2018年中考二次函数复习

2018年中考复习《二次函数》综合测试题及答案一、与线段、周长有关的问题1.如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y轴交直线AC于点D.（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）在抛物线对称轴上是否存在点M，使|MA-MC|的值最大？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.第1题图备用图2.（2015珠海）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5,且=.以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=-x2+x+c经过点E，且与AB边相交于点F.（1）求证：△ABD∽△ODE;（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD;（3）P是线段BC上一动点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由.第2题图5OEOD34161213.（2015孝感改编）在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，直线y=x+4经过A，C两点.（1）求抛物线的解析式；（2）在AC上方的抛物线上有一动点P.①如图①，过点P作y轴的平行线交AC于点D，当线段PD取得最大值时，求出点P的坐标；②如图②，过点O，P的直线y=kx交AC于点E，若PE∶OE=3∶8，求k的值.图①图②第3题图4.（2015天水）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝-x2+bx+c(b、c为常数)的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，-1），点C的坐标为（4，3），直角顶点B在第四象限.(1)如图，若抛物线经过A、B两点，求抛物线的解析式;(2)平移（1）中的抛物线，使顶点P在AC上并沿AC方向滑动距离为时，试证明：平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点;(3)在（2）的情况下，若沿AC方向任意滑动时，设抛物线与直线AC的另一交点为Q，取BC的中点N，试探究NP+BQ是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，请说明理由.21212第4题图5.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,且OA=2,OC=3.（1）求抛物线的解析式；（2）作Rt△OBC的高OD，延长OD与抛物线在第一象限内交于点E，求点E的坐标；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在一点Q，使得△BEQ的周长最小？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.第5题图6.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，AB∥OC,OA=AB=2,OC=3，过点B作BD⊥BC，交OA于点D，将∠DBC绕点B顺时针方向旋转，角的两边分别交y轴的正半轴、x轴的正半轴于点E、F.（1）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；（2）当BE经过（1）中抛物线的顶点时，求CF的长；（3）在抛物线的对称轴上取两点P、Q（点Q在点P的上方），且PQ=1，要使四边形BCPQ的周长最小，求出P、Q两点的坐标.第6题图【答案】1.解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），21∴，解得,∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3.（2）令x=0,则y=3,∴点C（0，3），又∵点A(3,0),∴直线AC的解析式为y=-x+3,设点P（x,x2-4x+3）,∵PD∥y轴，且点D在AC上，∴点D(x,-x+3),∴PD=(-x+3)-(x2-4x+3)=-x2+3x=-(x-)2+,∵a=-10,∴当x=时，线段PD的长度有最大值，最大值为.(3)存在.由抛物线的对称性可知，对称轴垂直平分AB，可得：MA＝MB，由三角形的三边关系，｜MA-MC｜BC,可得：当M、B、C三点共线时,｜MA-MC｜最大，即为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),由B、C两点的坐标分别为（1，0）、(0,3),则,解得,∴直线BC的解析式为y=-3x+3,∵抛物线y=x2-4x+3的对称轴为直线x=2,01039cbcb3-4cb2349234930bbk3-3bk∴当x=2时，y=-3×2+3＝－3，∴点M（2，－3），即抛物线对称轴上存在点M（2，－3），使｜MA-MC｜最大.2.（1）证明：由折叠知∠ADB=90°-∠ODE＝∠OED，∵∠EOD＝∠DAB=90°，∴Rt△ABD∽Rt△ODE.（2）证明：设OE＝3k，则OD＝4k，CE＝DE＝5k，AB＝OC＝8k，由Rt△ABD∽Rt△ODE可得AD＝6k，则OA＝BC＝BD＝10k，于是BE＝=5,解得k＝1，∵抛物线y＝-x2+x+c经过点E（0，3），∴c＝3，将点A的横坐标x＝10代入y＝-x2+x+3，得到点F的坐标为（10，），∴DF＝＝＝，∵BF＝AB-FA＝8-＝，∴DF＝BF，又∵∠BDE=90°，M是BE的中点，第2题解图∴MB＝MD，∴MF是线段BD的中垂线，∴MF⊥BD.(3)解：能.