江西省高中数学青年教师业务能力竞赛

江西省高中数学青年教师业务能力竞赛（解题）试题[命题：张园和]本试卷分第I卷（选择题）和第II（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题纸一并交回．第I卷(选择题共60分)注意事项：1．答第I卷前，参赛选手务必在试卷及答题纸上将自己的单位．．、姓名．．、准考证号．．．．填在指定的位置．2．所有试题的答案均应填入答题纸上的相应位置,不能答在试卷上。未填入答题纸的部分一律按零分计．一、本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．设集合{|12},{|}.MxxNxxaMN若,则实数a的取值范围是A．]2,(B．),1[C．(－1,+∞)D．(－∞,－1)2．若babiia,,11其中都是实数，i是虚数单位，则bia=A．1+2iB．1－2iC．2+iD．2－i3．已知tan,41tan,31)tan(则的值应是A．121B．131C．137D．13124．若函数)(xf的反函数为xxf21log)(,则满足()1fx的x的集合是A．(0,+∞)B．(1,+∞)C．(－1,1)D．(0,1)5．已知变量xy，满足约束条件20170xyxxy≤≥≤,则yx的取值范围是A．]6,59[B．9(][6)5，，C．(3][6)，，D．[36]，6．设随机变量服从标准正态分布(01)N，，已知(1.96)0.025，则(||1.96)P=A．0.025B．0.050C．0.950D．0.9757．已知两个等差数列{}na和{}nb的前n项和分别为An和nB，且nnAB7453nn,则使得nnab为整数的正整数n的个数是A．2B．3C．4D．58．已知椭圆1814222222myxnyx与双曲线有相同的准线,则动点P(n,m)的轨迹为A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．抛物线的一部分D．直线的一部分9．半径为1的球面上的四点DCBA,,,是正四面体的顶点,则A与B两点间的球面距离为A.)33arccos(B.)36arccos(C.)31arccos(D.)41arccos(10．如图,设P为△ABC内一点,且21,55APABAC则ABCABPSSA．51B．52C．41D．3111．将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中,这些小球仅号码不同，其余完全相同．甲从袋中摸出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b．则使不等式a−2b+100成立的事件发生的概率等于A.8152B.8159C.8160D.816112．已知定义域为R上的函数)(,2),2()2()(xfxxfxfxf时当满足单调递增，如果)()(,0)2)(2(,4212121xfxfxxxx则且的值A．可能为0B．恒大于0C．恒小于0D．可正可负第II卷(共90分)注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上．2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题纸中的相应位置上．13．在62)21(xx的展开式中，x5的系数为.14．当(12)x，时,不等式240xmx恒成立,则m的取值范围是．15．若函数xfxfxxxfx2)1()1(lim,1)(03则=.16．对于函数2()fxaxbx,存在一个正数b,使得()fx的定义域和值域相同,则非零实数a的值为__________.三、解答题：本大题共6小题,共74分.解答应写出必要的文字说明,演算步骤或证明过程．17．(本小题满分12分)已知定义域为R的函数12()2xxbfxa是奇函数．(1)求,ab的值；2,4,6APCBABCDPE(2)若对任意的tR,不等式22(2)(2)0fttftk恒成立,求k的取值范围.18．(本题满分12分)在九江市教研室组织的一次优秀青年教师联谊活动中，有一个有奖竞猜的环节．主持人准备了A、B两个相互独立的问题，并且宣布：幸运观众答对问题A可获奖金1000元，答对问题B可获奖金2000元，先答哪个题由观众自由选择，但只有第一个问题答对，才能再答第二题，否则终止答题．若你被选为幸运观众，且假设你答对问题A、B的概率分别为12、14．(1)记先回答问题A的奖金为随机变量,则的取值分别是多少？(2)你觉得应先回答哪个问题才能使你获得更多的奖金?请说明理由．19．(本小题满分12分)已知函数()sincosfxaxbx(,abR,且0)的部分图象如图所示．(1)求,,ab的值；(2)若方程23()()0fxfxm在2(,)33x内有两个不同的解,求实数m的取值范围．20．(本小题满分12分)如图,在四棱锥PABCD中,PA底面ABCD，60ABADACCDABC，，°,PAABBC,E是PC的中点．(1)证明CDAE；(2)证明PD平面ABE；(3)求二面角APDC的大小.21．(本小题满分12分)设不等式组00xyxy表示的平面区域为D,区域D内的动点P到直线0xy和直线0xy的距离之积为2,记点P的轨迹为曲线C.是否存在过点(220)F，的直线l,使之与曲线C交于相异两点A、B,且以线段AB为直径的圆与y轴相切？