直线与圆

付雨楼讲高考数学1直线与圆【高考命题规律】在新课标全国卷Ⅰ中，直线有关的知识点从来不单独考，要么与圆锥曲线结合，要么在选做题极坐标与参数方程中出题.对于圆的知识考点，2013年第20题考查了与圆有关的轨迹问题；2014年第15题在圆中考查了三角形中线模型；2015年第14题考了已知圆过特殊的三点，求圆的标准方程；2016年第9题框图提了一下圆外的点问题，第20题考了直线与圆的位置关系计算问题；2017年几乎没有考到圆的知识，只是在第16题出现了一个圆的内接正三角形；对于极坐标与参数方程部分，除2014与2017考椭圆外，其余全都考圆.预测2018年直线与圆仍将会放到选做题中考，小题可能会出一道，不过不会单独考圆部分的知识，直线和圆只是分析题目的工具，解析几何这部分考点对理科生来说，圆锥曲线及其性质才是重点！【基础知识整合】直线有关知识点和考点1、直线的倾斜角决定直线的斜率，tan,[0,)k，当2时，我们说直线的斜率不存在，此时直线垂直于x轴；当直线与两坐标轴围成的截距相等时，一定有1k或直线过原点两种情况.2、两类含参数的直线（直线含参数并不是说直线不可画，它一定有以下两种特征之一）（Ⅰ）过定点：310axya一定过定点(3,1)；（Ⅱ）定斜率：310xya一定与直线0xy平行3、掌握直线方程的五种形式（明白各种形式的优点和缺陷，哪些形式与坐标系中哪些直线一一对应）点斜式，斜截式，两点式，截距式，一般式4、三种距离（注意灵活处理距离问题，不要死算）点点距离：22121212||()()dPPxxyy点线距离：0022||||AxByCdPHAB线线距离：1222||CCdAB（使用前将两直线的,AB统一）5、直线位置关系（考纯计算，注意平行时排除重合）平行1221ABAB排除重合垂直12120AABB相交1221ABAB重合111222ABCABC(若系数有零，则转化成整式求解)6、两条直线的夹角公式（Ⅰ）若直线用截距式给出，则2112tan1kkkk，121kk（Ⅱ）若直线用一般式给出，则12211212tanABABAABB，12120AABB7、四种直线系方程（记住可提高解题速度）付雨楼讲高考数学2（Ⅰ）定点直线系方程：过定点00(,)xy的直线可以设为00()()0AxxByy，,AB为待定的系数（Ⅱ）共点直线系方程：经过两直线12,ll交点的直线系方程为111222()()0AxByCAxByC（除2l），其中为待定的系数（Ⅲ）平行直线系方程：与直线0AxByC平行的直线系方程设为0AxBy，是参变量（Ⅳ）垂直直线系方程：与直线0AxByC垂直的直线系方程设为0BxAy，是参变量8、二元一次不等式表示的区域设直线:0lAxByC掌握0AxByC或0，111222()()0AxByCAxByC或0表示的区域圆有关知识点与考点1、圆的五种方程（Ⅰ）圆的标准方程：222()()xaybr圆心(,)Cab半径为r（Ⅱ）圆的一般方程：22220(40)xyDxEyFDEF，2242DEFr在x轴上截距之和为D，在y轴上截距之和为E，在两轴上截距之积均为F（Ⅲ）圆的参数方程：cossinxarybr，为参数（Ⅳ）圆的直径式方程：1212()()()()0xxxxyyyy，其中1122(,),(,)MxyNxy为直径两端点（Ⅴ）圆的极坐标方程：r，2cosa，2sinb，2cos2sinab，222cos2sin0abr2、三种圆系方程（Ⅰ）过点1122(,),(,)AxyBxy的圆系方程：1212()()()()()0xxxxyyyyAxByC，0AxByC是直线AB方程（Ⅱ）过直线:0lAxByC与圆22:0CxyDxEyF交点的圆系方程：22()0xyDxEyFAxByC，其中为待定的系数（Ⅲ）过圆221111:0CxyDxEyF与圆222222:0CxyDxEyF交点的方程2222111222()0xyDxEyFxyDxEyF，其中为待定的系数2、判断点与圆位置关系（代数法快），直线与圆位置关系，圆与圆位置关系（几何法快）付雨楼讲高考数学33、直线与圆位置关系考点汇总考点一：直线与圆相离：类型一：求直线上的点到圆上的点距离的最值第一步：用点到直线的距离公式算出||CHd第二步：下结论max||lPHdrmin||lQHdr类型二：过直线上一点作圆的切线，求切线长最小值第一步：作RtPCH，切线22PHPCr第二步：要使PH最小，即PC最小，当PCd时最小第三步：下结论22minPHdr类型其它：只要出现直线与圆相离的相关题型，就想以上模型.考点二：直线与圆相切类型一：过圆外一点求圆的切线方程（答案一定有两条）第一步：先讨论直线l斜率不存在时，看是否满足dr第二步：当直线l斜率存在时，设直线方程为00()yykxx，变形为000kxyykx第三步：相切002||1akbykxdrrk，解出k的值，最后带入一般式得出结果.类型二：过圆外一点作两条切线，切点为,AB，求直线AB的方程第一步：算出切线长22||||PAPCr，写出以P为圆心，||PA为半径的圆的方程；第二步：两圆方程相减，得到直线AB的方程.类型其它：只要直线与圆相切的相关题目，切线斜率一般是解题的关键条件考点三：直线与圆相交类型一：求相交弦长第一步：利用点到直线的距离公式求出d；第二步：在RtCHB中，利用勾股定理：22||2ABrd，解出||AB的值.