收益与风险之间的关系

LOGO第三章收益与风险之间的关系姜红霞吕程源郭燕效用理论经济学里假设经济个体有三种类型：风险爱好型、风险中立型、风险回避型。但是在大部分金融模型中，假设个体都是风险回避的，投资者厌恶风险但愿意承担一定风险来获得相应收益。财富效用方程，U(w)，即从拥有一定财富w中所获得的满足程度。假设个体的边际财富效用为正，即财富越多，满足感越多。但是，边际财富效用方程是递减的，随着财富增长，满足感的增长会越来越少。图3-1描绘了风险回避型个体的效用函数。随着财富的增加，效用也在增长，但是增长率在下降。我们举一个公平下注的例子来展示这个个体是一个风险回避者。所谓公平下注即是预期结果为零的任何下注。例如，输赢X的几率如果是一半一半，这样的下注即为公平下注。接受公平下注意味着，个体预期的财富水平不变，如果个体在下注前的财富水平为w0,他在接受下注时的预期财富水平仍然是w0，但是，预期财富水平不变，并不意味着该个体对是否接受下注漠不关心。他很关心，原因是，在接受了下注后，他预期的满意水平将会变为因为他的效用方程如下图3-2所示是外凸的，他下注后的预期财富效用将比下注前的低，即E[U(w)]U(w0)。因为进行公平下注减少了个体的预期效用，拥有正的且递减边际财富效用的个体即为风险回避者。图3-2：公平下注时风险回避型个体的效用函数为了分析具体问题，我们首先要对效用方程的数学概念进行更准确的定义；其次，还需要引入一个重要的概念，即等值现金。在效用方程的定义方面我们一般用对数财富效用方程和平方根财富效用方程来描述风险规避者的行为。接下来的例子中，我们介绍一下等值现金这个概念。假设个体持有两种资产，一个是价值为R的无风险资产，一个是价值为X1或X2的风险资产，价值为X1和X2的几率分别是P和1-P。假设无风险利率为0，该个体的预期最终财富效用为(3-1))()1()()(2~1~~XRUpXRpUwUE现在，假设有人想要购买该个体持有的风险资产，那么该个体将最少出什么价呢？回答这个问题前，我们必须首先确定该个体全部头寸的等值现金。等值现金是指该个体愿意将全部资产变现的现金价值，通常，等值现金可通过令现金效用与预期最终财富效用相等而计算出，即(3-2)在计算出现金同值C后，卖出风险资产的最低售价即为C-R。)()(~wUECU：确定最大保险费假设有两个个体—有对数效用函数的A和有平方根效用函数的B。两人都有100000现金，但都有5%的几率损失50000。那末，两人能承受的最高保险费将是多少？个体A目前的预期满意水平为假定预期效用不变，这意味着A认为保持现有状况（即持有100000美元现金，但可能损失50000美元）与获得C数量的现金没有区别。而C由下列公式决定478.11)000,100ln(95.0)000,50000,100ln(05.0)(~wUEA478.11ln)(CCUA，得C=e11.478=96593.63。换句话来讲，A对于(1)持有100000美元现金，但有5%的概率损失50000美元，与(2)持有96593.63美元现金没有区别。因此，A愿意支付的最多保险金是100000-96593.63=3406.37美元。个体B的等值现金财富水平由下式决定求出C，C=311.5972=97092.51，这意味着，B最多愿意为保险支付2907.49美元。很显然，有对数效用方程的个体比有平方根效用方程的个体更“风险回避”。597.311)(CCUB：期权真的是“零和游戏”吗？在第一章，衍生工具交易被描述成“零和”游戏---买家获得的正是卖家损失的，反之亦然。但是这并不意味着，买卖双方都不能从交易中获利。假设个体A有50美元现金和一股股票，她认为这支股票有60%的可能会跌到80美元,而有40%的可能升至120。个体B只有100美元,可是他比A对股价的走势更乐观，他认为这支股票有30%的可能会跌到80,而有70%的可能升至120。我们来说明A和B如何使用看跌期权而都从交易中获益。假定该看跌期权的执行价格为100,合约价格是10，假设两人都有平方根效用方程，不考虑时间价值。假设A想要买入该看跌期权，考虑到她对这支股票的悲观预期，A目前的预期效用水平是根据该支股票的表现，最终财富水平是130或170。如果她买入了该看跌期权，那么她的最终财富水平在股价下降时是130减去看跌期权价值加上期权收益，在股价上升时是170减去看跌期权价值。因此，如果她买进这种看跌期权，她的预期效用为因此，从最终财富的预期效用角度来看，A因买入看跌期权而有所获益。06.12120504.080506.0)(~AwUE~()0.613010(10080)0.417010012.16AEUw另一方面，个体B对这支股票的走势有更乐观的预计，他考虑出售看跌期权。B目前的财富效用如果他出售看跌期权，在股价下跌的情况下，他的最终财富是100加上看跌期权合约价值减去看跌期权收益（为A所有）；如果股价上升，最终财富则是100加上看跌期权合约价值。所以，在他卖出看跌期权后，他的预期财富效用是因为卖出看跌期权使B提高了预期财富效用，B也从这宗交易中有所获益。10100)(BwU~()0.310010(10080)0.710010010.19BEUwA和B都从交易中获益并不否定这一交易“零和”的事实。