2.2-广义矩估计

§2.2广义矩估计（GMM,GeneralizedMethodofMoments）一、广义矩估计的概念二、广义矩估计及其性质三、正交性条件和过度识别限制的检验四、关于2SLS与GMM关系的讨论关于GMM的主要文献•关于GMM最早的系统的描述L.Hansen,1982:LargeSamplePropertiesofGMMEstimation,Econometrica50,p1029-1054•关于GMM的总结A.PaganandM.Wickens,1989:ASurveyofSomeRecentEconomerticMethods,EconomicJournal99,p962-1025•关于GMM发展的讨论R.DavidsonandJ.MacKinnon,1993:EstimationandInferenceinEconometrics,NewYorkOxfordUniv.Press一、广义矩估计的概念1、概念•广义矩估计方法是基于模型满足的一些矩条件而形成的一种参数估计方法，是矩估计方法的一般化。如果模型的设定是正确的，则总能找到该模型实际满足的若干矩条件而采用GMM估计。•广义矩估计方法发展的导向:–解释变量的内生性问题。–模型的过度识别问题。–模型随机项分布的设定问题。•GMM估计包容了许多常用的估计方法，普通最小二乘法、工具变量法、最大似然法，甚至二阶段最小二乘法都是它的特例。•技术方面的优越性–无须要求正规方程组中方程数目与待估参数数目相等。–方便地处理违背基本假设的问题，例如异方差和序列相关。–无须进行高阶矩阵的求逆运算。⒉参数的矩估计（补充）•参数的矩估计就是用样本矩去估计总体矩。–用样本的一阶原点矩作为期望的估计量。–用样本的二阶中心矩作为方差的估计量。–从样本观测值计算样本一阶（原点）矩和二阶（原点）矩，然后去估计总体一阶矩和总体二阶矩，再进一步计算总体参数（期望和方差）的估计量。niiniiynXynX12)2(1)1(11样本的一阶矩和二阶矩niiynXYEM1)1()1(1)(ˆniiynXYEM12)2(2)2(1)(ˆ总体一阶矩和总体二阶矩的估计量)1()1()(ˆˆXYEM总体参数（期望和方差）的估计量2)1()2(2)1()2(2)()ˆ(ˆˆXXMM⒊参数的广义矩估计•如果选择的矩估计方程个数多于待估参数个数。使得欧氏距离函数达到最小：riiiMXQ12)()())(()(0),,,(0),,,(0),,,(21)()(21)2()2(21)1()1(rrrrrMXMXMX矩条件数等于待估参数数目二、计量经济学模型的广义矩估计及其性质⒈估计方法的原理•一组矩条件，普通最小二乘估计的正规方程组。iiiXhy),(ni,1kjxniiji,,2,101kjXhyxniiiji,,2,10)),((1•一组矩条件，工具变量估计的正规方程组。iiiXhy),(ni,1kjzniiji,,2,101kjXhyzniiiji,,2,10)),((1),();,(iiiiXhyXye);,('1);,(1)(XyeZnXyeZnmiiiiiikiiiiiiikeznezneznmmmm111)()()()(21210)(m工具变量估计的正规方程组。•工具变量估计正规方程组的解就是))()'((minmm一阶极值条件的解。•如果工具变量Jk，并且对不同的矩条件加权，考虑随机项存在异方差和序列相关))()'((minargˆ1mWmiiJiiiiiiiJeznezneznmmmm111)()()()(2121•Arg,Argument,自变量、宗数•W矩阵的阶数：J×J2、以多元线性模型为例•如果满足所有基本假设，OLS的正规方程组为：nixxxyiiiii,,2,13322110该方程组是如何得到的？如何从矩条件出发得到该方程组？如何求解该方程组？0)ˆˆˆˆ(0)ˆˆˆˆ(0)ˆˆˆˆ(0)ˆˆˆˆ(3332211032332211021332211013322110iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxyxxxxxyxxxxxyxxxy•如果x2为随机变量，z1为它的工具变量，IV的正规方程组为：nixxxyiiiii,,2,133221100)ˆˆˆˆ(0)ˆˆˆˆ(0)ˆˆˆˆ(0)ˆˆˆˆ(3332211031332211011332211013322110iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxyzxxxzyxxxxxyxxxy为什么将x2换为z1？如何求解该方程组？该方程组是如何得到的？4个等于0的矩条件，求解4个参数•如果x2为随机变量，z1、z2为它的工具变量，GMM关于参数估计量的矩条件为：nixxxyiiiii,,2,133221100)ˆˆˆˆ(0)ˆˆˆˆ(0)ˆˆˆˆ(0)ˆˆˆˆ(0)ˆˆˆˆ(3332211032332211021332211011332211013322110iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiixxxxxyzxxxzyzxxxzyxxxxxyxxxy如何求解该方程组？5个等于0的矩条件，求解4个参数该方程组是如何得到的？3、GMM估计量•minQ(β)=[(1/n)Z’(Y-Xβ)]’W[(1/n)Z’(Y-Xβ)]的1阶极值条件（偏导为0）：-2X’ZWZ’Y+2X’ZWZ’Xβ=0X’ZWZ’Xβ=X’ZWZ’Y这是一个有K个未知参数，K个方程的线性方程组。