简单的线性规划问题

简单的线性规划问题1.(左小右大）在直角坐标系中，Ax+By+C=0将平面分成三部分.直线上的点满足Ax+By+C=0，当B=0时，直接从坐标系上看出范围，当B≠0时，满足B(Ax+By+C)＞0表示直线上方的区域，满足B(Ax+By+C)＜0表示直线下方的区域.口诀是：同号在上，异号在下.或采用“以线定界，以点定域”的原则.判别不等式Ax+By+C＞0(或Ax+By+C＜0)表示的平面区域时，只要在直线Ax+By+C=0的一侧任取一点(x0，y0)，将它的坐标代入不等式，如果该点的坐标满足不等式，不等式就表示该点所在一侧的平面区域；如果不满足不等式，就表示这个点所在区域的另一侧平面区域.由几个不等式组成的不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.2.线性目标函数在线性约束条件下，最值问题的讨论.基本概念由x、y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x、y的约束条件线性约束条件意义名称求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题线性规划问题使目标函数达到最大值或最小值的可行解最优解所有可行解组成的集合叫做可行域可行域满足线性约束条件x、y的解(x，y)叫做可行解可行解关于x、y的一次解析式线性目标函数关于x、y的解析式，如：z=2x+y，z=x2+y2等目标函数解线性规划的问题，一般用图解法，其步骤如下：(1)设出变量x、y(2)(3)(4)(5)求出最值，还原成实际问题的解.x-3y+6≥0x-y+20表示的平面区域是()1.不等式组B基础练习：走进高考走进高考(2009·上海卷)已知实数x、y满足y≤2xy≥-2xx≤3，则目标函数z=x-2y的最小值是.学例1-9作出(x,y)满足的值域如图，由目标函数的特点知，在点（3，6）处z取得最小值-9.可行域为图中阴影部分,由图可知s=x+y在点(4，5)处取得最大值，最大值为s=4+5=9.(2009·北京卷)若实数x,y满足x+y-2≥0x≤4y≤5,则s=x+y的最大值为.学例294.不等式|x-1|+|y-1|≤2表示的平面区域的面积是.8|x-1|+|y-1|≤2可化为x-1≥0x-1≥0x-1≤0y-1≥0y-1≤0y-1≥0x+y-4≤0x-y-2≤0x-y+2≥0或或x-1≤0y-1≤0x+y≥0.其平面区域如图：所以面积S=２××4×2=8.或12方法点拨：数形结合，以线定界以点定域.自学范例1设R为平面上以A(4，1)、B(-1，-6)、C(-3，2)三点为顶点的三角形区域(包括边界及内部)，试求(x，y)在R内运动时，x，y需满足的条件，并画出平面区域.考点基本知识基本概念;可行域及判定、目标函数;不等式、不等式组表示的区域的求法1分析:先由三个顶点求出三条边界线的方程.再确定区域的不等式组解析:在直角坐标系中，标出A、B、C三点，画出AB、AC、BC三条直线并写出各自对应的直线方程，代入原点(0，0)检验即可.因为AB:7x-5y-23=0，BC:4x+y+10=0，AC:x+7y-11=0，将(0，0)代入7x-5y-23得-23＜0，∴原点在7x-5y-23≤0所表示的区域内.同理检验出原点在4x+y+10≥0，x+7y-11≤0所表示的区域内.x、y满足的条件为它所表示的平面区域如下图所示.，0117010402357yxyxyx【点评】正确表示出区域，求出不等式或二元一次直线方程，再结合原点存在与否定域，区域或边界用阴影或虚实线表示.考点几个常见的几何问题的线性规划2方法点拨:目标函数建立后,要联系相关几何意义.如斜率、截距、距离等.自学范例2.2510(2)；42)1(22的最小值求的最大值求yyxyx0520402yxyxyx设x、y满足分析:先画出不等式组表示的平面区域，结合目标函数的几何意义求解.解析:如图直线x-y+2=0，x+y-4=0，2x-y-5=0的交点A(1，3)，B(3，1)，C(7，9).(1)设z=x+2y-4，则作斜率为的平行直线l.当l过C(7，9)时，截距最大，这时z也最大.即z的最大值是7+2×9-4=21..2421zxy21k(2)x2+y2-10y+25=x2+(y-5)2是表示区域上的点(x，y)与(0，5)的距离的平方.∵(0，5)到直线x-y+2=0的距离是d=∴x2+y2-10y+25的最小值是2923)1(1|2510|222d.29变式变式变式x-y-2≤0x+2y-4≥02y-3≤0,则的最大值是.设实数x、y满足不等式组确定的平面区域如图阴影部分.yx设=t，则y=tx,求的最大值，即求y=tx的斜率的最大值.显然y=tx过A点时，t最大.x+2y-4=02y-3=0代入y=tx,得t=.所以的最大值为.yxyx由，解得A(1,).3232yxx≥1x-y+1≤02x-y-2≤0，则x2+y2的最小值是.2.已知实数x、y满足5x-y+1=0x=1，得最优解为A(1,2)，所以x2+y2的最小值为5.