椭圆方程的几种常见求法

yxＯＭ1CC2椭圆方程的几种常见求法河南陈长松对于求椭圆方程的问题，通常有以下常见方法：一、定义法例1已知两圆C1：169)4(22yx，C2：9)4(22yx，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，求动圆圆心的轨迹方程．分析：动圆满足的条件为：①与圆C1相内切；②与圆C2相外切．依据两圆相切的充要条件建立关系式．解：设动圆圆心Ｍ（x，y），半径为r，如图所示，由题意动圆Ｍ内切于圆C1，∴rMC131，圆Ｍ外切于圆C2，∴rMC32，∴1621MCMC，∴动圆圆心Ｍ的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆，且82,162ca，481664222cab，故所求轨迹方程为：1486422yx．评注：利用圆锥曲线的定义解题，是解决轨迹问题的基本方法之一．此题先根据平面几何知识，列出外切的条件，内切的条件，可发现利用动圆的半径过度，恰好符合椭圆的定义．从而转化问题形式，抓住本质，充分利用椭圆的定义是解题的关键．二、待定系数法例２已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点)2,3(),1,6(21PP，求该椭圆的方程．分析：已知两点，椭圆标准方程的形式不确定，我们可以设椭圆方程的一般形式：22nymx＝１（)0,0nm，进行求解，避免讨论。解：设所求的椭圆方程为22nymx＝１（)0,0nm．∵椭圆经过两点)2,3(),1,6(21PP，∴.123,16nmnm解得.31,91nm，故所求的椭圆标准方程为13922yx．评注：求椭圆标准方程，可以根据焦点位置设出椭圆标准方程，用待定系数法求出ba,的值：若焦点位置不确定，可利用椭圆一般形式简化解题过程．三、直接法例３设动直线l垂直于x轴，且交椭圆12422yx于Ａ、Ｂ两点，Ｐ是l上线段AB外一点，且满足1PBPA，求点Ｐ的轨迹方程．分析：如何利用点Ｐ的坐标与椭圆上Ａ，Ｂ两点坐标的关系，是求点Ｐ的轨迹的关键，因直线l垂直于x轴，所以Ｐ、Ａ、Ｂ三点的横坐标相同，由Ａ、Ｂ在椭圆上，所以Ａ、Ｂ两点的纵坐标互为相反数，因此，紧紧抓住等式1PBPA即可求解．解：设Ｐ（x，y），Ａ（Ax，Ay），Ｂ（Bx，By），由题意：x＝Ax＝Bx，Ay＋By＝０∴AyyPA,ByyPB，∵Ｐ在椭圆外，∴y－Ay与y－By同号，∴PBPA=（y－Ay）（y－By）＝1)(2BABAyyyyyy∵)41(2)41(2222xxyyyAABA1)41(222xy，即)22(13622xyx为所求．评注：求轨迹方程，首先要找出动点与已知点之间的关系，建立一个等式，用坐标代换．四、相关点法例４ABC的底边BC＝16，AC和AB两边上的中线长之和为30，求此三角形重心Ｇ和定点Ａ的轨迹方程．分析：由题意可知Ｇ到Ｂ、Ｃ两点的距离之和为定值，故可用定义法求解，Ａ点和Ｇ点的关系式好建立，故可用相关点法去求．解（１）以BC边所在直线为x轴，BC边的中点为坐标原点建立直角坐标系，设Ｇ（x，y），由3032GBGC，知Ｇ点的轨迹是以Ｂ、Ｃ为焦点，长轴长为20的椭圆且除去x轴上的两顶点，方程为)0(13610022yyx．（２）设Ａ（x，y），Ｇ（),00yx，则由（１）知Ｇ的轨迹方程是)0(13610002020yyx∵Ｇ为ABC的重心∴3300yyxx代入得：)0(132490022yyx其轨迹是中心为原点，焦点在x轴上的椭圆，除去长轴上的两个端点．评注：本题的两问是分别利用定义法和相关点法求解的，要注意各自的特点，另要注意轨迹与轨迹方程的不同．