•当lK时，Z’X是一个列满秩于K的矩阵。从而(X’ZWZ’X)KK非奇异，于是有：β=(X’ZWZ’X)-1X’ZWZ’Y即为原模型Y=X+的一个广义矩估计量。•如果l=K，这时Z’X为KK方阵且可逆。于是：β=(Z’X)-1W-1(X’Z)-1X’ZWZ’Y=(Z’X)-1Z’Y可见，βGMM=βIV,这时W的选择对结果无影响。•如果lK，这时根据W选取的不同，有不同的解βGMM，但只要W是对称正定矩阵，估计结果都满足一致性。•尽管不同的权矩阵W都可得到的一致估计量，但估计量的方差矩阵可能是不同的。因此，可以选择最佳的W，以使估计量更有效(有小的方差)。4、权矩阵的选择•关于权矩阵的选择，是GMM估计方法的一个核心问题。))()'((minargˆ1mWm权矩阵可根据每个样本矩条件估计的精确程度来设置（用方差来度量）。例如，对估计较精确的矩条件给予较大的权重，对估计较不精确的矩条件给予较小的权重。•如此构造权矩阵体现了上述设置权矩阵的原则。•权矩阵调整的是J个矩条件之间的关系，而不是n个样本点之间的关系。•W应是[(1/n)Var(Z’)]-1的一致估计。•权矩阵的阶],[12ijjjiiZZCovnW))()(min(argˆ)1(1)()1(JJJJmWm•Hansen’s(1982)提出最佳的权矩阵为：)]([.mVarAsyW],[12ijjjiiZZCovnZZnZZnjiijij'112'2L.Hansen,1982:LargeSamplePropertiesofGMMEstimation,Econometrica50,p1029-1054•若随机误差项存在异方差且不存在自相关，White(1980)提出权矩阵的估计量为：01ˆSnWnliliiliilzzeenS1'~~1White,1980:Aheteroskedasticity-consistentconvariancematrixanddirecttestforheteroskedaticity,Econometrica48,817-838Eviews中GMM方程设定页面选择“crosssection”，即为该情况。L=0•若随机误差项存在自相关，Newey和West(1987)提出权矩阵的估计量为：)))(((11ˆ'10lLllSSlwSnSnW11)(LllwNeweyandWest,1987:ASimplepositivesemi-definite,heteroskedasticityandAutocorrelationconsisitentcovariancematrix,Econometrica55,703-708Eviews中GMM方程设定页面选择“timeseries”，在HACoptons的Kerneloptions中选择Bartlett，然后在Bandwidthselection中选择Fixed，再填写NW即为该情况。其中Kerneloptions选择Bartlett，即是：11)(Lllw•其它选择的含义Eviews中GMM方程设定页面选择“timeseries”，在HACoptons的Kerneloptions中选择Bartlett，然后在Bandwidthselection中选择Fixed，如果填写1个具体的数字，例如2，表示L=2。Eviews中GMM方程设定页面选择“timeseries”，在HACoptons的Kerneloptions中选择Bartlett，然后在Bandwidthselection中选择Andrews，表示采用Andrews1991年论文中提出的选择方法。Andrews,1991:Heteroskedasticityandautocorrelationconsistentcovariancematrixestimation,Econometrica59,817-858Eviews中GMM方程设定页面选择“timeseries”，在HACoptons的Kerneloptions中选择Bartlett，然后在Bandwidthselection中选择Variable-Newway-West，表示采用Newey-West1994年论文中提出的选择方法。NeweyandWest,1994:Automaticlagselectionincovariancematrixestimation,ReviewofEconomicStudies61,631-Eviews中GMM方程设定页面选择“timeseries”，在HACoptons的Kerneloptions中选择Quadratic，然后在Bandwidthselection中进行选择。表示采用Quadratic核函数。Eviews中GMM方程设定页面选择“timeseries”，在HACoptons中选择Prewhitening,然后在Kerneloptions中和Bandwidthselection中进行选择。表示在权矩阵计算之前，设置简单的AR(1)模型，加到估计的模型中。5、估计方法的步骤•采用OLS估计模型，求得参数的一组估计量，目的在于求得权矩阵的估计量。•计算权矩阵的估计量。如果采用Newey和West(1987)提出的权矩阵估计量，则要首先选择L的值。当模型不存在序列相关时，取L=1；当模型存在序列相关时，可以采用广义差分法判断L的取值。权矩阵为J×J阶矩阵。