作出可行域，由点评点评本题是将非线性规划问题，转化为线性规划问题求解，体现了数形结合和化归思想的运用.这种题型在今后高考中可能会成为主要命题方向，望引起同学们的关注.方法点拨：目标函数是连续函数或是整点最值问题.以实际意义来看，一类是资源分配能使完成任务量最大；另一类是统筹安排任务，使耗费的人力、物力资源最少.考点线性规划解决应用问题3自学范例3某公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元.甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟.假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元，问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？分析:假设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，则可列出x，y所满足的不等式组及目标函数.解析:设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，由题意得作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如上图.0，0，90025，300.20003000.0，0，90000200500，300yxyxyxyxzyxyxyx于二元一次不等式组等价目标函数为作直线l:3000x+2000y=0.即3x+2y=0.平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值.联立解得x=100，y=200.∴点M的坐标为(100，200).∴zmax=3000x+2000y=700000(元).答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告.公司的收益最大，最大值为70万元..90025300，yxyx【点评】画出可行域后，再把目标函数平行移动，比较截距的大小，要注意目标函数的意义.注意单位的换算！练习制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的利润，而且要考虑可能出现的亏损，某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？设投资人分别用x万元、y万元投资甲、乙两个项目，则目标函数z=x+0.5y.x+y≤100.3x+0.1y≤1.8x≥0,y≥0,作可行域,当直线l:x+0.5y=z过点M时,z取最大值.x+y=10x=43x+y=18，y=6，所以点M(4,6).故当x=4，y=6时，zmax=7.答：投资甲项目4万元，投资乙项目6万元时，可能的盈利最大.由得点评点评这是在高考中第一次以解答题的形式考查简单的线性规划问题.本题是一道应用题，以投资决策为背景，以线性规划为素材，考查学生对数学的应用意识和能力，不落俗套，令人耳目一新.19.（本小题满分12分2010年广东高考）某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐。已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？2.54zxy解：设该儿童分别预订x,y个单位的午餐和晚餐，共花费z元12864,6642,61064,0,,0,.xyxyxyxxNyyN3216,7,3532,0,0.xyxyxyxy即4,4xy作出可行域如图所示：经试验发现，当时，花费最少，为2.544426（元）答：应当为该儿童预定4个单位的午餐和4个单位晚餐考点综合新题40142，08，0192yxyxyx自学范例4(1)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y=ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取取值范围是()A.[1，3]B.[2,]C.[2，9]D.[，9]1010)　　(，，0，22，0)2(范围是的取值则三角形表示的平面区域是一个若不等式组aayxyyxyx________.，}25|)，{(003052)，(，(3)341＜D.0341.C1＜.0Ｂ34A.22的取值范围是则若为实数设或myxyxymyxyxyxm　aa　　　　　aa　　　　　　a分析:结合图形求解.解析:(1)过点(1,9)(3,8)求得2≤a≤934003434(3)0D(2)mmmxym率取值为绕原点旋转过程中其斜直线选【点评】解题的关键是画出图形.备选题备选题设集合A={(x,y)|x,y,1-x-y是三角形的边长}，则A所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是()A利用三角形的三边关系x+y1-x-yx-y1-x-yy-x1-x-y,x+yxy,故A所表示的平面区域为A选项.即121212