，取决于概率取值是客观的还是主观的：前者由VonNeumann、Morgenstern引入；后者来自于Savage（1972），他把概率估计看作是投资者偏好的一个组成部分，因此是主观的。[()]()()()xzEuxuxdPuxdFz效用和期望效用UWE[U(x)]E(x)X1X2U(x)U(x1)U(x2)“圣彼得堡悖论”中，如果参加游戏者（投资者）的财富效用值可用对数效用函数加以描述，那么我们可以有期望效用值的上限：V(R)=Pr(n)logR(n)=(½)n+1log(2n)=0.693因为:log(2)=0.693，所以:该游戏的最高价格为2元。3.2风险倾向与财富效用曲线风险倾向的类型关于Attitudetorisk的理论定义对于E(A)=B，即对等投资如果E[U(A)]U(B)，风险厌恶Riskaverse如果E[U(A)]=U(B)，风险中性Riskneutral如果E[U(A)]U(B)，风险喜好Riskloving令：A＝f（W0+h1，W0+h2，p，1-p）；E(A)=B＝W0；u（·）是个体的效用函数，则从（严格）风险厌恶的定义，有：u（W0）＝u[p(W0+h1)+(1-p)(W0+h2)]pu(W0+h1)+(1-p)u(W0+h2)=E[u（·）]pu(W0+h1)+(1-p)u(W0+h2)UWW0W0+h2W0+h1U(·)u(W0+h1)u(W0+h2)u(W0)0E(A)=BE(A)=BE(A)=BE(U)E(U)U(B)U(B)E(U)=U(B)风险厌恶者U’0,U’’0风险中性者U’0,U’’=0风险喜好者U’0,U’’0UW投资者的财富效用曲线Model3.2:等效用曲线根据Tobin（1958），资产的回报率服从以R为均值、以为标准差的正态分布时，我们可以把效用函数表示为：U＝U（r；R，）期望效用可以表示为均值与标准差的函数：所以，我们也可以把无差异曲线表示成均值与方差的函数。此时，风险厌恶者的回报和风险之间的边际替代率是正的，无差异曲线是凸的。[()]()()EurUrfrRdr；，E(r)0风险厌恶者等效用曲线的凸性E(r)风险厌恶者风险中性者风险喜好者不同风险偏好投资者的等效用曲线Model3.3:风险倾向的经验描述总效用（U）=收益的效用U(收益)+风险的效用U(风险)如果：U(风险)0，风险厌恶如果：U(风险)=0，风险中性如果：U(风险)0，风险喜好最常用的如：U=E(r)-0.005A2A为投资者风险厌恶指数，一般介于2.0-4.0之间Case3.1:投资者效用的计算有一期望收益率为20%、标准差为20%的风险资产，和一可以提供7%的确定收益率的无风险资产，投资者的风险厌恶程度A＝4，他会作出什么样的投资选择？如果A＝8呢？对于A＝4的投资者，风险资产的效用是：U＝20－(0.005×4×202)＝12而无风险资产的效用为：U＝7-(0.005×4×0)＝7投资者会偏好持有风险资产(当然，无风险资产与这一风险资产的组合可能会更好，但这并非此题的选项)。对A＝8的投资者而言，风险资产的效用是：U＝20－(0.005×8×202)＝4而国库券的效用为7，因此，越厌恶风险的投资者越倾向于持有无风险资产。不同风险厌恶程度投资者的等效用曲线E(r)保守型温和型激进型0E(r)保守型温和型激进型0风险厌恶程度的变化3.3风险条件下的最优投资选择E(r)0有效界面效用无差异曲线投资者的风险资产决策B0AD风险厌恶风险喜好保守型/投资者温和型/投资者激进型/投机者E(r)风险厌恶程度与投资者行为3.4金融投资顾问的作用风险倾向评估—了解投资者的和让投资者了解自己的风险承担能力建立投资者效用函数如：U=E(r)-0.005A2测度投资者的风险容忍度设计“风险测试”来帮助人们确定自己是保守、温和还是激进的投资者。一般来说，风险问卷包括7-10个问题，涉及一个人的投资经历、金融证券以及保守或冒险的倾向。许多公司提供这种测试，包括：美林、苏黎世集团、前卫集团等。Case3.2:风险测试问卷在你认为合适的答案前的字母上划圈1、你投资60天之后，价格下跌20%，假设所有基本情况不变，你会怎样做？A为避免更大的担忧，把它抛掉再试试其它的；B什么也不做，静等收回投资；C再买入。这正是投资的好机会，同时也是便宜的投资。2、现在换个角度看上面的问题。你的投资下跌了20%，但它是资产组合的一部分，用来在三个不同的时间段上达到投资目标。2a、如果目标是3月以后，你怎么做？A抛出B什么也不做C买入2b、如果目标是1年以后，你怎么做？A抛出B什么也不做C买入2c、如果目标是5年以后，你怎么做？A抛出B什么也不做C买入3、在你买入年金基金一个月之后，其价格上涨25%，同样，基本条件没有变化。沾沾自喜之后，你怎么做？A抛出并锁定收入B保持卖方期权并期待更多的收益C更多买入，因为可能还会上涨4、你的投资期限长达15年以上，目的是养老保障。你更愿意怎么做？A投资于