指数函数及其性质优质课

长垣一中郑忠博2017年3月15日引例1：某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…….1个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数关系是什么？分裂次数：1，2，3，4，…，x细胞个数：2，4，8，16，…，y由上面的对应关系可知，函数关系是xyx2.引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式为xyx85.0在xy2,xy85.0中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量.我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.学习目标：1.了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；2.理解指数函数的概念和意义；3.能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（单调性、特殊点）.学习重点：指数函数的图像与性质.学习难点：指数函数的概念和意义.指数函数的定义：)10(aaayx且函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。新知：探究1：为什么要规定a0,且a1呢？xaxa①若a=0，则当x0时，=0；0时，无意义.当x②若a0，则对于x的某些数值，可使xa无意义.如x)2(，这时对于x=41，x=21……等等，在实数范围内函数值不存在.③若a=1，则对于任何xR，xa=1，是一个常量，没有研究的必要性.为了避免上述各种情况，所以规定a0且a1。探究2：函数xy32是指数函数吗？因为指数函数的解析式y=xa中，xa的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如kayx(a0且a1，kR)；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如xay)1a,0(且a因为它可以化为xay1)11,01(aa且不是(口答)1.下列函数是指数函数的是（）Dxy313xy13xyxy3（A）（B）（C）（D）指数函数的图象和性质：在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：xy2xy21xy3xy31列表如下：x2x21…0.130.250.50.7111.4248……8421.410.710.50.250.13……3210.50-0.5-1-2-3…xx3x31…0.060.10.30.611.73915.6……15.6931.710.60.30.10.06……2.5210.50-0.5-1-2-2.5…x87654321-6-4-2246fx=2xx…-3-2-1-0.500.5123……0.130.250.50.7111.4248……8421.410.710.50.250.13…87654321-6-4-2246gx=0.5x87654321-6-4-2246xy2xy21xy3xy31x…-2.5-2-1-0.500.5122.5……0.060.10.30.611.73915.6……15.6931.710.60.30.10.06…161412108642-10-5510161412108642-10-5510fx=3x161412108642-10-5510gx=13()x想看一般情况的图象?想了解变化规律吗指数1指数2xxq31)(xxf3)(xxg21)(xxh2)()10(aaayx且的图象和性质：654321-1-4-224601654321-1-4-224601a10a1图象性质1.定义域：2.值域：3.过点，即x=时，y=4.在R上是函数在R上是函数),(),0()1,0(01增减例1已知指数函数()的图象过点，求,,的值.分析：要求，，的值，需要求的解析式，要先求a的值。根据函数图象过点，可以求得a的值。),3()3(f)3(f),3(的图像经过点，xaxf)(),3()3(f即，3a331)(xxfa，,)1(,1)0(3310ff.1)3(1f解：例2比较下列各题中两个值的大小：①5.27.1，37.154.543.532.521.510.5-0.5-2-1123456fx=1.7x分析：利用函数单调性5.27.1与37.1的底数是1.7，它们可以看成函数y=x7.1比较x=2.5和3时的函数值。5.27.137.1因为1.71，所以函数y=x7.1在R上是增函数，而2.53，所以，；解：②1.08.0，2.08.0分析：利用函数单调性1.08.02.08.0与的底数是0.8，它们可以看成函数y=x8.0比较x=-0.1和-0.2时的函数值。解：因为00.81，所以函数y=x8.0在R是减函数，而-0.1-0.2，所以，1.08.02.08.01.81.61.41.210.80.60.40.2-0.2-1.5-1-0.50.51fx=0.8x③3.07.1，1.39.0解③：根据指数函数的性质，得17.13.019.01.33.232.82.62.42.221.81.61.41.210.80.60.40.2-0.2-0.4-0.50.511.522.533.54fx=0.9x3.07.11.39.03.232.82.62.42.221.81.61.41.210.80.60.40.2-0.2-0.4-2-1.5-1-0.50.511.522.5fx=1.7x从而有（1）对同底数幂大小的比较，明确所考察的函数对象，运用指数函数的单调性。（2）对不同底数幂大小的比较常借助中间变量进行比较如：1或0总结方法规律练习：⑴比较大小：32)5.2(,54)5.2(解：因为323232325.25.2)5.2()5.2(545454545.25.2)5.2()5.2(利用函数单调性54325.25.23.232.82.62.42.221.81.61.41.210.80.60.40.2-0.2-0.4-2-1.5-1-0.50.511.522.5fx=2.5x⑵已知下列不等式，试比较m、n的大小：⑶比较下列各数的大小：nm)32()32(nmnm1.11.1nm,10,4.05.22.02015.24.02.02练习：小结：函数)10(aaayx且叫做指数函数，其中x是自变量，定义域是R。1.指数函数的定义：a10a1图象性质1.定义域：R2.值域：（0，+∞）3.过点（0，1），即x=0时，y=14.在R上是增函数在R上是减函数2.指数函数的的图象和性质：654321-1-4-224601654321-1-4-2246011.B2.D3.C4.5.}0|{xx课本59页：5题，7题，8题