若存在,求出直线l的斜率;若不存在,说明理由．x2376yO122．(本小题满分14分)已知函数xxxf2)(及正整数数列{},{}nnab.若121,bb,且当2n时,有2211111nnnnnbbbbb;又14a,1()nnafa,且11112niia对任意*nN恒成立.数列{}nc满足:2(1)21nnnnbcnba.(1)求数列{}na及{}nb的通项公式;(2)求数列nc的前n项和nS；(3)证明存在kN，使得11nknkcccc≤对任意kN均成立．参考答案命题：张园和题号123456789101112答案BCBAACDACADC题号13141516备注答案160(,5]14[1]解:画出数轴,由图可知1a,选B.[2]解:由11abii得2,1ab,所以2abii.[3]解:11134tantan[()]1113134,故选B.[4]解:因为xxf21log)(,所以()2xfx,于是原不等式为21x,解得0x.[5]解:画出可行域(图略),为一个三角形区域,顶点分别为59(1,3),(1,6),(,)22.yx表示可行域内的点(,)xy与原点(0,0)连线的斜率,当(,)(1,6)xy时取最大值6,当59(,)(,)22xy时取最小值95.故选A.[6]解:服从标准正态分布(01)N，，(||1.96)(1.961.96)PP(1.96)(1.96)12(1.96)120.0250.950.[7]解:由等差数列的前n项和及等差中项，可得121121121121112122112122nnnnnnaanaaabbbnbb212172145213nnnABn14387191272211nnnnn，故1,2,3,5,11n时，nnab为整数。故选D[8]解:由已知得:228484mn,化简为221,(0)28nmn,轨迹为椭圆的一部分.故选A.[9]解:半径为1的球面上的四点DCBA,,,是正四面体的顶点，设AB=a，P为△BCD的中心，O为球心，则OB=1，OP=31，BP=33a，由222OBOPBP解得263a，∴由余弦定理得∠AOB=arcos(－31)，∴A与B两点间的球面距离为)31arccos(，选C。[10]解:设,CPmCDADnAB.则()APACmCDACmnABAC(1)mACmnAB.所以121,55mmn,解得45m.于是:1:5ABPABCSS.[11]解：甲、乙二人每人摸出一个小球都有9种不同的结果，故基本事件总数为92=81个.由不等式a−2b+100得2ba+10，于是，当b=1、2、3、4、5时，每种情形a可取1、2、…、9中每一个值，使不等式成立，则共有9×5=45种；当b=6时，a可取3、4、…、9中每一个值，有7种；当b=7时，a可取5、6、7、8、9中每一个值，有5种；当b=8时，a可取7、8、9中每一个值，有3种；当b=9时，a只能取9，有1种.于是，所求事件的概率为816181135745.[12]解:由题设知,()fx的图象关于点(2,0)对称.又由已知,12(2)(2)0xx且12(2)(2)0xx,由()fx在2x时单调递增知,12()()0fxfx.故选C.[13]解:336(2)160C.[14]解:由题设得24xmx,故只需求2min4()xx.由单调性知,在(1,2)x时,245xx,所以5m.[15]解:易知()fx为奇函数,所以00(1)(1)1(1)(1)limlim22xxfxfffxxx/1(1)12f.[16]解:若0a，对于正数b，()fx的定义域为(,][0,)bDa，但()fx的值域[0,)A，故DA，不合要求.若0a，对于正数b，()fx的定义域为[0,]bDa.由于此时max[()]()22bbfxfaa，故函数的值域[0,]2bAa.由题意，有2bbaa，由于0b，所以4a.17、解：(1)因为()fx是奇函数,所以(0)f=0,即111201()22xxbbfxaa又由(1)(1)ff知111222.41aaa(2)解法一：由(1)知11211()22221xxxfx,易知()fx在(,)上为减函数。又因()fx是奇函数，从而不等式：22(2)(2)0fttftk等价于222(2)(2)(2)fttftkfkt.因()fx为减函数,由上式推得:2222ttkt．即对一切tR有：2320ttk,从而判别式14120.3kk解法二：由(1)知112()22xxfx．又由题设条件得：2222222121121202222tttktttk即：2222212212(22)(12)(22)(12)0tktttttk整理得:23221,ttk因底数21,故:2320ttk.上式对一切tR均成立,从而判别式14120.3kk18、解：(1)题意，的取值可以为0元，1000元，3000元(2)设先答A的奖金为元,先答B的奖金为元,则有11(0)122P，113(1000)(1)248P,1(3000)8P,所以13160000100030002888E.同理,3(0)4P,1(2000)8P,1(3000)8P.所以31150000200030004888E.故先答A,能使所获奖金期望较大.19、解：(1)由图象易知函数()fx的周期为4T(6723)=2，∴1．又,2()03f且7()16f,即3102213122abab,解得:13,22ab.所以,13()sincos22fxxxsin()3x.[也可以按以下解释:上述函数