七年级上册-数学笔记

数学七年级上册第一章有理数（一）正数和负数1.像3,2,1.8%这样大于0的数叫正数。像-3，-2，-2.7%这样在正数前面加上负号“—”的数叫负数。根据需要，有时在正数前面加上“+”（正）号。2.数0既不是正数，也不是负数。把0以外的数分为正数和负数，起源于表示两种相反意义的量。0是正数与负数的分界。0℃是一个确定的温度，海拔0表示海平面的平均高度。0的意义已不仅是表示“没有”。3.中国古代用算筹（表示数的工具）进行计算，红色算筹表示正数，黑色算筹表示负数。4.在同一个问题中,分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。（二）有理数1.所有正整数组成正整数集合，所有负整数组成负整数集合。2.正整数、0、负整数统称整数。3.整数可以看作分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。4.分数可以看成两个整数的比的数。例如，分数2∕3是2与3的比；整数5可以看作分母为1的分数5∕1。（三）数轴1.一般地，在数学中，人们用画图的方式把数“直观化”。通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足一下要求：（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；（2）通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向；（3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2,3，…；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，…分数或小数也可以用数轴的点表示,例如从原点向右6.5个单位长度的点表示小数6.5,从原点向左3∕2个单位长度的点表示分数-3∕2。归纳:一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的右边,与原点的距离是一个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是一个单位长度。（四）相反数1.一般地，设a是一个正数,数轴上与原点的距离是a的点有两个,它们分别在原点左右,表示-a和a,我们说这两点关于原点对称。·······＞2.像2和-2,5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。这就是说，2的相反数是-2，-2的相反数2；5的相反数是-5，-5的相反数是5。3.一般地，a和-a互为相反数。特别地，0的相反数仍是0。4.容易看出，在正数前面添上“―”号，就得到这个正数的相反数。在任意一个数前面添上“―”号，新的数就表示原数的相反数。例如，—（+5）=―5，—（—5）=+5，—0=0。（五）绝对值1.一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值,记作[a]。（这里的数a可以是正数、负数和0）2.由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。（1)当a是正数时,[q]=a;(a0)(2)当a是负数时,[a]=-a;(a0)(3)当a=0时,[a]=a.3.任意两个有理数比较大小。数学中规定:在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数。由这个规定可知：-6-5,-5-4,-4-3,-20,-11,…(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;(2)两个负数,绝对值大的反而小。例如,10,0-1,1-1,-1-2。4.异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们的。（六）有理数的加减法1.利用数轴，求以下情况时物体两次运动的结果：（1）先向右运动3m，再向左运动5m，物体从起点向左运动了2m；（2）先向右运动5m，再向左运动5m,物体从起点向原地不动运动了0m；（3）先向左运动5m，再向右运动5m，物体从起点向运动了0m。考虑有理数的运算结果时，既要考虑它的符号，又要考虑它的。2.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0；（3）一个数同0相加，仍得这个数。先定符号，再算绝对值3.有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变。加法交换律：a+b=b+a有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。加数结合律：（a+b)+c=a+(b+c)（七）有理数的减法1.有理数的减法可以转化为加法来进行。2.有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。a-b=a+(-b)3.归纳：引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算。a+b-c=a+b+（-c)(八）有理数的乘除法1.有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0,。2.有理数相乘，先确定积的，再确定积的。3.有理数中仍然有，乘积是1的两个数互为倒数。4.几个不是0的数相乘，负因素的个数是偶数时，积是正数；负因数的个数是奇数时，积是负数。5.一般地，有理数乘数中，两个数相乘，交换因数的位置，积相等。乘法交换律：ab=ba。6.三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相乘。乘法结合律：（ab)c=a(bc)。7.一般地，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。分配律：a(b+c)=ab+ac注：a×b也可以写为a·b或ab。当用字母表示乘数时，“×”号可以写为“·”或省略。（九）有理数的除法1.有理数的除法法则:除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。这个法则也可以表示：a÷b=a·1/b(b不等于0）。2.从有理数除法法则，容易得出：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。注：分数可以理解为分子除以分母3.因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。