公开课：直线与抛物线的位置关系

（二）归纳：抛物线的几何性质(复习回顾）图形方程焦点准线范围顶点对称轴elFyxOlFyxOlFyxOlFyxOy2=2px（p0）y2=-2px（p0）x2=2py（p0）x2=-2py（p0）)0,2(pF)0,2(pF)2,0(pF)2,0(pF2px2px2py2pyx≥0y∈Rx≤0y∈Ry≥0x∈Ry≤0x∈R(0,0)x轴y轴1补充（1）通径：|PF|=x0+p/2xOyFP通径的长度：2PP越大,开口越开阔（2）焦半径：连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径。焦半径公式：),(00yx（标准方程中2p的几何意义）0020202020122222322422,.(),||;(),||-(),||(),||-PxypypxPFxpypxPFxpxpyPFypxpyPFy抛物线上一点与焦点的连线叫抛物线的焦半径抛物线的焦半径2112212203,,,.|):|.(ypxpFlAxyBxyABxxp已知过抛物线的焦点的直线交抛物例线于两抛物线的焦点弦问题问:点题1求证121222:()()ABAFBFppxxxxp解112221221221221212223242,,,,,(),||;(),||(),||(),||AxyBxyypxABxxpypxABpxxxpyAByypxpyABpyy抛物线的焦点弦过抛物线焦点的弦叫焦点弦设焦点弦端点则直线与抛物线的位置关系直线与圆、椭圆、的位置关系的判断方法：1、根据几何图形判断的直接判断2、直线与圆锥曲线的公共点的个数Ax+By+c=0f(x,y)=0(二次方程)解的个数形数一、复习引入:Fxy类比“直线与椭圆的位置关系”，你能说出“直线与抛物线的位置关系”吗？二、新知讲解：直线与抛物线的位置关系相离无公共点一个公共点相切相交相交两个公共点注意：有一个公共点不一定是相切直线与抛物线的位置关系:设直线与抛物线方程分别为:y=kx+m与y2=2px:(1)若直线与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点.(2)若直线与对称轴相交,得:Ax2+Bx+C=0y=kx+my2=2px由故①△0相交②△=0相切③△0相离FxyoFxyoFxyoFxyo对于“几何图形观察法”，其优点在于可以根据图形的几何直观直接判断，但由于手工作图会有一定的误差，这对于我们判断结果必定会产生影响.本节课我们利用解方程组即“代数方法”解决“直线与抛物线公共点个数”的问题.例1：判断下列直线与抛物线的公共点个数（1）与1y;2xy12xy;2xy1y;2xyxy.2xy（2）与（3）与（4）与三、例题讲解（1）xy（2）xy几何法只有一个公共点得解方程组11122yxxyxy有两个公共点或得解方程组11002yxyxxyxy代数法（3）（4）四、新知探究已知抛物线的方程为，动直线过定点，斜率为.当为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？l)1,2(Pxy42kklxy42代数法方法：)2(1xky因为直线过点P（-2,1），斜率为K利用直线的点斜式方程：例1已知抛物线的方程为24yx,直线l过定点(2,1)P,斜率为k,k为何值时,直线l与抛物线24yx:⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶没有公共点?分析:直线与抛物线有一个公共点的情况有两种情形：一种是直线平行于抛物线的对称轴；另一种是直线与抛物线相切．xyxky42)2(1联立方程得公共点的个数方程组解的个数消元方法0)12(442kyky整理得如何求方程①的解呢？①我们到底有没有必要求出方程的解呢？方法探究——代数法方程①的解的个数对应的方程组（*）0)12(442kyky①该方程有几个解呢？它一定是二次方程吗？对系数分类讨论k当时，方程①为一次方程，此时只有一个解；0k当时，方程①为二次方程，此时需讨论判别式0k解：由题意，设直线的方程为l)2(1xky由方程组,42,)2(1xyxky（*）可得.0)12(442kyky①（1）当时，由方程①得0k.1y把代入得1yxy42.41x这时，直线与抛物线只有一个公共点l)1,41(（2）当时，方程①的判别式为0k)122(16kk（Ⅰ）由即,0,0122kk解得.21,1kk或于是，当时，方程①只有一个解，从而方程组（*）只有一个解，这时，直线与抛物线只有一个公共点.21,1kk或（Ⅱ）由即,0,0122kk解得.211k于是，当时，方程①有两个解，从而方程组（*）有两个解.这时，直线与抛物线有两个公共点.0211kk且（Ⅲ）由即,0,0122kk解得21,1kk或方程组无解，此时直线与抛物线没有交点综上，我们可得当或或时，直线与抛物线只有一个公共点；,1k,21k0kl211k当，且时，直线与抛物线有两个公共点；0kl当，或时，直线与抛物线没有公共点；1k21kl五、总结提升：第一步：求出直线的方程；第二步：联立直线与抛物线的方程，消元得到关于或的方程；lxy02cbyay第三步：讨论的系数与的关系.若，则得到一元一次方程；若，则讨论判别式的符号.2ya0a0a第四步：下结论0六、变式训练1、已知抛物线的方程为，直线过定点，斜率为.当为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？)1,0(Pxy42kklxy42.10110时，没有公共点当时，有两个公共点；且当时，有一个公共点；或当kkkk2、已知抛物线方程为，直线方程，当为何值时，直线与抛物线：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？xy42lxy42mxy2m七、思考题：1、若直线交抛物线于两点，且，求的值.xy82BA、2kxyl：152ABk2、已知抛物线，过点引弦xy62)1,4(P21PP，使它恰好被点平分，求这条弦所在的直线方程.P1、直线与圆、椭圆、抛物线的位置关系的判断方法：（1）根据几何图形判断的直接判断（2）直线与圆锥曲线的公共点的个数Ax+By+c=0f(x,y)=0(二次方程)解的个数形数八、课堂总结2、判断直线与抛物线位置关系的操作程序把直线方程代入抛物线方程得到一元一次方程得到一元二次方程直线与抛物线的对称轴平行相交（一个点）计算判别式0=00相交相切相离