圆和扇形(经典题汇总)

1/22圆与扇形公式与割补内容提要本讲主要讲解与圆和扇形有关的概念，及周长、面积公式等．下面我们来说说这方面的基础知识．圆是我们在生活中经常见到的图形，它也是最完美的平面图形：有无数条通过圆心的对称轴，绕圆心旋转任何角度还保持原状．而且，所有的平面图形在周长相同的情况下，圆的面积是最大的．我们知道，圆的周长和直径的比值是一个固定不变的数，这正是圆周率，用π表示．另外，一般把直径记作d，半径记作r，如图1所示．所以，圆的周长2Cdr，圆的面积2Sr．如图3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫扇形．它是圆的一部分，所以关于扇形的各种计算可以应用圆里面的结论．扇形的圆心角为n°时，它的弧长和面积应该分别是圆周长和圆面积的360n．所以，扇形弧长=2360nr，面积=2360nr．我们先来熟悉一下这些公式．练习：n°r图3dr图12/221.半径是2的圆的面积和周长分别是多少？2.直径是5的圆的面积和周长分别是多少？3.周长是10π的圆的面积是多少？4.面积是9π的圆的周长是多少？例题一、基本公式运用例题1.已知扇形的圆心角为120°，半径为2，则这个扇形的面积和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）例题2.已知扇形面积为18.84平方厘米，圆心角为60°，则这个扇形的半径和周长各是多少？（圆周率按3.14计算）随堂练习：1.已知一个扇形的弧长为0.785厘米，圆心角为45，这个扇形的半径和周长各是多少？2.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是多少？60°3/22例题3.如图，直角三角形ABC的面积是45，分别以B，C为圆心，3为半径画圆．已知图中阴影部分的面积是35.58．请问：角A是多少度？（π取3.14）二、圆中方，方中圆例题4.如图，左下图和右下图中的正方形边长都是2，那么大圆、小圆的面积分别为________、________．随堂练习：1.已知外面大圆的半径是4，里面小圆的面积是多少？（答案用π表示）二、割补法例题5.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：（1）（2）ABC2234/22随堂练习：求下图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：（1）（2）例题6.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：（1）（2）例题7.已知图中正方形的边长为2，分别以其四个顶点为圆心的直角扇形恰好交于正方形中心，那么图中阴影部分的面积为________．（答案用表示）例题8.根据图中所给数值，求下面图形的外周长和总面积分别是多少？（π取3.14）47225/22随堂练习：1.根据下图中给出的数值，求这个图形的外周长和面积．（π取3.14）例题9.求图中阴影部分的面积．（圆周率取3.14）思考题图中的4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？45o45o20厘米646/22作业：1.半径为4厘米的圆的周长是________厘米，面积是________平方厘米；2.半径为4厘米，圆心角为90的扇形周长是________厘米，面积是________平方厘米．（取3.14）3.家里来客人了，淘气到超市买了4瓶啤酒，售货员阿姨将4瓶啤酒捆扎在一起（如下图所示），捆4圈至少要用绳子________厘米．（取3.14，接头处忽略不计）4.求下列各图中阴影部分的面积（图中长度单位为厘米，圆周率按3.14计算）：（1）（2）5.下列图形中的正方形的边长为2，则下图中各个阴影部分面积的大小分别为______、______．（取3.14）6.用一块面积为36平方厘米的圆形铝板下料，从中裁出了7个同样大小的圆铝板．问：所余下的边角料的总面积是多少平方厘米？1010111O7厘米O7/228/22圆与扇形旋转与重叠知识总结：学习如何利用割补法和包含排除的思想计算图形中特定部分的面积；学会分析几何图形的运动过程，并由此得出点的轨迹和图形扫过的区域．例题：一、重叠问题例题1.下图中甲区域比乙区域的面积大57平方厘米，且半圆的半径是10厘米，那么其中直角三角形的另一条直角边的长度是多少？（圆周率取3.14）例题2.下图中有一个等腰直角三角形ABC，一个以AB为直径的半圆，和一个以BC为半径的扇形．已知10ABBC厘米．图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（π取3.14）随堂练习1.如图17-13，以AB为直径做半圆，三角形ABC是直角三角形，阴影部分①比阴影部分②的面积小28平方厘米，AB长40厘米．