2017高考数学试题分类汇编-不等式(含文科理科及详细解析)

******2017年高考数学试题分类汇编：不等式22x0y0xy1（2017北京文）已知，，且x+y=1，则的取值范围是__________．【考点】3W：二次函数的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可．【解答】解：x≥0，y≥0，且x+y=1，则x2+y2=x2+（1﹣x）2=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，则令f（x）=2x2﹣2x+1，x∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上，所以函数的最小值为：f（）==．最大值为：f（1）=2﹣2+1=1．则x2+y2的取值范围是：[，1]．故答案为：[，1]．【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．42（2017浙江）已知aR，函数f(x)|xa|a在区间[1，4]上的最大值是5，则a的取x值范围是___________．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】通过转化可知|x+﹣a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+≤5，进而计算可得结论．【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5，又因为|x+﹣a|≤5﹣a，所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a，所以2a﹣5≤x+≤5，******又因为1≤x≤4，4≤x+≤5，******所以2a﹣5≤4，解得a≤，故答案为：（﹣∞，]．【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题．3（2017新课标Ⅲ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)=│x+1│–x│–2│.（1）求不等式f(x)≥1的解集；（2）若不等式f(x)≥x2–x+m的解集非空，求实数m的取值范围.【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法．【专题】32：分类讨论；33：函数思想；4C：分类法；4R：转化法；51：函数的性质及应用；5T：不等式．【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max=，从而可得m的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（2）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．******由（1）知，g（x）=，当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2+3=1；综上，g（x）max=，∴m的取值范围为（﹣∞，]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．4（2017新课标Ⅲ理数）．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）=│x+1│–x│–2│．（1）求不等式f（x）≥1的解集；2（2）若不等式f（x）≥x–x+m的解集非空，求m的取值范围．解：（1）当x1时fxx1x231无解f(x)x1(x2)当1x2时2x12x11∴1x2x1f(x)x1(x2)3当x2时31综上所述f(x)1的解集为[1,).x2（2）原式等价于存在xR，使2f(x)xxm成立，即2[f(x)xx]mmax******设2g(x)f(x)xx2xx3,x1由（1）知2g(x)x3x1,1x2当x1时，2xx3,x22g(x)xx35（2017新课标Ⅱ文）[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知33a0,b0,ab2.证明：（1）55(ab)(ab)4；（2）ab2.【解析】（1）556556ababaababb2333344ab2ababab422abab24（2）因为******33223aba3ab3abb23aba+b233a+b3a+b2+a+b244所以3a+b8，因此a+b≤2.6（2017新课标Ⅱ理）[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知33a0,b0,ab2．证明：（1）55(ab)(ab)4；（2）ab2．【解析】（1）556556ababaababb2333344ab2ababab422abab24（2）因为33223aba3ab3abb23aba+b233a+b3a+b2+a+b244所以3a+b8，因此a+b≤2.7（2017新课标Ⅰ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10分）2+ax+4，g(x)=│x+1│+x│–1│.已知函数f（x）=–x（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.******解：（1）当a1时，不等式f(x)g(x)等价于2|1||1|40xxxx.①当x1时，①式化为x23x40，无解；当1x1时，①式化为x2x20，从而1x1；当x1时，①式化为x2x40，从而1117x.2所以f(x)g(x)的解集为117{x|1x}.2（2）当x[1,1]时，g(x)2.所以f(x)g(x)的解集包含[1,1]，等价于当x[1,1]时f(x)2.又f(x)在[1,1]的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范围为[1,1].xyz8（2017新课标Ⅰ理数）设x、y、z为正数，且235，则A．2x3y5zB．5z2x3yC．3y5z2xD．3y2x5z【考点】72：不等式比较大小．【专题】35：转化思想；51：函数的性质及应用；59：不等式的解法及应用．【分析】x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．可得3y=，2x=，5z=．根据==，＞=．即可得出大小关系．x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．可得x=，y=，z=．另解：x、y、z为正数，令2==＞1，可得2x＞3y，同理可得5z＞2x．【解答】解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．******则x=，y=，z=．******∴3y=，2x=，5z=．∵==，＞=．∴＞lg＞＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、y、z为正数，令2x=3y=5z=k＞1．lgk＞0．则x=，y=，z=．∴==＞1，可得2x＞3y，==＞1．可得5z＞2x．综上可得：5z＞2x＞3y．解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．故选：D．【点评】本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9（2017新课标Ⅰ理数）．[选修4—5：不等式选讲]（10分）2+ax+4，g(x)=│x+1│+x│–1│.已知函数f（x）=–x（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.【解析】（1）当a1时，不等式f(x)g(x)等价于2|1||1|40xxxx.①******4441ab10（2017天津文）若a，bR，ab0，则ab的最小值为.【考点】7F：基本不等式．【专题】34：方程思想；4R：转化法；5T：不等式．【分析】【方法一】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的条件是什么．【方法二】将拆成+，利用柯西不等式求出最小值．【解答】解：【解法一】a，b∈R，ab＞0，∴≥==4ab+≥2=4，当且仅当，******即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=；”∴上式的最小值为4．【解法二】a，b∈R，ab＞0，∴=+++≥4=4，当且仅当，即，即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=；”∴上式的最小值为4．故答案为：4．【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．4441ab11（2017天津理）若a,bR，ab0，则ab的最小值为___________.【答案】4【解析】44414221abababab4，当且仅当a2b1时取等号xy12（2017山东文）若直线1(a＞0，b＞0)过点（1,2）,则2a+b的最小值为.ab【答案】8******（7）（2017山东理）若ab0，且ab1，则下列不等式成立的是1balogab（A）2ab2blog（B）2a2aba1b1（C）alog2abbba2log（D）2aba1bba2【答案】Bb【解析】a1,0b1,1,log2(ab)log22ab1,a21a11baabaab2log()2bb，所以选B.x13（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买吨，运费为6万元/次，一年4xx的总存储费用为万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则的值是▲．【解析】总费用6009004x64(x)42900240xx，当且仅当x900x，即x30时等号成立.14(2017年江苏卷)［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）abcda2b24,c2d216,acbd≤8.,,,已知为实数，且证明：【解析】由柯西不等式可得22222(ab)(cd)(acbd)，即2(acbd)41664，故acbd8.15（2017北京理）能够说明“设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为______________________________．【考点】FC：反证法．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5L：简易逻辑．【分析】设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一******【解答】解：设a，b，c是任意实数．若a＞b＞c，则a+b＞c”是假命题，则若a＞b＞c，则a+b≤c”是真命题，******可设a，b，c的值依次﹣1，﹣2，﹣3，（答案不唯一），故答案为：﹣1，﹣2，﹣3【点评】本题考查了命题的真假，举例说明即可，属于基础题．16.（2017?新课标Ⅲ文数）设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣3，0]B．[﹣3，2]C．[0，2]D．[0，3]【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；5T：不等式．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：目标函数z=x﹣y，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，由解得A（0，3），由解得B（2，0），目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣3，目标函数的取值范围：[﹣3，2]．故选：B．【点评】本题考查线性规划的简单应用，目标函数的最优解以及可行域的作法是******解题的关键．