第二节函数的求导法则

第二节函数的求导法则•一、函数和、差、积、商的求导法则•二、反函数的求导法则•三、复合函数的求导法则•四、小结一、和、差、积、商的求导法则定理并且处也可导们的和、差在点则它处可导在点如果函数,,)(),(xxxvxu[()()]()();uxvxuxvx证明：'000()()()[()()[()()]()()limlimlimxxxfxxfxfxxuxxvxxuxvxxuxxuxx''0()()()()limxvxxvxuxvxx所以f(x)在点x处可导，且'''()()()fxuxvx类似的，可以得uxvxuxvx，uxvxuxvx因此得函数的和、差的求导法则：两个可导函数之和（之差）得导数等于这两个函数得导数之和（差）。这个法则可以推广导任意有限项的情形。积的求导法则uxvxuxvxuxvxcuxcuxuvwuvwuvwuvw证明：由导数定义与极限法则，有'0()()()limxfxxfxfxx0()()()()limxuxxvxxuxvxx0[()()()()][()()()()]limxuxxvxxuxvxxuxvxxuxvxx000()()()()limlim()()limxxxuxxuxvxxvxvxxuxxx''()()()()uxvxuxvx其中，0lim()()xvxxvx是因为'()vx存在，从而()vx在x处一定存在所以，在点x处可导，且()fxuxvxuxvx，简记uxvxuxvxuxvx()fx因此得函数积得求导法则：两个可导函数得乘积得导数等于第一个因子的导数与第二个因子的乘积，加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积。积的求导法则也可以推广到任意个有限个函数之积的情形。商的求导法则2()()()()()[]()()xxxxxxx证设()(),(()0),()uxfxvxvx0()()()limhfxhfxfxh0()()()()lim()()huxhvxuxvxhvxhvxh0()()()()limhuxhuxvxhvxh0[()()]()()[()()]lim()()huxhuxvxuxvxhvxvxhvxh0()()()()()()lim()()huxhuxvxhvxvxuxhhvxhvx2()()()()[()]uxvxuxvxvx.)(处可导在xxf推论11(1)[()]();nniiiifxfx(2)[()]();CfxCfx1211211(3)[()]()()()()()()()();nininnnikikkifxfxfxfxfxfxfxfxfx例1.735223的导数求xxxy解例2.ln2sin的导数求xxy解2sincoslnyxxx2coscoslnyxxx2sin(sin)lnxxx12sincosxxx12cos2lnsin2.xxxx'32'(2537)yxxx3'2'''(2)(5)(3)7xxx3'2''2()5()(3)xxx22235236103xxxx3'()4cossin,().22fxxxf求'3'()(4cossin)2fxxx3'''()(4cos)(sin)2xx234sinxx2'23()3()4sin42224f所以例3例4',sin2yxxy求设'''(2sin)2(sin)yxxxx''2()sin2(sin)xxxxsin2cosxxxx例5.tan的导数求xy解sin(tan)()cosxyxx2(sin)cossin(cos)cosxxxxx222cossincosxxx221seccosxx2(tan)sec.xx即2(cot)csc.xx同理可得例6.sec的导数求xy解1(sec)()cosyxx2(cos)cosxxsectan.xx2sincosxx(csc)csccot.xxx同理可得例7'1tan,1tanxyyx求''1tan()1tanxyx''2(1tan)(1tan)(1tan)(1tan)|(1tan)xxxxx222sec(1tan)(1tan)(sec)(1tan)xxxx222sec(1tan)xx解：二、反函数的求导法则定理.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy且有内也可导在对应区间那末它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.证,xIx任取xx以增量给的单调性可知由)(xfy,0y于是有1,yxxy,)(连续xf),0(0xy0)(y又知0()limxyfxx01limyxy1()y1().()fxy即),0(xIxxx例8.arcsin的导数求函数xy解,)2,2(sin内单调、可导在yIyx(sin)cos0,yy且内有在)1,1(xI1(sin)y1cosy211siny21.1x21(arccos).1xx同理可得21(arctan);1xx(arcsin)x21(arcot);1cxxarctanyx例9求反正切函数的导数。