如果股价下跌，A的净收益就等于期权收益减去期权价格，即(100-80)-10=+10，B的净收益则为期权合约价格减去执行收益，即10-(100-80)=-10。如果股价上升，看跌期权过期无效，则A的净损失10正是B的净收益。组合理论预期效用理论框架在许多决策背景下是很有用处的。而该理论框架的一个缺点在于需要确定个体的效用方程，而如何确定效用方程的数学结构还不确定。幸运的是，对于个体组合分配的决策，这种具体结构是不需要了解的。原因是，1958年Tobin在其研究里证明了，有着正递减边际效用的个体有如图3-3所示的收益/风险无差别曲线，其中，风险用收益的标准差来衡量。：风险厌恶型个体的无差异曲线对于图中的无差异曲线，预期效用是恒定的。这些曲线有dE/dσ0和d2E/dσ20的特性。从图中来看，第一个推论是，个体随着风险增加要求更多收益；第二个推论是，个体要求更多收益的比率随风险增加而越来越快。在图3-3里，无差异曲线越高，预期效用越大。这意味着，个体选择在一定风险水平下回报最高的组合或在一定回报下风险最小的组合进行投资。这样的组合被称为“有效组合”。：风险中性个体的无差异曲线曲线水平意味着风险中立者对风险不关心：风险最小化者的无差异曲线这种个体是“风险最小化者”，他们选择风险最小的投资组合。种风险债券的资产配置现在讨论如何确定有效组合，即一定风险水平下回报最高的组合或在一定回报下风险最小的组合。要确定有效组合，个体必须收集相当数量的信息。假设市场上有N个风险证券，某个体必须估算出如下信息：（1）每一种证券的预期收益，Ei,i=1,…,n,（2）每种风险证券收益的标准差，，i=1,…,n，以及（3）这n个证券中每两个证券之间的相关系数，，i=1,…,n，j=1,…,n。乍一看，需要估算n2个不同的相关系数，但由于相关系数不可重复，所以只需估算n(n-1)/2个。为了阐述方便，我们在下面使用协方差，证券i与j的收益的协方差定义为jiijij的预期收益是(3-3)其中，是个体分配在证券i上的财富比例。全部之和等于1，即。该式通常被称为个体的财富限制式。组合收益率的标准差是(3-4)现在，为了确定个体在n个风险资产下分配财富的最优方案，我们最小化组合风险(3-5)niiiSEXE1ninjijjiSXX11ninjijjiSXX112最小化约束条件是：（3-5a）以及（3-5b）niSiiEEX1niiX11条件（3-5a）要求分配财富的比重可以使预期组合回报达到目标水平，Es,条件（3-5b）则确保财富被完全分配。目标方程（3-5）与条件（3-5a）（3-5b）共同组成了“非线性编程问题”。这类问题中，有一些可以用解析的方法解决，有一些只能用数量化的方法解决。就目前而言，我们只要知道，在没有任何两个风险证券完全相关的情况下，只有唯一的一组解，,使得所获得的组合有最小风险就可以了。如果我们要在一定目标回报区间下来解决组合分配问题，我们可以在如图3-6中所示的风险收益图中确定最小风险线。这条线通常被称为“马科维茨（1952）效率边线”，以纪念50年前创立该理论的诺贝尔奖获得者马科维茨。：最小方差（或者马克葳茨效率）边界确定两风险证券的有效组合假定市场中仅有两种风险证券。下表给出了这两只种证券的预期收益及其标准差。假定两种证券的相关系数为0.25。为了确定在两种证券间分配财富而产生的一系列有效组合，我们必须先确定哪些组合是“可行的”。（3-3）和（3-4）给出了这些组合的预期收益及其标准差，在本例中，n等于2。所以，预期组合回报是组合回报的标准差为因为只有两种风险证券，所以投资在第二种证券的财富比重应该满足。)12.0)(1()18.0()1(112111XXEXEXES221112212221112112121)16.0()1()16.0)(20.0)(25.0)(1(2)20.0()1()1(2XXXXXXXXS121XX接下来要做的，就是计算不同条件下的预期收益及其标准差了。这可以很快捷地用MicrosoftExcel来完成。下表给出了计算结果该表显示，组合预期收益率随着投资在证券1的财富比重从1到0而相应地从18%降到12%，而收益的标准差则是先随着的减小而下降，但当从0.4继续下降时而反而上升。下图描述了这些结果。而通过组合分配来获得最小风险组合，则是通过把组合标准差进行求导并使之为0而计算出的。对于只包含两种风险证券的组合来讲，产生最小风险组合的分配方案是(3-6)带入各参数值，我们获得最小风险组合是投资0.355比重的财富在证券1上，0.645的比例在证券2上。这时的组合有14.13%的预期收益率和13.91%的预期收益标准差。尽管上表给出了分配财富所产生的可能组合，但一个风险回避者是不会把少于0.355比重的财富投资于证券1的。产生有效组合的分配区间必须满足：0.355≤≤1。1X2112222121122212X此处有必要稍微离下题。尽管我们已找出了可以提供有效组合的财富分配范围，但风险厌恶者并不会持有风险最小组合，原因在于预期收益/风险边界在最小风险组合处的斜率是无穷大的。如果个人的无差异曲线满足，而且，那么他是不能选择这样的组合的。因此，风险厌恶型投资者可以选取的最优组合范围为0.355≤1。1X0/ddE0/22dEd