如解图，令y＝0，求得抛物线与x轴交点坐标为H（-4，0），G（12，0），①当PD⊥x轴时，由于PD＝8,DG＝DH＝8，22)(10)(5kk516121161214722AFAD22476）（42547425故点Q的坐标为（-4，0）或（12，0）时，△PDQ是以D为直角顶点的等腰直角三角形；②当PD不垂直x轴时，分别过P，Q作x轴的垂线，垂足分别为N，I，则Q不与G重合，从而I不与G重合，即DI≠8,∵PD⊥DQ,∴∠QDI=90°-∠PDN＝∠DPN，∴Rt△PDN∽Rt△DQI,∵PN=8,∴PN≠DI,∴Rt△PDN与Rt△DQI不全等,∴PD≠DQ,另一侧同理可得PD≠DQ.综上①，②所有满足题设的点Q的坐标为（-4，0）和（12，0）.3.解：（1）对于直线y=x+4,令x=0，得y＝4,令y=0，得x=-4,则A(-4,0),C(0,4),代入抛物线解析式得,解得，∴抛物线的解析式为y=-x2-x+4.（2）①∵抛物线的解析式为y=-x2-x+4，∴点P(x,-x2-x+4),∵PD∥y轴，直线AC的解析式为y=x+4，∴D（x,x+4）,∵P点在AC的上方，∴PD=-x2-x+4-(x+4)=-（x+2）2+2,∵-2-4,404-8-ccb4-1cb2121212121∴当x=-2时，线段PD取得最大值，将x=-2代入y=-x2-x+4中得y=4,∴线段PD取得最大值时,点P的坐标为（-2,4）.②过点P作PF∥OC交AC于点F，如解图.∵PF∥OC,∴△PEF∽△OEC,∴.又∵=,OC=4,∴PF=.∴由①得PF＝（-x2-x+4）-(x+4)=.化简得：x2+4x+3=0,解得x1=-1,x2=-3.当x=-1时，y=；当x=-3时，y=.即满足条件的P点坐标是（-1，）或（-3，）.又∵点P在直线y=kx上，∴k=-或k=-.第3题解图4.(1)解：设AC与x轴的交点为M，∵等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为(0,-1),C的坐标为(4,3),∴直线AC的解析式为y=x-1，∴直线AC与x轴的交点M(1，0).∴OM=OA，∠CAO=45°.∵△CAB是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴BC∥y轴,21OCPFOEPEOEPE83232123292529252965又∵∠OMA=45°，∴∠OAB＝90°，∴AB∥x轴,∴点B的坐标为(4，-1).∵抛物线过A(0，-1)，B(4，-1)两点，将两点代入抛物线的解析式中，得,解得，∴抛物线的解析式为y＝-x2+2x-1.(2)证明：抛物线y=-x2+2x-1=-(x2-4x)-1=－(x－2)2+1,∴顶点P的坐标为(2，1)，∵抛物线y=-(x－2)2+1顶点P平移到直线AC上并沿AC方向移动的距离为，∴其实是先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度,∴平移后的二次函数的解析式为y=-(x-3)2+2，∵当y=0时，有0=-(x-3)2+2，解得x1=1，x2=5，∴y＝-(x-3)2+2过点(1，0)和(5,0)，∵直线AC的解析式为y=x-1，∴直线AC与x轴的交点坐标为(1，0)，∴平移后的抛物线与直线AC交于x轴上的同一点.(3)解：如解图，NP+BQ存在最小值，最小值为2.理由：取AB的中点F，连接FN，FQ，作B点关于直线AC的对称点B′，设平移后的抛物线的顶点为P′.连接BB′，B′Q,BQ,则BQ＝B′Q,-141621--1cbc-12cb212121212122121215∵抛物线y=-(x-2)2+1的顶点P(2，1)，A(0,-1)，∴PA==2,∴抛物线沿AC方向任意滑动时，P′Q=2，∵A(0，-1)，B(4，-1)，∴AB中点F(2，-1)，∵B(4，-1)，C(4，3)，∴N(4，1)，∴FN==2,∴FN＝P′Q,∵在△ABC中，F、N分别为AB、BC的中点，第4题解图∴FN∥P′Q，∴四边形P′NFQ是平行四边形，∴NP′=FQ,∴NP′+BQ=FQ+B′Q≥FB′==2.∴当B′、Q、F三点共线时，NP+BQ最小，最小值为2.5.解：（1）∵OA=2,∴点A的坐标为（-2，0）.∵OC=3,∴点C的坐标为（0，3）.把A（-2，0），C（0，3）分别代入抛物线y=-x2+bx+c,得，解得，21221)(10)-(22222BNBF222425521ccb32--20312cb∴抛物线的解析式为y＝-x2+x+3.(2)把y=0代入y=-x2+x+3,解得x1=3,x2=-2,∴点B的坐标为（3，0），∴OB=OC=3,∵OD⊥BC,∴OE所在的直线为y=x.解方程组,解得,∵点E在第一象限内，第5题解图∴点E的坐标为（2，2）.（3）存在，如解图，设Q是抛物线对称轴上的一点，连接QA、QB、QE、BE，∵QA=QB,∴△BEQ的周长＝BE+QA+QE,∵BE为定值，且QA+QE≥AE,∴当A、Q、E三点在同一直线上时，△BEQ的周长最小，由A(-2,0)、E(2，2)可得直线AE的解析式为y=x+1,由（2）易得抛物线的对称轴为x=,∴点Q的坐标为（，）,2121212132121-2xxyxy2,211yx-3=-322yx21212145∴在抛物线的对称轴上，存在点Q（，），使得△BEQ的周长最小.6.解：(1)由题意得A(0，2)、B(2，2)、C(3，0).设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+2(a≠0),将点B、C分别代入得,解得,∴抛物线的解析式为y=-x2+x+2.(2)∵y=-x2+x+2=-+，设抛物线的顶点为G，则顶点G的坐标为（1，），过G作GH⊥AB，垂足为H，如解图①,则AH=BH=1,GH=-2=,∵EA⊥AB,GH⊥AB,∴EA∥GH,∴GH是△BEA的中位线,∴EA=2GH=.过B作BM⊥OC,垂足为M,如解图①,则MB=OA=AB.214502392224baba3432-ba323432342132x3838383234第6题解图①第6题解图②∵∠EBF=∠ABM=90°,∴∠EBA=∠FBM=90°-∠ABF.∴Rt△EBA≌Rt△FBM.∴FM=EA=.∵CM=OC-OM=3-2=1,∴CF=FM+CM=.(3)如解图②,要使四边形BCPQ的周长最小，将B点向下平移一个单位至点K，取C点关于对称轴对称的点M，连接KM交对称轴于P，将P向上平移1个单位至Q，此时M、P、K三点共线可使KP+PM最短，则QPKB为平行四边形，QB=PK,连接CP，根据轴对称求出CP=MP，则CP+BQ最小