高一数学人教版必修一函数的单调性与最大(小)值

1.3.1函数的单调性与最大（小）值第一课时函数单调性的概念问题提出德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯，对人类的记忆牢固程度进行了有关研究.他经过测试，得到了以下一些数据：时间间隔t刚记忆完毕20分钟后60分钟后8-9小时后1天后2天后6天后一个月后记忆量y(百分比)10058.244.235.833.727.825.421.1以上数据表明，记忆量y是时间间隔t的函数.艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”,如图.123tyo20406080100思考1:当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势？通过这个试验，你打算以后如何对待刚学过的知识?思考2:“艾宾浩斯遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的，对此，我们如何用数学观点进行解释？tyo20406080100123知识探究（一）yxo考察下列两个函数:()fxx2()(0)fxxx（1）；(2)xyo思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？思考2:如果一个函数的图象从左至右逐渐上升，那么当自变量x从小到大依次取值时，函数值y的变化情况如何？xyox1x2()yfx1()fx2()fx思考4:我们把具有上述特点的函数称为增函数，那么怎样定义“函数在区间D上是增函数”？()fx()fx12,xx1x2x1()fx2()fx)(xf对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当时，都有,则称函数在区间D上是增函数.()fx12xx1()fx2()fx思考3:如图为函数在定义域I内某个区间D上的图象，对于该区间上任意两个自变量x1和x2，当时，与的大小关系如何？知识探究（二）考察下列两个函数:()fxx2()(0)fxxx（1）；(2)xyoxoy思考1:这两个函数的图象分别是什么？二者有何共同特征？()fx思考2:我们把具有上述特点的函数称为减函数，那么怎样定义“函数在区间D上是减函数”？2()fxxyox1x2()yfx1()fx()fx12,xx1x2x1()fx2()fx)(xf对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当时，都有,则称函数在区间D上是减函数.()fx12()()fxfx思考3:对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值，若当时，都有,则函数在区间D上是增函数还是减函数？12,xx12xx2()(1)fxx()fx()fx思考4：如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做函数的单调区间.那么二次函数在R上具有单调性吗？函数的单调区间如何？理论迁移-5-3136oxy()yfx()yfx例1如图是定义在闭区间[-5，6]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数.()yfx(0,)1()xfxx例3试确定函数在区间上的单调性.()kPkV为正常数例2物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试用函数的单调性证明.小结利用定义确定或证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：1.设元:任取x1，x2∈D，且x1x2；2.作差:f(x1)－f(x2)；3.变形:通常是因式分解和配方;4.定号:判断差f(x1)－f(x2)的正负;5.小结:指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.作业：P32练习：1，2，3，4.1.3.1函数的单调性与最大（小）值第二课时函数单调性的概念问题提出1.确定函数的单调性有哪些手段和方法？2.函数图象上升与下降反映了函数的单调性，如果函数的图象存在最高点或最低点，它又反映了函数的什么性质？()fx知识探究（一）观察下列两个函数的图象：图1ox0xMy思考1:这两个函数图象有何共同特征？思考2:设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M，则对函数定义域内任意自变量x，f(x)与M的大小关系如何？yxox0图2M函数图象上最高点的纵坐标叫什么名称？思考3:设函数，则成立吗？的最大值是2吗？为什么？2()1fxx()2fx()fx()fx思考4:怎样定义函数的最大值？用什么符号表示？()yfx0()fxM()fxM一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的,都有；（2）存在，使得.那么称M是函数的最大值，记作0xIxI()yfxmax()fxM思考5:函数的最大值是函数值域中的一个元素吗？如果函数的值域是(a,b)，则函数存在最大值吗？()fx()fx思考6:函数有最大值吗？为什么？21,(1,)yxx图1yox0xm知识探究（二）观察下列两个函数的图象：xyox0图2m思考1:这两个函数图象各有一个最低点，函数图象上最低点的纵坐标叫什么名称？思考2:仿照函数最大值的定义，怎样定义函数的最小值？()fx()yfx0()fxm()fxm一般地，设函数的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的,都有;（2）存在，使得.那么称m是函数的最小值，记作0xIxI()yfxm()infxm知识探究（三）12()()()fxfxfx思考1:如果在函数定义域内存在x1和x2，使对定义域内任意x都有成立，由此你能得到什么结论？()fx思考2:对一个函数就最大值和最小值的存在性而言，有哪几种可能情况？()fx思考3:如果函数存在最大值，那么有几个？()fx思考4:如果函数的最大值是b，最小值是a，那么函数的值域是[a，b]吗？()fx理论迁移例1已知函数，求函数的最大值和最小值.2,2,61fxxx()fx单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到以下一些结论：①如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递增，在区间[b,c)上单调递减，则函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).②如果函数y=f(X)在区间（a,b]上单调递减，在区间[b,c)上单调递增，则函数y=f(X)在x=b处有最小值f(b).③如果函数y=f(X)在区间[a,b]上单调递增，则函数函数y=f(X)在x=b处有最大值f(b).在x=a处有最小值f(a).1、利用函数单调性的求函数的最大（小）值例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂,如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少?（精确到1m）2、利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值解：作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象，如图，显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度。1234102015530250ht由二次函数的知识，对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18，我们有：当时，函数有最大值于是，烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为29m29)9.4(47.1418)9.4(42h5.1)9.4(27.14t3、利用图象求函数的最大（小）值-2x+1x≤-1例3、求函数f(x)=3-1x2的最值2x-1x≥2(1)设为常数，如果当时，函数的值域也是[1,b],求b的值.1b[1,]xb213()22fxxx(2)二次函数在区间上的值域为，求的范围.例4223yxx223yxx223yxx0,m2,3m课堂小结：（1）函数的最大（小）值的概念（2）求函数的最大（小）值一般方法①对于熟悉的一次函数、二次函数、反比例函数等函数可以先画出其图象，根据函数的性质来求最大（小）值②对于不熟悉的函数或者比较复杂的函数可以先画出其图象，观察出其单调性，再用定义证明，然后利用单调性求出函数的最值作业P39习题1.3A组：5B组：1，2.