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当前位置:首页 > 中学教育 > 高中教育 > 【精品数学】必修五2.1.2余弦定理教案(第二课时)
1、教学设计1.2余弦定理(第二课时)教学分析:余弦定理本身比较简单,就一类公式而已,但是余弦定理的运用却不简单。本节习题课,主要以余弦定理的运用为主,通过分类讲解、变式训练等形式,让学生进一步掌握余弦定理。重点难点教学重点:余弦定理的进一步应用.教学难点:能熟练应用余弦定理解三角形.课时安排1课时教学过程题型一:已知两边及一角解三角形[典例]△ABC中,已知b=3,c=33,B=30°,解三角形.[解][法一利用余弦定理]由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得32=a2+(33)2-2a×33×cos30°,∴a2-9a+18=0,得a=3或6.当a=3时,A=30°,C=120°.当a=6时,由正弦定理sinA=asinBb=6×123=1.∴A=90°,∴C=60°.[法二利用正弦定理]由bc,B=30°,bcsin30°=33×12=332知本题有两解.由正弦定理得,sinC=csinBb=33×123=32,∴C=60°或120°.当C=60°时,A=90°,由勾股定理a=b2+c2=32+332=6.当C=120°时,A=30°,△ABC为等腰三角形,∴a=3.类。
2、题通法:已知两边及一角解三角形时有两种方法(1)利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程,运用解方程的方法求出此边长,然后利用正弦定理和三角形内角和定理求出另外两个角.(2)直接用正弦定理,先求角再求边.用方法(2)时要注意解的情况,用方法(1)就避免了取舍解的麻烦.[活学活用]在△ABC中,已知角A,B,C所对的三边长分别为a,b,c,若A=π4,b=2,S△ABC=2,求a.解:因为S△ABC=12bcsinA=12×2×22c=22c=2,所以c=22.根据余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=4+8-2×2×22×22=4,所以a=2.题型二:已知三边解三角形[典例](1)在△ABC中,a=3,b=4,c=37,则最大角为________;(2)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知B=C,2b=3a,则cosA=________.[解析](1)∵3743,边c最大,则角C最大,又cosC=a2+b2-c22ab=32+42-372×3×4=-12.∴最大角C=120°.(2)由B=C,2b=3a,可得c=b=32a.所以cosA=b2+c2-a22。
3、bc=34a2+34a2-a22×32a×32a=13.[答案](1)120°(2)13类题通法:已知三边解三角形的策略(1)已知三角形三边求角时,可先利用余弦定理求解,再用正弦定理求解,在用正弦定理求解时,要根据边的大小确定角的大小,防止产生增解或漏解.(2)若已知三角形三边的比例关系,常根据比例的性质引入k,从而转化为已知三边求解.[活学活用]1.已知在△ABC中,a∶b∶c=2∶6∶(3+1),求角A的大小.解:∵a∶b∶c=2∶6∶(3+1),令a=2k,b=6k,c=(3+1)k(k0),由余弦定理得,cosA=b2+c2-a22bc=22,∵0°A180°,∴A=45°.2.若△ABC的内角A,B,C满足6sinA=4sinB=3sinC,求cosB的值.解:由正弦定理及6sinA=4sinB=3sinC,可知6a=4b=3c,令6a=4b=3c=12k,k0,则a=2k,b=3k,c=4k.由余弦定理得cosB=a2+c2-b22ac=4k2+16k2-9k22×2k×4k=1116.题型三:判断三角形的形状[典例]在△ABC中,已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,。
4、且2cosAsinB=sinC,确定△ABC的形状.[解]法一:由正弦定理得sinCsinB=cb,由2cosAsinB=sinC,有cosA=sinC2sinB=c2b.又由余弦定理得cosA=b2+c2-a22bc,所以c2b=b2+c2-a22bc,即c2=b2+c2-a2,所以a2=b2,所以a=b.又因为(a+b+c)(a+b-c)=3ab,所以(a+b)2-c2=3ab,所以4b2-c2=3b2,即b2=c2.所以b=c,所以a=b=c.所以△ABC为等边三角形.法二:因为A+B+C=180°,所以sinC=sin(A+B),又因为2cosAsinB=sinC,所以2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以sin(A-B)=0.又因为A与B均为△ABC的内角,所以A=B.又由(a+b+c)(a+b-c)=3ab得(a+b)2-c2=3ab,所以a2+b2-c2+2ab=3ab,即a2+b2-c2=ab.由余弦定理,得cosC=a2+b2-c22ab=ab2ab=12,又0°<C<180°,所以C=60°.所以△ABC为等边三角形.类题通法:判断三角形形状的。
5、两条途径(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系;(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,此时要注意应用A+B+C=π这个结论.[活学活用]在△ABC中,若sinA+sinB=sinC·(cosA+cosB),试判断△ABC的形状.解:由已知条件,根据正弦定理及余弦定理可得:a+b=cb2+c2-a22bc+a2+c2-b22ac,整理得(a+b)(c2-a2-b2)=0.因为a+b≠0,所以a2+b2=c2.故△ABC是以C为直角的直角三角形.题型四:正、余弦定理的综合应用题点一:利用正、余弦定理解三角形1.在△ABC中,C=2A,a+c=10,cosA=34,求b.解:由正弦定理得ca=sinCsinA=sin2AsinA=2cosA,∴ca=32.又a+c=10,∴a=4,c=6.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得cosA=b2+2012b=34,∴b=4或b=5.当b=4时,∵a=4,∴A=B.又C=2A,且A+B+C=π,∴A=π4,与已知cosA=34。
6、矛盾,不合题意,舍去.当b=5时,满足题意,所以b=5.2.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cosB=79.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.解:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac(1+cosB).又b=2,a+c=6,cosB=79,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在△ABC中,sinB=1-cos2B=429,由正弦定理,得sinA=asinBb=223.因为a=c,所以A为锐角,所以cosA=1-sin2A=13.因此sin(A-B)=sinAcosB-cosAsinB=10227.题点二:利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式2.在△ABC中,求证a2sin2B+b2sin2A=2absinC.证明:法一:(化为角的关系式)a2sin2B+b2sin2A=(2R·sinA)2·2sinB·cosB+(2R·sinB)2·2sinA·cosA=8R2sinA·sinB(sinAcosB+cosAsinB)=8R2sinAsinBsinC=2·2RsinA·2RsinB·si。
7、nC=2absinC.∴原式得证.法二:(化为边的关系式)左边=a2·2sinBcosB+b2·2sinAcosA=a2·2b2R·a2+c2-b22ac+b2·2a2R·b2+c2-a22bc=ab2Rc(a2+c2-b2+b2+c2-a2)=ab2Rc·2c2=2ab·c2R=2absinC=右边,∴原式得证.类题通法:正弦、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具,这类题目往往结合基本的三角恒等变换,同时注意三角形中的一些重要性质,如内角和为180°、大边对大角等.。
本文标题:【精品数学】必修五2.1.2余弦定理教案(第二课时)
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