数列

付雨楼讲高考数学1数列【高考命题规律】新课标全国卷对数列的考查重点是考查等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式，简单递推数列问题、分组求和、裂项相消、错位相减、倒序求和等常见数列求和方法．通过七年的高考试题可以发现，试题的位置均为第一大题，试题难度中下，主要以等差数列等比数列为背景考查数列的通项公式和数列求和问题，不再考查难度较大的递推数列问题.2014年理科考查了递推公式（隔项成等差数列），数列的通项公式，等差数列的证明，文科考查了等差数列的基本量计算，数列的求和，试题难度中等偏下；2015年理科考查了已知na与nS的关系求na，求和考查了裂项相消，难度较小；2016年考的是解三角形；2017年仍然考的是解三角形，预测2018年第一道大题考数列的可能性非常大，考查重点仍是以等差等比数列为载体，包括常规的化简变形，求和上掌握分组求和，错位相减，裂项相消，可能会涉及到数列的单调性与最值，与不等式存在性与恒成立巧妙结合，难度不会大，最大难度估计不会超过出一道最简单的先放缩再求和的题目，祝亲们好运！【基础知识整合】1、等差数列的定义：1(())nnaadnN，1(2)nnaadn，212(())nnnaaanN11(2)nnnnaaaan，naAnB，2nSAnBn等差数列的通项公式：12(1)(2)()nmaandandanmd（累加法推导）等差数列的前n项和公式：11()2(1)2nnnnnaadnaS（倒序相加法推导）等差数列的性质：（1）22mnpqrmnpqraaaaa（项数平衡，角标平衡）推广：若2mnpqr且22mnpqrmnpqraaaaa（0d时等号成立）（2）232,,mmmmmSSSSS，…也成等差数列（3）项数为偶数2n，SSnd偶奇－项数为奇数21n，SSa中偶奇，21(21)nSna中（4）等差数列{}na，{}nb的前n项和分别为nA，nB，若()nnAfnB，则2121(21)(21)(21)nnnnnnanaAfnbnbB（5）等差数列前n项和1(1)2nnnSnad，则使nS最大（或最小）的序号n的求法：方法一：前n项和可以写成21()22nddSnan，可以利用二次函数来求n的值；方法二：①当10a，0d时，前n项和有最大值，由100nnaa求得n的值②当10a，0d时，前n项和有最小值，由100nnaa求得n的值付雨楼讲高考数学22、等比数列的定义：1()nnaqnNa，1(2)nnaqna，221()nnnaaanN，11(2)nnnnaanaa，nnaAB，nnSAAq等比数列的通项公式：1212nnnmnmaaqaqaq（累乘法推导）等比数列的前n项和公式：111,1(1),111knnnnnananaqSaqaaqqqq（1q时，错位相减法推导）等比数列的性质：（1）22mnpqrmnpqraaaaa（项数平衡，角标平衡）推广：若2mnpqr且22mnpqrmnpqraaaaa（1q时等号成立）（2）232,,mmmmmSSSSS，…也成等比数列（1q，m为偶数时，不成立）（3）两个数的等比中项一定有两解，三个及以上一定只有一解，等比数列隔项符号一定相同（4）21(1)mmmSqqS，231mmmmSqqS，mmnmnSSqS，,11,11mmnnmqnSqSqq（5）1212kmkkkknkmmmmnmaaaaaqaaaaa（6）等比数列的单调性：等比数列na递增101aq或1001aq等比数列na递减1001aq或101aq（7）等比数列前n项积为n，则使n最大（或最小）的序号n的求法：先看单调性，注意可能是摆动数列，研究通项与1的大小即可3、求通项公式方法：第一大类：公式法（1）等差数列12(1)(2)()nmaandandanmd（2）等比数列1212nnnmnmaaqaqaq（3）已知nS求na，11,1,2nnnSnaSSn付雨楼讲高考数学3（4）摆动数列,,,,,ababab的通项为(1)()22nnabbaanN（5）先统一每一项的形式，观察，再归纳，最后用数学归纳法证明第二大类：由递推公式求通项公式（包含以下类型）类型一：1()nnaafn或1()nnaafn累加法类型二：1()nnafna或1()nnaafn累乘法类型三：1nnapaq（(1)0,pqp）构造{}nax为等比数列类型四：1nnapaqnr（(1)0pqp）构造{}naxny为等比数列类型五：1nnnapaq（(1)0,pqp）两边同除以nq，转化为类型三类型六：11nnnapaqa（0,2pqn）构造11()nnnnasatasa,转化为类型三特别地，斐波那契数列满足11nnnaaa，其通项为11515225nnna类型七：1nnnpaaqar（,,pqr为常数）两边取倒得111nnrqapap，转化为类型三类型八：1(2,0)rnnapanp两边取对数转化为1nnbpbq,转化为类型三第三大类：周期数列求通项公式（高中常见周期数列如下）（1）12nnaacT12nnaacT1121