1.9-辅助线的作法之角平分线模型构造

辅助线的作法——角平分线模型知识要点角平分线AOB21性质：①角平分线上的点，到角两边的距离相等.②角内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上（逆运用）PMN典型例题如图，若OP是∠AOB的角平分线，PE⊥OA，可过P点作PF⊥OB.则有结论：（1）PE=PF.（2）证得△OPE≌△OPF.图中有角平分线，可向两边作垂线PFBOAE（3）OE=OF.CBAD典型例题例1.如图在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线.求证：BC=AB+AD.又∵A=90°,AB=AC∴△ABC为等腰直角三角形证明：∵∠A=90°，BD是∠ABC的平分线∴DE=AD，BE=AB45°∴∠C=45°∵DE⊥BC∴∠CDE=∠C=45°过D作DE⊥BC于E145°∴DE=CE∴BC=BE+EC=AB+ADE典型例题例2.如图，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD,求证：E点在∠FAC的平分线上.证明：∵BE平分∠ABC∴EM=EN∵CE平分∠ACD∴EM=EH，∴EN=EH过E作EM⊥BD于M，过E作EN⊥BF于N,过E作EH⊥AC于H,连接AE.∴E点在∠FAC的平分线上CBADEFMHNBOAPE典型例题如图，若OP是∠AOB的角平分线，可在OB上取OF=OE.则有结论：（1）△OPE≌△OPF（2）PF=PE，OF=OE.截长补短在角边，对称以后关系现F（3）∠PFO=∠PEO，∠OPF=∠OPECBAD典型例题例3.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC.求证：BC=AB+DC.又∵A=108°,AB=AC证明：∴∠BED=∠A=108°∴∠DEC=72°在BC上截取点E，使BE=BA，连接DE36°∴∠C=∠ABC=36°∴BC=BE+EC=AB+DC72°108°108°72°∵BD是∠ABC的平分线∴∠1=∠2，又∵BD为公共边∴△ABD≌△EBD（SAS）∴∠EDC=∠DEC=72°∴EC=DCE典型例题例4.如图，已知AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD和∠ADC，求证：AD=AB+CD.证明：∵∠1=∠2，AE为公共边∴△ABE≌△AFE（SAS）∴∠B=∠5∵AB∥CD∴∠B+∠C=180°∵∠5+∠6=180°∴∠C=∠6在AD上截取点D，使AF=AB，连接EF∴AD=AF+FD=AB+CDBCADEF345∵∠3=∠4，DE为公共边∴△CDE≌△FDE（SAS）∴CD=FD典型例题BOA如图，若OP是∠AOB的角平分线，过P点作OB的平行线交OA于E点.则有结论：△EOP是等腰三角形角平分线平行线，等腰三角形来添PEFACBDE典型例题例5.如图，DE=EC，DF//BA，DF=AC，求证：AE平分∠BAC.M∵DF=AC∴AC=CM∴∠2=∠M∴∠2=∠1证明：∵DF//AB∴∠1=∠3，∴∠2=∠3延长FE到M，使EM=FE，连接CM则△CEM≌△DEF(SAS)∴∠M=∠1，CM=DF∴AE平分∠BAC典型例题BOA如图，若OP是∠AOB的角平分线，EP⊥OP，则可延长EP交OB于F点.则有结论：（1）证得△OEF是等腰三角形角平分线加垂线，三线合一等腰现PEF（2）P是EF中点典型例题例6.在RtABC中，∠BAC=90°，AB=AC，CE⊥DE的延长线，∠1=∠2，求证：BD=2CE.证明：∵CE⊥DE∴∠1+∠F=∠3+∠F=90°∴∠1=∠3又∵AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°∴△BAD≌△CAF（ASA）∴BD=CF延长BA，CE交于点FBCADEF又∵∠1=∠2，BE⊥CE∴△BCF为等腰三角形∴CE=𝟏𝟐CF=𝟏𝟐BD∴BD=2CEF模型总结BOAPFEBOAPFEBOAPEBOAPEF关于角平分线模型，可从以下四个方面来构造辅助线（1）图中有角平分线，可向两边作垂线（2）截长补短在角边，对称以后关系现（3）角平分线平行线，等腰三角形来添（4）角平分线加垂线，三线合一等腰现（1）（2）（3）（4）