材料力学公式汇总

1材料力学公式汇总一、应力与强度条件1、拉压[]maxmaxNAσσ=≤横截2、剪切[]maxQAττ=≤受剪挤压PAσσ⎡⎤=≤⎣⎦挤压挤压挤压挤压投3、圆轴扭转[]maxmaxmaxTTPPMMIWρττ⎛⎞⎛⎞==≤4、平面弯曲①[]maxnmaxnMWσσ=≤②[]maxmaxmaxnzzMyIσσ+++=≤[]maxmaxmaxnzzMyIσσ−−−=≤③[]ττ≤⋅=bISQz*maxzmaxmax⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠5、斜弯曲[]nynzmaxnznymaxMMWWσσ=+≤；6、拉(压)弯组合[]maxmaxnnMNAWσσ=+≤;[]maxmaxznzMNyAIσσ+++=+≤;[]nzmaxmaxzMNyIAσσ−−−=−≤.注：“5,6”两式仅供参考.7、轴向拉压斜截面上应力：2cos;sin22αασσσατ==横横α8、圆轴弯扭组合：①第三强度理论[]22222nnn22eq3nn4xoyxozTTMMMMMWWσστσ+++=+==≤②第四强度理论[]22222nnTnT22eq4nn0.750.753xoyxozMMMMMWWσστσ+++=+==≤9、圆轴拉(压)弯扭组合：①第三强度理论[]222eq31(1)8nTnDMNMWασσ⎛⎞+=++≤⎜⎟⎝⎠②第四强度理论[]222eq41(1)0.758nTnDMNMWασσ⎛⎞+=++≤⎜⎟⎝⎠二、变形及刚度条件１、拉压∑∫===ΔLEAxx)NEALNEANLLd(ii２、扭转()()弧度；TTiiTpppMxdxMLMLGIGIGIΦ==Σ=∫0180pTLGIθπΦ==⋅（m/D）３、弯曲(1)积分法:()'''()();()()()d;()()dd.nnnEIyxMxEIyxEIxMxxCEIyxMxxxCxDθ===+=+∫∫∫+边界条件：铰支：挠度为零；固支：挠度和转角都为零。(2)叠加法:载荷分解法：=()12,...fPP()()21PfPf++…，()12,...PPθ=()()++21PPθθ…2逐段刚化法：载荷引起弹性体位移等于将弹性体逐段刚化后该载荷引起位移的叠加。(3)基本变形表(注意：以下各公式均指绝对值，使用时要根据具体情况赋予正负号)EIMLB=θ；EIMLfB22=；EIPLB22=θ；EIPLfB33=；EIqLB63；EIqLfB84PABMABABqLLL；=θ=EIMLB3=θ,EIMLA6=θEIPLAB162==θθEIqLAB243==θθPMABqLAB2/L2/LABLCCCEIMLfc162=EIPLfc483=EIqLfc3844=(4)弹性杆系变形能(注：以下忽略剪力影响)222222222()();;222222();=++.222nniinTiiTTLLiPPiiiLiMLMLMxdxMLPMLMUUEIEIEIGIGIGINLNLNxdxUUUUEAEAEA==Σ===Σ===Σ=∫∫∫弯曲扭转拉压拉压杆系总能弯曲扭转xdxU(5)功能原理:外力做的功=杆系弹性变形能(6)卡氏第二定理(注：线弹性杆系在Pi力处和方向上位移计算公式)iiiiiiiii()()()()()()nnTTPnkknkTkkTkkkkkkkkkkPkkknnTTLLLPUMLMMLMNLNPEIPGIPEAPMLMMLMNLNEIPGIPEAPMxMxMxMxNxNxdxdxdxEIPGIPEAP∂∂∂∂Δ==++∂∂∂∂⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂∂=++⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠∂∂∂=++∂∂∑∑∑∫∫∫杆系总能ii∂(7)莫尔定理(单位力法):(仅在线性弹性杆系所求位移的点和方向上虚加单位力,引起杆系内力为Mn0(x),MT0(x)和N0(x);线性弹性杆在原有力系作用下的内力Mn(x),MT(x)和N(x),那么在单位载荷作用点和方向上的位移δ用下公式计算)00000000()()()()()()nnnknkkTkTkkkkkTTkkkPkkkPknnTTLLLP0kkMMLMMLMMLNNLMMLNNLEIGIEAEIGIEAMxMxMxMxNxNxdxdxdxEIGIEAδ⎛⎞⎛⎞⎛=++=++⎜⎟⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎠⎝=++∑∑∑∫∫∫⎞⎟⎠(8)刚度条件：待考察点的位移不超过允许值三、应力状态与强度理论１、二向应力状态斜截面应力ατασσσσσα2sin2cos22xyyxyx−−++=ατασστα2cos2sin2xyyx+−=注：使截面受拉的正应力为正;使单元体顺时针转的剪应力为正;x轴逆时针转α角与截面外法线重合的角α为正(-π≤α≤π).3２、二向应力状态极值正应力及所在截面方位角max22min();22xyxyxyσσσσστσ+−=±+2tg2xypxyτασσ−=−；0,0,xypxypσσασσα−≥−最大值角最小值角３、二向应力状态的极值剪应力(面内极值剪应力)及所在截面方位角22maxminmaxmin();22xyxyσσσσττ−−=±+=±tg22xysxyσσατ−=注：正应力极值面与剪应力极值面间夹角为45o;正应力极值面上的剪应力为零;剪应力极值面上的正应力为平均值(σx+σy)/2.４、三向应力状态的主应力：321σσσ≥≥(整个单元体的)最大剪应力：231maxσστ−=5、二向应力状态的广义胡克定律（1）、表达形式之一（用应力表示应变）1();xxyEσμσ=−1();εyyxEσμσ=−();yμεzxEσσ=−+Gxyxyτγ=ε（2）、表达形式之二（用应变表示应力）2();xyE1xσεμεμ=+−2();x1yyEσεμεμ=+−0;zσ=xyxyGγτ=6、三向应力状态的广义胡克定律()1;iijkEεσμσσ⎡⎤=−+⎣⎦;ijijGτγ=(),,,,;ijkxyzijk=≠≠7、平面应力状态下的应变分析主应变及其方位角（1）αγαεεεεεα2sin22cos22⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−++=xyyxyx+−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−αεεγα2sin22yxαγ2cos2⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−xy（2）22maxmin;222xyxyxyεεεεγεε+−⎛⎞⎛=±+⎜⎟⎜⎝⎠⎝⎞⎟⎠yxxyεεγα−=02tg8、应变能密度分解定理体应变体弹性模量()22212312321312;2UEσσσνσσσσσσ⎡⎤=++−++⎣⎦()212312;6VUEνσσσ−=++()()()2221223311;6dVdUUEUUνσσσσσσ+⎡⎤=−+−+−=⎣⎦[phone]();;;3(12)3EKKEσσσμσσσσσμ++−Θ=++===Θ−9、四个强度理论及相当应力(1)[]111;eqσσσ=≤()2123[];eqσσμσσσ=−+≤[]bbnσσ=—脆性断裂强度理论4(2)[]313;eqσσσσ=−≤()()()22241223311[];2eqσσσσσσσσ⎡⎤⎦[]=−+−+−≤⎣ssnσσ=—塑性屈服强度理论四、压杆稳定1、临界应力与临界轴压力公式（把直杆分为三类）①细长受压杆：p;λλ≥2cr2max;Eπσλ=()2min2crLEIPμπ=②中长受压杆：ps;λλλ≥≥λσba−=cr③短粗受压杆：s;λλ≤crσ=sσ或bσ2、关于柔度的几个公式：maxmax;Liμλ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠2pp;Eπλσ=bassσλ−=3、惯性半径公式：AIiz=（圆截面4diz=，矩形截面12minbi=（b为短边长度））4、μ的取值：固支-自由2.0；铰支-铰支1.0；固支-铰支0.7；固支-固支0.55、稳定性计算：crmax]stσσ≥实[n五、动载荷（只给出冲击问题的有关公式）能量方程:UVTΔ=Δ+Δ冲击系数:std211Δ++=hK（自由落体冲击）st20dΔ=gvK（水平冲击）六、截面几何性质1、极惯性矩与惯性矩:2PAIdAρ=∫；()44=132PDIπα−空圆，()34=116PDWπα−空圆，;dDα=其中22;;zyAAIydAIzdA==∫∫(4344(1);==16432zynzDDIIWWππ)αα==−−空心圆空心圆空心圆ny空心圆，3;12zbhI=2;6nzbhW=3;12yhbI=26nyhbW=;尺寸b与z轴平行;尺寸h与y轴平行2、惯性矩平移轴公式:22zzcyc;;yyzIIaAIIaA=+=+