nnnaaTa（2）123nnnaaacT；123nnnaaacT1,(0,0,0)3nnnpaqapspqTras特别的131nnnaqaTra，1131nnaTa，1113nnaTa（3）1141nnnaaTa1141nnnaaTa（4）2136nnnnnaaaaaT（5）摆动数列也是周期数列,,,,,,ababab通项：(1)22nnabbaa或cos22nabbaan（6）2sin()||naAnT例如：12sin()sin()63333nnanT付雨楼讲高考数学44、求数列的前n项和第一大类：公式法（1）等差数列11()(1)22nnnaannSnad（2）等比数列111,1(1),111knnnnnananaqSaqaaqqqq（3）222221(1)(21)1236ninnnin（4）222333331(1)(1)12324ninnnnin第二大类：抓数列的通项，变成有规律的能求和的形式（包含以下类型）类型一：分组求和法（将通项拆成几个能求和的通项）类型二：裂项相消法（将通项裂成两项做差的形式，前后项相差阶的整数倍）类型三：错位相减法（适用于等差乘等比）类型四：倒序相加法（适用于首项加末项等于定值）第三大类：周期数列求和见求通项公式的第三大类，确定周期后，先求一个周期的前n项和，再乘以周期倍数加上余数，注意有些数列不是周期数列，但是也能按照周期数列的方法求和，例如1sin()3nnan.【基础典例分析】从近几年高考试题来看，等差数列，等比数列作为最基本的数列模型，一直是高考重点考查的对象，难度中低档，甚至是送分题，小题突出“小、巧、活”，主要以通项公式、前n项和公式为载体，结合等差，等比数列的性质考查分类讨论、化归与方程等思想，要注重通性、通法，在小题的计算问题上要活用性质，解答题“大而全”，注重题目的综合与新颖，突出对逻辑思维能力的考查．例：设数列na的前n项和为nS，且对任意的*Nn，都有0na，()12nnnaaS一：求通项公式（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb的前n项和为nT，11ba，{}nnTnb为常数列，求nb的通项；（3）若数列()211nnba，12(1)(1)(1)nncaaa，求nc的通项；付雨楼讲高考数学5（4）若等差数列nb满足1221(2)nnbbnn，求数列nb的通项；（5）若等比数列nb满足11232(2)nnnbbn，求数列nb的通项；（6）若数列nb满足111b，且11nnnnnbabbb，求数列nb的通项公式；（7）若数列nb满足11b，22b，且23nnbba，求数列nb的通项公式；（8）若正项等比数列nb满足12ba，且,,13223bbb成等差数列，求nb的通项；（9）若数列nb满足11nnnbbb，12ba，23ba，求605b和2018T的值；（10）若数列nb满足111nnbb，112b，求2018b的值，并证明其周期为3；（11）若数列nb满足111nnnbbb，112b，求2018b的值；（12）若正项数列nb满足2123...3nbbbbnn，求nb的通项；（13）若数列nb满足122.....2313131nnnbbba，求数列nb的通项公式；（14）若正项数列nb满足1232nnbbbb，求数列nb的通项公式；付雨楼讲高考数学6（15）若数列nb满足14ba，121nnnbbb，求数列nb的通项公式二：求前n项和（1）若132nnba，求123||||||||nnTbbbb；（2）若(1)(21)nannba，求数列{}nb的前2n项和2nT；（3）若2(1)(21)nannba，求数列{}nb的前n项和nT；（4）若1111(1)()nnnnbaa，求数列{}nb的前21n项和21nT；（5）若1nnnaba，求120162017201820182017201611111aaaaaaaaTbbbbbbbb；（6）若3log(1)nnba，求数列{}nnab的前n项和nT；（7）若3log(1)nnba，求数列{}nnab的前n项和nT；（8）若2log0nnab，求数列{}nnab的前n项和nT；（9）若21nnba，112nnac，求12132121nnnnnnTbcbcbcbcbc的值；付雨楼讲高考数学7（10）若212sin()6nnb，其前n项和为nT，求2018T；（11）若21sin()6nnbn，其前n项和为nT，求2018T；（12）若1(22)ln2nnanba，求证其n项和12ln2nT；（13）若21nnba，其前n项和为nT，求证12311111334nTTTT；（14）若121nnnnbaaa，其前n项和为nT，求nT；（15）若2(2)(21)(21)nnnnabaa，其前n项和为nT，求证12nTn；（16）若221(2)nnnnabaa，其前n项和为nT，求证516nT；（17）若212nnnaba，求证222212314naaaan；（18）若111nnnnnbaaaa，其前n项和为nT，求123