4.有理数的加减乘除混合运算，如无括号指出先做什么运算，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行。（十）有理数的乘方1.5有理数的乘方1.5.1乘方边长为a的正方形的面积是a·a，棱长为a的正方形的体积是a·a·a.a·a简记作a2，读作a的平方（或二次方）；a·a·a简记作a3，读作a的立方（或三次方）。一、一般地，n个相同的因数a相乘，即a·a·a……·a,记作an，读作a的n次方。求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在an中，a叫做底数，n叫做指数，当an看做a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂。二、一个数可以看做这个数本身的一次方。例如，5就是51，指数1通常省略不写。因为an就是n个a相乘，所以可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算。三、根据有理数的乘方法则可以得出：1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。2.正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。四、做有理数的混合运算时，应注意一下运算顺序：1.先乘方，再乘除，最后加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。1.5.2科学记数法一、一般地，10的n次幂等于10…0（在1的后面有n个0），所以可以利用10的乘方表示一些大数，例如567000000=5.67×108，读作5.67乘10的8次方（幂）。这样不仅书写简单，而且便于读数。像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是科学记数法。注意：科学记数法表示一个n位整数，其中10的指数是n-1.1.5.3近似数在许多情况下，很难取得准确数，或者不必使用准确数，而可以使用近似数。例如，宇宙现在的年龄约为200亿年，长江长约6300千米，圆周率π约为3.14，这些数都是近似数。近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。例如，前面的五百世精确到百位的近似数，它与准确数513的误差是13.从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。第一章小结加法1.知识结构图：有理数有理数的运算第二章整式的加减2.1整式乘式子100t，6a2，a3，2.5x,vt,-n,它们都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。例如，单项式100t，Vt,-n的系数分别是100,1,1，-1.单项式表示数字与字母相乘时，通常把数字写在前面。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。例如，在单项式100t中，字母t的指数是1,100t是一次单项式；在单项式Vt中，字母v与t的指数的和是2，vt是二次单项式。像这样，几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。例如，自多项式2x-3中，2x和-3是它的项，其中-3是常数项；在多项式x2+2x+18中，它的项分别是x2,2x和18，其中18是常数项。多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。例如，多项式2x-3中次数最高的项是一次项2x,这个多项式的次数是1；多项式x2+2x+18中次数最高的项是二次项x2，这个多项式的次数是2。单项式与多项式统称整式。例如，上面见到的单项式100t,6a2,vt,-n,以及多项式2x-3,3x+5y+2Z等都是等式。2.2整式的加减(1）100t-252t=（）t;(2)3x2+2x2=()x2;(3)3ab2-4ab2=()ab2.对于上面的（1）（2）（3），利用分配律可得：100t-252t=(100-252)t=-152t,3x2+2x2=(3+2)x2=5x2,3ab2-4ab2=(3-4)ab2=-ab2.观察（1）中的多项式的项100t和-252t，他们含有相同字母t，并且t的指数都是1；（2）中的多项式的项3x2和2x2，它们含有相同的字母x，并且x的指数都是2；（3)中的多项式的项3ab2与-4ab2，他们都含有字母a,b,并且a都是一次，b都是二次。所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。因为多项式中的字母表示的是数，所以我们也可以运用交换律、结合律、分配律把多项式中的同类项进行合并。例如，、4x2+2x+7+3x-8x2-2=4x2-8x2+2x+3x+7-2(交换律）=(4x2-8x2)+(2x+3x)+7-2(结合律）=(4-8)x2+(2+3)x+(7-2)（分配律）=-4x2+5x+5把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变。注意：分配律的使用：100t-252t=[100+(-252)]t=(100-252)t注意：通常我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小（降幂)或者从小到大（升幂）的顺序排列，如-4x2+5x+5也可以写成5+5x-4x2。去括号规律：+120（t-0.5)=+120t-60-120(t-0.5)=-120t+60通过以上两式，可知：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。特别的，+（x-3)与-（x-3）可以分别看作1与-1分别乘（x-3）。利用分配律，可以将式子中的括号去掉，得+（x-3)=x-3,-(x-3)=-x+3.这也符合以上发现的去括号规律。通过学习，我们可以得到整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。第二章小结1.知识结构图用字母表示数单项式列式表示数量关系整式合并同类项去括号整式加减运算多项式2.回顾与思考（1）整式中的字母表示数，可以简明地表达实际问题中的数量关系，它比具体数字表达的式子更具有一般性，这给实际问题的解决带来很大方便；（2）整式运算建立在数的运算基础之上，数的运算是整式运算的特殊情况；（3）举例说明什么是单项式、多项式；（4）合并同类项和去括号是整式加减的基础；（5）举例说明整式加减的运算法则。第三章一元一次方程3.1从算式到方程一、通常用x，y