二次函数的图象特点及其应用

二次函数的图象特点及其应用二次函数的图象特点及其应用课题名称:二次函数的图象特点及其应用课题的研究及意义:数学是一门很有用的学科。古往今来，人类社会都是在不断了解和探究数学的过程中得到发展进步的。数学对推动人类文明起了举足轻重的作用。数学是人们用来解决实际问题的，其实数学问题就产生在生活中。比如说，上街买东西自然要用到加减法，修房造屋总要画图纸。类似这样的问题数不胜数，这些知识就从生活中产生，最后被人们归纳成数学知识，解决了更多的实际问题。现在，就让我们一起领略数学中二次函数的无穷魅力课题研究内容:1.发展史:函数就是在某变化过程中有两个变量X和Y，变量Y随着变量X一起变化，而且依赖于X。如果变量X取某个特定的值，Y依确定的关系取相应的值，那么称Y是X的函数。这一要领是由法国数学家黎曼在19世纪提出来的，但是最早产生于德国的数学家菜布尼茨。他和牛顿是微积分的发明者。17世纪末，在他的文章中，首先使用了“function一词。翻译成汉语的意思就是“函数。不过，它和我们今天使用的函数一词的内涵并不一样，它表示”幂”、“坐标”、“切线长”等概念。直到18世纪，法国数学家达朗贝尔在进行研究中，给函数重新下了一个定义，他认为，所谓变量的函数，就是指由这些变量和常量所组成的解析表达式，即用解析式表达函数关系。后来瑞士的数学家欧拉又把函数的定义作了进一步的规范，他认为函数是能描画出的一条曲线。我们常见到的一次函数的图像、二次函数的图像、正比例函数的图像、反比例的图像等都是用图像法表示函数关系的。如果用达朗贝尔和欧拉的方法来表达函数关系，各自有它们的优点，但是如果作为函数的定义，还有欠缺。因为这两种方法都还停留在表面现象上，而没有提示出函数的本质来。19世纪中期，法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果，第一次准确地提出了函数的定义：如果某一个量依赖于另一个量，使后一个量变化时，前一个量也随着变化，那么就把前一个量叫做后一个量的函数。黎曼定义的最大特点在于它突出了就是之间的依赖、变化的关系，反映了函数概念的本质属性。2.定义:表达式如y=ax^2+bx+c(a≠0,且a,b,c是常数)的函数,我们把y叫做x的一元二次函数.二次函数有三种表达式:(1)一般式：y=ax^2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）(2)顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P（h，k）对于二次函数y=ax^2+bx+c其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)/CA(3)交点式：y=a(x-x?)(x-x?)[仅限于与x轴有交点A（x?，0）和B（x?，0）的抛物线其中x1，2=-b±√b^2－4ac3.图象特征:一条抛物线,对称轴是x=-b/2a,顶点为(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)当a0开口向上,在对称轴的左侧y随x的增大而减小,在对称轴的右侧y随x的增大而增大当a0开口向下,在对称轴的左侧y随x的增大而增大,在对称轴的右侧y随x的增大而减小.4借助二次函数的图象和性质解决有关生活实际问题的基本方法：数学模型转化实际问题（二次函数的图象和性质）实际问题（二次函数的图象和性质）回归数学模型转化关键点：正确建立直角坐标系1）能够将实际距离（准确的）转化为点的坐标；2）选择运算简便的方法。5.应用:二次函数如空气般,无时无刻不萦绕于我们身边.只是它太平凡,太普通.而使我们似乎觉察不到它在我们身旁.我们无时无刻不在利用二次函数解决难题.(1)商业:然而有谁理解二次函数的奥妙.二次函数在生活中有许多应用.比如在商场上,二次函数就为必不可少的工具.在实际生活和经济活动中，很多问题都与二次函数密切相关。在生活中，很多盈利问题都与二次函数有关，尤其是图象。利用二次函数我们可以解决许多盈利问题。如商业利润与广告投资的关系等等.