类型二：求PAB面积的范围付雨楼讲高考数学4第一步：求相交弦长||AB第二步：确定高h的范围，(0,]hdr第三步：1||(0,]2PABSABhC类型三：两圆相交求公共弦方程圆221111:0CxyDxEyF圆222222:0CxyDxEyF公共弦AB的方程：两圆方程相减：121212()()()0DDxEEyFF4、圆的切线方程过圆上一点00(,)Pxy作圆的切线（图1）：（Ⅰ）222xyr切线方程为200xxyyr斜率为k且与圆222xyr相切的切线方程为21ykxrk（Ⅱ）222())(xaybr切线方程为200)(())(()xxayabybr（Ⅲ）220xyDxEyF切线方程为0000022xxyyxxyyDEF过圆外一点00(,)Pxy作圆的两条切线，切点分别为,AB，则直线AB的方程为（图2）：（Ⅰ）222xyrAB方程为200xxyyr（Ⅱ）222())(xaybrAB方程为200)(())(()xxayabybr（Ⅲ）220xyDxEyFAB方程为0000022xxyyxxyyDEF5、圆的切线长：自圆外一点00(,)Pxy，作圆的切线，则切线长为220000xyDxEyF【基础典例分析】例1：已知AC，BD为圆2216xy的两条相互垂直的弦，垂足为(1,2)M，则四边形ABCD面积的最大值为付雨楼讲高考数学5例2：（2015广东卷理20）过原点的动直线l与圆221:650Cxyx相交于不同的两点A，B.（Ⅰ）求圆1C的圆心坐标；（Ⅱ）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（Ⅲ）是否存在实数k，使得直线:(4)lykx与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由.例3：（2017全国卷Ⅲ理20）已知抛物线22Cyx：，过点20，的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（Ⅰ）求证：坐标原点O在圆M上；（Ⅱ）设圆M过点42P，，求直线l与圆M的方程.例4：已知圆C经过点(0,2)(2,0)AB，，圆C的圆心在圆222xy的内部，且直线3450xy被圆C所截得的弦长为23.点P为圆C上异于AB、的任意一点，直线PA与x轴交于点M，直线PB与y轴交于点N.（Ⅰ）求圆C的方程（Ⅱ）求证：||||ANBM为定值（Ⅲ）当PAPB取得最大值时，求||MN【高考真题研究】（2015全国卷Ⅰ理14）一个圆经过椭圆221164xy的三个顶点，且圆心在x轴正半轴上，则该圆的标准方程为（2014全国卷Ⅰ理15）已知,,ABC是圆O上的三点，若1()2AOABAC，则AB与AC的夹角为付雨楼讲高考数学6(2017江苏卷理13）在平面直角坐标系xOy中，点12,0A，0,6B，点P在圆22:50Oxy上，若20PAPB„，则点P的横坐标的取值范围是（2016全国卷Ⅱ理16）已知直线:330lmxym与圆2212xy交于A，B两点，过A，B分别做l的垂线与x轴交于C，D两点，若23AB，则CD__________________（2015全国卷II理7）过三点1,3A，4,2B，1,7C的圆交于y轴于,MN两点，则MN（）(A)26(B)8(C)46(D)10（2015江苏卷理10）在平面直角坐标系xOy中，以点1,0为圆心且与直线210mxymmR相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为（2015山东卷理9）一条光线从点23，射出，经y轴反射后与圆22321xy相切，则反射光线所在直线的斜率为（）(A)53或35(B)32或23(C)54或45(D)43或34(2014江西卷理9）在平面直角坐标系中，,AB分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线240xy相切，则圆C面积的最小值为（）(A)45(B)34(C)625(D)54（2013江西卷理9）过点(2,0)引直线l与曲线21yx相交于A，B两点，O为坐标原点，当AOB△的面积取最大值时，直线l的斜率等于（）(A)33(B)33(C)33(D)3付雨楼讲高考数学7（2016江苏卷理18）如图，以M为圆心的圆22:1214600Mxyxy及其上一点(2,4)A（Ⅰ）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线6x上，求圆N的标准方程；（Ⅱ）设平行于OA的直线l与圆M相交于,BC两点，且BCOA，求直线l的方程；（Ⅲ）设点(,0)Tt满足：存在圆M上的两点P和Q，使得,TATPTQ求实数t的取值范围.【名题精选，提升能力】直线的方程1、若直线260axy和直线2(1)(1)0xaaya互相垂直，则a的值为（）(A)1(B)23(C)32或0(D)02、若直线1:10laxy与2:3(2)10lxay平行，则a的值为（）(A)1(B)-3(C)0或12(D)1或-33、设点2,3,3,2AB，若直线20axy与线段AB没有交点，则a的取值范围是（）(A)54,,23(B)45,32(C)54,23(D)45,,324、如图所示，已知(4,0)A，(0,4)B，从点(2,0)P射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是（）(A)210(B)6(C)33(D)255、过点(3,4)的直线与两坐标轴围成的截距相等，则该直线方程是6、点(,)ab关于直线230xy的对称点是7、设mR