解时的反函数，而在内单调增加、可导，且arctanyxtanxytanxy(,)22yI，所以每点都可导，并有'2(tan)sec0yyarctanyx，又'''211(arctan)(tan)secyxyy于是有222sec1tan1yyx'21(arctan)1xx类似的，可求得'21(cot)1arcxx例10.log的导数求函数xya()ln0,yyaaa且,),0(内有在xI1(log)()ayxa1lnyaa1.lnxa解,),(内单调、可导在yyIax特别地1(ln).xx三、复合函数的求导法则定理).()(,)]([,)()(,)(0000000xufdxdyxxfyxuufyxxuxx且其导数为可导在点则复合函数可导在点而可导在点如果函数即:因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)证,)(0可导在点由uufy00lim()uyfuu00()(lim0)uyfuu故0()yfuuu0limxyx00lim[()]xuufuxx0000()limlimlimxxxuufuxx00()().fux则推广),(),(),(xvvuufy设.)]}([{dxdvdvdududydxdyxfy的导数为则复合函数例11.sinln的导数求函数xy解ln,sin.yuuxdydydudxdudx1cosxucossinxxcotx例125.xye求函数的导数解54455uxdydyduexxedxdudx例13解可以看作由，复合而成的，因此5xyeuye5uxlncos(),设求dxxdyyelncos()ln,cos,可以看作由复合而成的，因为xyeyuuxe1(sin).tan()xxxdydydudeeedxduddxu例14.)2(21ln32的导数求函数xxxy解211ln(1)ln(2),23yxx21112213(2)yxxx2113(2)xxx例15.1sin的导数求函数xey解1sin1(sin)xyex1sin11cos()xexx1sin211cos.xexx四、小结注意:[()()]()();uxvxuxvx()()[].()()uxuxvxvx分段函数求导时,分界点导数用左右导数求.[()()]()();uxvxuxvx注意:反函数的求导法则（注意成立条件）;复合函数的求导法则（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;223yx令0y2230x123x223x切点为246,39246,39所求切线方程为469y469y和求曲线上与轴平行的切线方程.32yxxx1.例||)(uuf在处不可导，0u取xxgusin)(在处可导，0x|sin|)]([xxgf在处不可导，0x)1(取4)(xxgu在处可导，0x44||)]([xxxgf)2(在处可导，0x若)(uf在0u不可导，)(xgu在0x可导，且)(00xgu，则)]([xgf在0x处（）．（1）必可导；（2）必不可导；（3）不一定可导；正确地选择是（3）2.ln()2lnxfxx'(1)f2arccosyxdydx1arctanyx'y1lncosyx'y()sin(sin)fxxx'()fx1.填空题：(1)设，则__________；，则_________；，则____________；，则＝_____________；，则________。(2)设(3)设(4)设(5)设2.单项选择题：(2)yfx'y(1)设，则()A．'(2)fx'(2)fx'(2)fx'2(2)fxB.C.D.练习题2.2xDxCxBxAxfxxxfeeDeeCeBeeAxfexfxDxCxBxAxfxxfxDxCxBAyyxxxxxxxxxxxxx2222'2222''1sinsinsinsinsincos2.sec2.csc2.sin21.())(,2cot2tan)()5(1.1.11.1.())(,arctan)()4(tan.cot.cot.sin1.())(,sinln)()3(sin3..cos3..cos3ln3..3ln3.()',3)2(；；；；则设；；；；则设；；；；则设；；；；则设)1(log)10(11)9(1cot)8(sec)7()()6)(sin()5(5)4(;3sin)3(15)2()14()1(,,,,,.4)1ln(2)1ln()4(ln1ln1)3(ln)2(ln)1(.322sin25222xxyttyxyxyxbaxytAsyyeyxyAnbaxxyxxyxxyxxyanxxxn；；；；；；；都是常数）：中求下列函数的导数（其；；；求下列函数的导数：22222235ln2225.(1)lntan(2)ln()(2(3)cos(4)sin1sin2(5)ln(ln(ln)))(6)11(7)2(8)tantantan356.()()()()0()()7.xxxxyyxxaayxyxxyxyxyyxxxfxgxfxgxyfxgxye求下列函数的导数：；为常数）；；；；；；设，可导，，求函数的导数。