例如:某企业信息部进行市场调查发现:信息一:如果单独投资A种产品,则所获利润y（A）与投资金额x之间存在正比例关系：y(A)=kx,并且当投资5万元时，可获利润2万元并且当投资2万元时，可获利润2。4万元；当投资4万元时；可获利润3。2万元。而该企业要对A。B两种产品进行10万元投资，怎样才可获得最大利润。假如你无法熟练掌握二次函数，那么你将会失去了商机，用最少投入，获得最大产出，这就是效率。假如，你是该企业成员，该如何设计投资方案呢？设：能获得最大利润为y，则=y(A)+y(B)投资产品x万元，则产品（10-x)万元。则y=2/5(10-x)-0.4x2+1.6x=-0.4(x-3/2)2+4.9由二次函数的知识，我们能很明白，当B投资3/2万元，A投资8。5万元时，就能获得最大利润。假如你体会并能掌握二次函数的魄力，解决诸如此类的商业问题，就是小菜一碟。然而，这不过是二次函数被利用于商业竞争的一小部分，二次函数的魄力又何仅限于此呢？(2)建筑:二次函数在建筑中的运用十分广泛。如某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线型(曲线AOB)的薄壳屋顶。施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。再如人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB，喷水口A距地面2m，喷水水流的最高点P到水枪AB所在直线的距离为1m，且水流的着地点C距离水枪底部B的距离为5/2m,那么，水流的最高点距离地面是多少米？水流沿抛物线落下，容易联想到二次函数的图象，从而用有关二次函数的知识解决问题。二次函数与拱桥问题也有密切联系。也可由二次函数求出桥的高低与游船通行的关系。。(4)战争:战争中也不乏运用二次函数的例子。如某防空部队进行射击训练时，若导弹运行轨道为一抛物线，可求该抛物线的解析式，再运用函数知识预知导弹能否命中目标。（5）体育：二次函数也与体育息息相关。先就篮球来说说：抛物线是指投篮出手后，球在空中飞行的弧形轨迹，以距离投篮为例，可归纳为低，中高三种弧线。1。球的飞行路线最短，力量容易控制，但由于飞行路线低平，篮圈暴露在求下面的面积很小，不易投中。2。中弧线：球飞行弧线的最高点大致在篮板的上沿，在一条水平线上球篮的大部分暴露在球的下面，这是一种比较适宜的抛物线。3。高弧线：球接近于垂直下落，篮圈几乎全暴露在球的下面，球容易入篮。但球的飞行路线太平，不宜控制，实际会降低命中率。上述投篮的抛物线，只是原地投篮的一种规律，抛物线的高低还与出手力量有关。在实际应用中，应根据不同的距离，队员的高低，跳投时跳起的高度，不同的投篮方式及防守，干扰等采用不同的抛物线投篮。生活中也不乏用二次函数的知识来计算体育成绩的例子如一名运动员推铅球，铅球在点A处出手时球距离地面约为1m，铅球落地在点B处，铅球运行中在运动员前4m处到达最高点C，最高点高为3m。已知铅球经过的路线是抛物线，你能算出该运动员的成绩吗？再如一位运动员在距篮下4m处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m时，球达到最大高度3.5m,已知篮筐中心到地面的距离3.05m,问球出手时离地面多高时才能中？以上二问题都可先建立坐标系，再运用二次函数相关知识得出结论。类似的还有跳远，足球射门，羽毛球等体育运动。总结:数学的魄力，在于其古老与神奇，总是与美联系在一起，只要怀有一颗欣赏之心，就会在生活的每一个角落捕捉到其“魅影”——抛物线。这种魄力是独特的，内在的，正如英国著名哲学家，数学家罗素所说：“数学，如果正确看它，不但拥有真理，而且也具有至高无上的美，正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美。这种美不是投合我们天性的微弱的方面，这种美没有绘画或音乐那种华丽修饰，它可以纯净到高崇的地步，能够达到严格的只有伟大的的艺术能显示的那种完美的境界。”二次函数能于历史长河之中经风暴而不朽，难以比拟的艺术美为其塑造朦胧而迷幻的形象，但更为主要的是二次函数在商业，建设，体育等日常生活中不可代替的地位。在生活中，只要我们善于观察，善于思考，将所学知识与生活结合起来将会感到数学的乐趣。