直线与椭圆位置关系专题经典讲义

-1-直线与椭圆的位置关系专题讲义知识点1：直线与椭圆位置关系、弦长问题：将直线方程bkxy（或bmyx）代入椭圆方程：12222byax)0(ba，整理得到关于x（或y）的一个一元二次方程02CBxAx（或02CByAy）当＿＿＿＿＿＿＿直线l与椭圆相交；当＿＿＿＿＿＿＿直线l与椭圆相切；当＿＿＿＿＿＿＿直线l与椭圆相离。若直线l：bkxy与椭圆)0(12222babyax相交于A，B两点，弦长公式：||AB＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿或||AB＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦；通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦叫通径。通径公式为：__________.例1.当m为何值时，直线y=x+m与椭圆191622yx相交？相切？相离？练习、直线y=mx+1与椭圆x2+4y2=1有且只有一个交点，则m2=（）(A)21(B)32(C)43(D)54例2、直线y=kx+1与焦点在x轴上的椭圆x2/9+y2/m=1总有公共点，求实数m的取值范围是（）A、1/2≤m＜9B、9＜m＜10C、1≤m＜9D、1＜m＜9练习、若直线)(1Rkkxy与椭圆1522myx恒有公共点，求实数m的取值范围例3、求直线x－y＋1=0被椭圆141622yx截得的弦长练习、已知椭圆：1922yx，右顶点为A，过左焦点1F作倾斜角为6的直线交椭圆于NM、两点，求弦MN的长及AMN的面积。-2-知识点2：中点弦问题（点差法）例4椭圆141622yx内有一点P（2，1），求经过P并且以P为中点的弦所在直线方程。练习、如果椭圆193622yx的弦被点)2,4(平分，则这条弦所在的直线方程是（）A.02yxB.042yxC.01232yxD.082yx例5、求直线y=x+1被椭圆x2+2y2=4截得的弦的中点坐标。练习、已知椭圆1257522xy的一条弦的斜率为3，它与直线21x的交点恰为这条弦的中点M，求点M的坐标。例6..已知椭圆2222:1(0)xyEabab的右焦点为(3,0)F，过点F的直线交椭圆于,AB两点。若AB的中点坐标为(1,1)，则E的方程为()A.2214536xyB.2213627xyC.2212718xyD.221189xy练习、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F的椭圆被直线23:xyl截得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程。-3-知识点3：椭圆中的最值问题例7.已知椭圆：，，是椭圆上一点ExyPxy2225161()（1）求x+y的最大值（2）求点P到直线x-y+10=0的距离的最小值。练习：求椭圆13422yx上的点到直线022yx的最小距离知识点4.直线椭圆综合问题例8（12北京）已知椭圆C：22xa+22yb=1（a＞b＞0）的一个顶点为A（2,0），离心率为22，直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同的两点M,N（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）当△AMN的面积为103时，求k的值练习【12陕西】已知椭圆221:14xCy，椭圆2C以1C的长轴为短轴，且与1C有相同的离心率。（1）求椭圆2C的方程；（2）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆1C和2C上，2OBOA，求直线AB的方程。-4-例9．(2013课标全国2)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2222=1xyab(a＞b＞0)右焦点的直线30xy交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.(1)求M的方程；(2)C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．例10（2014新课标2）设F1，F2分别是椭圆C：12222byax（ab0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N。（I）若直线MN的斜率为43，求C的离心率；（II）若直线MN在y轴上的截距为2且|MN|=5|F1N|，求a，b-5-直线与椭圆的位置关系专题基础训练一、选择题1.已知椭圆C:2244xy,过点2,0P与椭圆C只有一个交点的直线方程是（）（A）x+2=0（B）x-2=0（C）y+2=0（D）y-2=02．直线1ykxk与椭圆22194xy的位置关系为（）（A）相切（B）相交（C）相离（D）不确定3．椭圆221164xy上的点到直线220xy的最大距离是（）（A）3（B）11（C）22（D）104.直线1yx被椭圆2224xy所截的弦的中点坐标是（）（A）(31,－32)（B）(－32,31)（C）(21,－31)（D）(－31,21)5.已知椭圆221369xy，椭圆内一点(4,2)P,则以P为中点的弦所在的直线的斜率是（）（A）21（B）－21（C）2（D）－26．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件)0(921aaaPFPF，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段二、填空题7.方程11922kykx表示椭圆，则m的取值范围为．8.椭圆221259xy+=的焦点1F、2F，P为椭圆上的一点，已知21PFPF，则△21PFF的面积为____________9．称焦距与短轴长相等的椭圆为“黄金椭圆”，则黄金椭圆的离心率为．10.（浙江卷13）已知21FF、为椭圆192522yx的两个焦点，过1F的直线交椭圆于A、B两点若1222BFAF，则AB=。11.（海南卷15）过椭圆22154xy的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为______________12.经过椭圆2212xy的一个右焦点作倾斜角为45的直线l，交椭圆于A、B两点．设O为坐标原点，则OAOB等于。三、简答题13、已知椭圆1222yx的左右焦点分别为F1,F2，若过点P（0，-2）及F1的直线交椭圆于A,B两点，求|AB|及ABF2的面积14.已知椭圆1422yx及直线mxy．（1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．-6-15.已知椭圆方程为2212xy，内有一条以点11,2P为中点的弦AB，求AB所在的直线l的方程及AB的弦长。16、已知中心在原点，长轴在x轴上的椭圆,ca32，若椭圆被直线x+y+1=0截得的弦的中点的横坐标是32，求椭圆的方程。17.椭圆C:22221(0)xyabab的两个焦点为F1,F2,点P在椭圆C上，且11212414,||,||.33PFFFPFPF（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心，交椭圆C于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线l的方程.18.已知圆22:(1)16Bxy及点(1,0)A，M为圆B上任一点，线段AM的垂直平分线与线段BM的交点为P，设点P的轨迹为曲线C。（1）求曲线C的轨迹方程；（2）过点(2,4)且倾斜角为34的直线与曲线C交于,EF两点，O为原点，求OEF的面积；（3）过点(1,1)的直线l与曲线C交于,RS两点，且线段RS被点(1,1)平分，求直线l的方程。6422455BAoMPxy11-7-直线与椭圆的位置关系专题能力提高1.设1F,2F分别是椭圆E：2x+22yb=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过1F的直线L与E相交于A、B两点，且2AF，AB，2BF成等差数列。⑴求AB⑵若直线L的斜率为1，求b的值。2.椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为32，且过(2,0)点。（1）求椭圆C的方程；（2）设直线:lyxm与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若OAB直角三角形，求m的值。3.（2013年高考陕西卷（文））已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点.若A是PB的中点,求直线m的斜率.4．椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，离心率为12，且点（1，32）在该椭圆上.（I）求椭圆C的方程；（II）过椭圆C的左焦点1F的直线l与椭圆C相交于,AB两点，若AOB的面积为726，求圆心在原点O且与直线l相切的圆的方程.-8-5．（2013年高考天津卷（文））设椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F,离心率为33,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为433.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设A,B分别为椭圆的左右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C,D两点.若··8ACDBADCB,求k的值.6.设直线:lyxb与椭圆C：112222ayax(1)a相交于A，B两点，且l过椭圆C的右焦点，若以AB为直径的圆经过椭圆的左焦点，求该椭圆C的方程。7.[2014·全国新课标卷Ⅰ]已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积．8.[2014·北京卷]已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．