特殊平行四边形典型例题解析题

1一、参考例题［例1］如下图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.(1)求证：EO=FO(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的结论.分析：(1)要证明OE=OF，可借助第三条线段OC，即证：OE=OC，OF=OC，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证△OEC、△OCF是等腰三角形，由已知条件即可证明.(2)假设四边形AECF是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角.由已知可得到：∠ECF=90°，由(1)可证得OE=OF，所以要使四边形AECF是矩形,只需OA=OC.证明：(1)∵CE、CF分别是∠ACB、∠ACD的平分线.∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF∵MN∥BC∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD∴∠ACE=∠OEC，∠ACF=∠OFC∴OE=OC，OF=OC∴OE=OF(2)当点O运动到AC的中点时，即OA=OC又由(1)证得OE=OF∴四边形AECF是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)由(1)知：∠ECA+∠ACF=21∠ACB+21∠ACD=21(∠ACB+∠ACD)=90°即∠ECF=90°∴四边形AECF是矩形.因此：当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.2［例2］如下图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，OF⊥AD于F，OF=3cm，AE⊥BD于E，且BE∶ED=1∶3，求AC的长.分析：本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：由矩形的对角线互相平分且相等；可导出BE=OE，进而得出AB=AO，即得出BE=OF=3cm，求出BD的长，即AC的长.解：∵四边形ABCD是矩形.∴AC=BD,OB=OD=OA=OC又∵BE∶ED=1∶3∴BE∶BO=1∶2∴BE=EO又∵AE⊥BO∴△ABE≌△ADE∴AB=OA即AB=AO=OB∴∠BAE=∠EAO=30°，∠FAO=30°∴△ABE≌△AOF∴BE=OF=3cm,∴BD=12cm∴AC=BD=12cm二、参考练习1.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6cm,BC=8cm，将纸片沿EF折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长.解：连结BD、BE、DF3由折叠的意义可知：EF⊥BD，EF平分BD.∴BE=ED,BF=FD∵四边形ABCD为矩形∴AB=CD，AD=BC，∠C=90°，AD∥BC∴∠EDO=∠FBO∵点B和D重合∴BO=DO，∠BOF=∠DOE∴△BOF≌△DOE∴ED=BF，∴ED=BF=FD=BE∴四边形BFDE是菱形S菱形=21×BD×EF=BF×CD∵BF=DF，∴可设BF=DF=x则FC=8－x在Rt△FCD中，根据勾股定理得：x2=(8－x)2+62x=425∴6425682122EFEF=7.5因此，折痕EF的长为7.5cm.2.当平行四边形ABCD满足条件_________时，它成为矩形(填上你认为正确的一个条件即可).答案：∠BAC=90°或AC=BD或OA=OB或∠ABC+∠ADC=180°或∠BAD+∠BCD=180°等条件中的任一个即可.4典型例题例1如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且，求：（1）的度数；（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积．分析（1）由E为AB的中点，，可知DE是AB的垂直平分线，从而，且，则是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．（2）而，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知解（1）连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴是AB的中点，且，∴∴是等边三角形，∴也是等边三角形．∴（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，∴∴，∴（3）菱形ABCD的面积说明：本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．例2已知：如图，在菱形ABCD中，于于F．5求证：分析要证明，可以先证明，而根据菱形的有关性质不难证明，从而可以证得本题的结论．证明∵四边形ABCD是菱形，∴，且，∴，∴，，∴，∴例3已知：如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，，，求的度数.解答：连结AC.∵四边形ABCD为菱形，∴，.∴与为等边三角形.∴∵，∴∴6∴∵，∴为等边三角形.∴∵，∴∴说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC，证.例4如图，已知四边形和四边形都是矩形，且．求证：垂直平分．分析由已知条件可证明四边形是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明垂直平分．证明：∵四边形、都是矩形∴，，，∴四边形是平行四边形∵，∴在△和△中7∴△≌△∴，∵四边形是平行四边形∴四边形是菱形∴平分∴平分∵∴垂直平分．例5如图，中，，、在直线上，且．求证：．分析要证，关键是要证明四边形是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．证明∵四边形是平行四边形∴，，，∴∵，∴在△和△中∴△≌△∴8∵∴同理：∴∵∴四边形是平行四边形∵∴四边形是菱形∴．9典型例题例1一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？分析根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数．解设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得，解得，∴∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°．例2已知：如图，的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，的周长比的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长．分析由平行四边形对边相等，可知平行四边形周长的一半＝30cm，又由的周长比的周长多8cm，可知cm，由此两式，可求得各边的长．解∵四边形为平行四边形，∴，∴，∴∴答：这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm．说明：学习本题可以得出两个结论：（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半．（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．例3已知：如图，在中，交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由．10分析观察图形，，从而可说明证明在中，交于O，∴，∴，∴，∴例4已知：如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且，垂足为F。求证：分析观察图形，与都是直角三角形，且锐角，斜边，因此这两个直角三角形全等。在这个图形中，若连结AE，则与全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。证明∵四边形ABCD是矩形，∴，∴，∴，又，∴。∴例5O是ABCD对角线的交点，的周长为59，，，则________，若与的周长之差为15，则______，ABCD的周长=______.解答：ABCD中，，.∴的周长∴.在ABCD中，.∴11的周长－的周长∴∴ABCD的周长说明：本题考查平行四边形的性质，解题关键是将与的周长的差转化为两条线段的差.例6已知：如图，ABCD的周长是，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且，.求这个平行四边形的面积.解答：设.∵四边形ABCD为平行四边形，∴.又∵四边形ABCD的周长为36，∴①∵，∴∴②解由①，②组成的方程组，得.∴.说明：本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题.