2014·全国新课标1(理科数学)

2014·全国新课标卷Ⅰ(理科数学)1．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x2}，则A∩B＝()A．[－2，－1]B．[－1，2)B．[－1，1]D．[1，2)1．A[解析]集合A＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，所以A∩B＝[－2，－1]．2．[2014·新课标全国卷Ⅰ]（1＋i）3（1－i）2＝()A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i2．D[解析]（1＋i）3（1－i）2＝（1＋i）2（1＋i）（1－i）2＝2i（1＋i）－2i＝－1－i.3．[2014·新课标全国卷Ⅰ]设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数3．C[解析]由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C.4．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为()A.3B．3C.3mD．3m4．A[解析]双曲线的一条渐近线的方程为x＋my＝0.根据双曲线方程得a2＝3m，b2＝3，所以c＝3m＋3，双曲线的右焦点坐标为(3m＋3，0)．故双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为|3m＋3|1＋m＝3.5．[2014·新课标全国卷Ⅰ]4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18B.38C.58D.785．D[解析]每位同学有2种选法，基本事件的总数为24＝16，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1－216＝78.图1­16．、[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图1­1，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为()ABCD6．C[解析]根据三角函数的定义，点M(cosx，0)，△OPM的面积为12|sinxcosx|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f(x)＝|sinxcosx|＝12|sin2x|，且当x＝π2时上述关系也成立，故函数f(x)的图像为选项C中的图像．7．[2014·新课标全国卷Ⅰ]执行如图1­2所示的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝()图1­2A.203B.165C.72D.1587．D[解析]逐次计算，依次可得：M＝32，a＝2，b＝32，n＝2；M＝83，a＝32，b＝83，n＝3；M＝158，a＝83，b＝158，n＝4.此时输出M，故输出的是158.8．[2014·新课标全国卷Ⅰ]设α∈0，π2，β∈0，π2，且tanα＝1＋sinβcosβ，则()A．3α－β＝π2B．3α＋β＝π2C．2α－β＝π2D．2α＋β＝π28．C[解析]tanα＝1＋sinβcosβ＝cosβ2＋sinβ2cos2β2－sin2β2＝cosβ2＋sinβ2cosβ2－sinβ2＝1＋tanβ21－tanβ2＝tanπ4＋β2，因为β∈0，π2，所以π4＋β2∈π4，π2，又α∈0，π2且tanα＝tanπ4＋β2，所以α＝π4＋β2，即2α－β＝π2.9．、[2014·新课标全国卷Ⅰ]不等式组x＋y≥1，x－2y≤4的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是()A．p2，p3B．p1，p2C．p1，p4D．p1，p39．B[解析]不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示，设目标函数z＝x＋2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，－1)处取得最小值，且zmin＝2－2＝0，即x＋2y的取值范围是[0，＋∞)，故命题p1，p2为真，命题p3，p4为假．10．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若FP→＝4FQ→，则|QF|＝()A.72B．3C.52D．210．B[解析]由题知F(2，0)，设P(－2，t)，Q(x0，y0)，则FP＝(－4，t)，FQ→＝(x0－2，y0)，由FP＝4FQ，得－4＝4(x0－2)，解得x0＝1，根据抛物线定义得|QF|＝x0＋2＝3.11．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x00，则a的取值范围是()A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)11．C[解析]当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1，存在两个零点，不符合题意，故a≠0.由f′(x)＝3ax2－6x＝0，得x＝0或x＝2a.若a0，则函数f(x)的极大值点为x＝0，且f(x)极大值＝f(0)＝1，极小值点为x＝2a，且f(x)极小值＝f2a＝a2－4a2，此时只需a2－4a20，即可解得a－2；若a0，则f(x)极大值＝f(0)＝10，此时函数f(x)一定存在小于零的零点，不符合题意．综上可知，实数a的取值范围为(－∞，－2)．12．[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图1­3，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()图1­3A．62B．6C．42D．412．B[解析]该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥E­CC1D1(其中E为BB1的中点)，其中最长的棱为D1E＝（42）2＋22＝6.13．[2014·新课标全国卷Ⅰ](x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字填写答案)13．－20[解析](x＋y)8的展开式中xy7的系数为C78＝8，x2y6的系数为C68＝28，故(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y8的系数为8－28＝－20.14．[2014·新课标全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市．由此可判断乙去过的城市为________．14．A[解析]由于甲没有去过B城市，乙没有去过C城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A城市．又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A城市．15．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知A，B，C为圆O上的三点，若AO→＝12(AB→＋AC→)，则AB→与AC→的夹角为________．15．90°[解析]由题易知点O为BC的中点，即BC为圆O的直径，故在△ABC中，BC对应的角A为直角，即AC与AB的夹角为90°.16．[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)·(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，则△ABC面积的最大值为________．16.3[解析]根据正弦定理和a＝2可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，故得b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，所以A＝π3.根据b2＋c2－a2＝bc及基本不等式得bc≥2bc－a2，即bc≤4，所以△ABC面积的最大值为12×4×32＝3.17．、[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ为常数．(1)证明：an＋2－an＝λ.(2)是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．17．解：(1)证明：由题设，anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，两式相减得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1.因为an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.(2)由题设，a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1，由(1)知，a3＝λ＋1.若{an}为等差数列，则2a2＝a1＋a3，解得λ＝4，故an＋2－an＝4.由此可得{a2n－1}是首项为1，公差为4的等差数列，a2n－1＝4n－3；{a2n}是首项为3，公差为4的等差数列，a2n＝4n－1.所以an＝2n－1，an＋1－an＝2.因此存在λ＝4，使得数列{an}为等差数列．18．、[2014·新课标全国卷Ⅰ]从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图1­4所示的频率分布直方图：图1­4(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x－，σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布，求P(187.8Z212.2)；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX.附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则p(μ－σZμ＋σ)＝0.6826，p(μ－2σZμ＋2σ)＝0.9544.18．解：(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x－和样本方差s2分别为x－＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)(i)由(1)知，Z～N(200，150)，从而P(187.8Z212.2)＝P(200－12.2Z200＋12.2)＝0.6826.(ii)由(i)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.6826，依题意知X～B(100，0.6826)，所以EX＝100×0.6826＝68.26.19．G5、G11[2014·新课标全国卷Ⅰ]如图1­5，三棱柱ABC­A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C.图1­5(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A­A1B1­C1的余弦值．19．解：(1)证明：连接BC1，交B1C于点O，连接AO，因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．又AB⊥B1C，所以B1C⊥平面ABO.由于AO⊂平面ABO，故B1C⊥AO.又B1O＝CO，故AC＝AB1.(2)因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO.又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC.故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两垂直．以O为坐标原点，OB的方向为x轴正方向，|OB|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O­xyz.因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形，又AB＝BC，则A0，0，33，B(1，0，0)，B10，33，0，C0，－33，0.AB1→＝0，33，－33，A1B1→＝AB＝1，0，－33，B1C→1＝BC＝－1，－33，0.设n＝(x，y，z)是平面AA1B1的法向量，则n·AB1＝0，n·A1B1→＝0，即33y－33z＝0，x－33z＝0.所以可取n＝(1，3，3)．设m是平面A1B1C1的法向量，则m·A1B1→＝0，m·B1C1→＝0，同理可取m＝(1，－3，3)．则cos〈n，m〉＝n·m|n||m|＝17.所以结