3.3.2离散型随机变量的数字特征

3.3.2随机变量的数字特征1制作：华星职校伍玉才学习目标1.掌握数学期望（离散型随机变量的均值）的概念及公式；2.掌握离散型随机变量的方差及标准差及公式；3.会用三个公式进行简单的运算.2复习在1000次重复试验中，离散型随机变量𝜉的取值为100有300次，取值200的有700次，即事件“𝜉=100”发生的概率为0.3，事件“𝜉=200”发生的概率为0.7，则离散型随机变量𝜉的概率分布为3𝜉100200P300700怎样求随机变量𝝃的平均值呢？这里随机变量𝜉的取值只有100和200，能认为𝜉的平均值是150吗？显然不能！因为𝜉取值100和200的可能性是不同的，即概率不同。那么怎样求平均值呢？用加权平均数！即离散型变量的平均数为100×𝟎.𝟑+𝟐𝟎𝟎×𝟎.𝟕=𝟑𝟎+𝟏𝟒𝟎=𝟏𝟕𝟎.新课一般地，设离散变量𝜉的有取值为有限个值𝒙𝟏,𝒙𝟐,𝒙𝟑…𝒙𝒏,其概率分布为4𝜉𝒙𝟏𝒙𝟐𝒙𝟑…𝒙𝒏P𝑃1𝑃2𝑃3…𝑃𝑛则将𝒙𝟏𝒑𝟏+𝒙𝟐𝒑𝟐+𝒙𝟑𝒑𝟑+⋯+𝒙𝒏𝒑𝒏叫做离散型随机变量𝜉的均值（或数学期望）,记作𝑬(𝑬𝝃=𝒙𝟏𝒑𝟏+𝒙𝟐𝒑𝟐+𝒙𝟑𝒑𝟑+⋯+𝒙𝒏𝒑𝒏(3.9)1.数学期望的概念𝜉).即新课一般地，设离散变量𝜉的有取值为有限个值𝒙𝟏,𝒙𝟐,𝒙𝟑…𝒙𝒏,其概率分布为5𝜉𝒙𝟏𝒙𝟐𝒙𝟑…𝒙𝒏P𝑃1𝑃2𝑃3…𝑃𝑛则将𝒙𝟏𝒑𝟏+𝒙𝟐𝒑𝟐+𝒙𝟑𝒑𝟑+⋯+𝒙𝒏𝒑𝒏叫做离散型随机变量𝜉的均值（或数学期望）,记作𝑬(𝑬𝝃=𝒙𝟏𝒑𝟏+𝒙𝟐𝒑𝟐+𝒙𝟑𝒑𝟑+⋯+𝒙𝒏𝒑𝒏(3.9)𝜉).即新课2.离散型随机变量𝝃的方差6D𝝃=(𝒙𝟏−𝑬𝝃)𝟐𝒑𝟏+(𝒙𝟐−𝑬𝝃)𝟐𝒑𝟐+(𝒙𝟑−𝑬𝝃)𝟐𝒑𝟑+⋯+(𝒙𝒏−𝑬𝝃)𝟐𝒑𝒏(3.10)新课2.离散型随机变量𝝃的方差7D𝝃=(𝒙𝟏−𝑬𝝃)𝟐𝒑𝟏+(𝒙𝟐−𝑬𝝃)𝟐𝒑𝟐+(𝒙𝟑−𝑬𝝃)𝟐𝒑𝟑+⋯+(𝒙𝒏−𝑬𝝃)𝟐𝒑𝒏(3.10)D𝝃=𝑬𝝃𝟐−(𝑬(𝝃))𝟐(3.11)新课3.离散型随机变量𝝃的标准差8D𝝃叫做随机变量的标准差.例题分析例3某工厂生产一批商品，其中一等品占12，每件一等品获利3元，二等品占13，每件二等品获得1元；次品占16，每件次品亏损2元.设𝜉为任意一件商品的获利金额(单位：元），求：（1）随机变量𝜉的概率分布；（2）随机变量𝜉的均值（数学期望）；（3）随机变量𝜉的方差。2019/10/21概率论与数理统计9解（1）随机变量𝜉所有取值为-2，1，3，取这些值的概率依次为16，13，12，故其概率分布为（2）E(𝜉)=−2×16+1×13+3×12=32,即每件商品平均获利1.5元.（3）因为𝐸𝜉2=(−2)2×16+12×13+32×12=112,所以𝐷𝜉=𝐸𝜉2−(𝐸𝜉)2=112−(32)2=114.𝝃-213p161312巩固、练习、作业（P69练习）已知离散型随机变量𝜉的概率分布为2019/10/21概率论与数理统计10𝐸𝜉=1×12+2×13+3×16=53;𝐸𝜉2=12×12+22×13+32×16=103,𝐷𝜉=𝐸𝜉2−(𝐸𝜉)2=103−(53)2=59.𝝃123p121316求随机变量𝜉的均值与方差.