求BC的长度．（取3.14．）ACBDE甲乙ABC②①9/22例题3.如图，直角三角形的两条直角边分别为3和5，分别以三条边做了3个半圆（直角顶点在以斜边为直径的半圆上），那么阴影部分的面积为______．例题4.图1是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．如图2所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B点移动到C点．请问：图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（π取3.14）二、动态扫面积问题例题5.如图，正方形ABCD边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出四个直角扇形，那么阴影部分的面积为________平方厘米．（取3.14）图1ABAB60图2C543ABCDEGHF10/22例题6.如图所示，以等边三角形的B、C、A三点分别为圆心，分别以AB、CD、AE为半径画弧，这样形成的曲线ADEF被称为正三角形ABC的渐开线，如果正三角形ABC的边长为3厘米，那么此渐开线的长度为多少厘米，图中I、II、III三部分的面积之和是多少平方厘米？三、运动圆扫面积例题7.图中正方形的边长是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）随堂练习1.图中长方形的长是10厘米，宽是4厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）ABCDEIIIIII11/22例题8.图中等边三角形的边长是3厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕等边三角形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有多大？（π取3.14）思考题如图所示，一只小狗被拴在一个边长为4米的正五边形的建筑物的一个顶点处，四周都是空地．绳长刚好够小狗走到建筑物外墙边的任一位置．小狗的活动范围是多少平方米？（建筑外墙不可逾越，小狗身长忽略不计，π取3）作业：1.图17-14由一个长方形与两个90角的扇形构成，其中阴影部分的面积是_______平方厘米．（取3.14．）2.图中有一个矩形和两个半径分别为5和2的直角扇形，那么两个阴影部分的面积相差为_______．（π取3.14）52图17-14狗12/223.如图，直角三角形的两条直角边长分别是10cm和6cm，分别以直角边为直径作出两个半圆，这两个半圆的交点恰好落在斜边上，那么阴影部分的面积是_______cm2．（取3.14）（1730）4.图1是一个直径是3厘米的半圆，AB是直径．如图2所示，让A点不动，把整个半圆逆时针转60°，此时B点移动到C点．请问：图中阴影部分的面积是_______平方厘米（π取3.14）5.图中正方形的边长是6厘米，而圆环的半径是1厘米．当圆环绕正方形无滑动地滚动一周又回到原来位置时，其扫过的面积有______．（π取3.14）6.图中等边三角形的边长是5厘米，圆形的半径是1厘米．当圆形绕等边三角形滚动一周又回到原来位置时，扫过的面积有________．（π取3.14）图1ABABC40图2C10cm6cm13/2214/22几何计数知识总结：例题：一、枚举或分类解题利用枚举法以及分类的方法进行几何计数，特别是对于正方形和三角形的计数问题．通常按照面积的大小或者包含基本图形的多少来对图形进行分类．例题1.小杰瑞把巧克力棒摆成了如图所示的形状，其中每一条小短边代表一个巧克力棒．请问：（1）一共有多少个巧克力棒？（2）这些巧克力棒共构成了多少个三角形？（3）嘴馋的小杰瑞吃掉一个巧克力棒后（图中两端带有箭头的小边），剩下的图形中还有多少个三角形？随堂练习1.图中共有_______个三角形；例题2.如图，它是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形，其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形．图中包含“”的各种大小的正三角形一共有_______．15/22例题3.如图，AB，CD，EF，MN互相平行，则图中三角形个数是_______．例题4.图中有多少个正方形？二、与排列组合有关的计数利用排列组合的方法进行几何计数，特别是对于矩形和四边形的计数问题例题5.如图，线段AB，BC，CD，DE的长度都是3厘米．请问：（1）图中一共有多少条线段？（2）这些线段的长度之和是多少厘米？随堂练习1.求图中一共有多少条线段．3厘米3厘米3厘米3厘米ABCDEOBMAEFCDN16/22例题6.求图中一共有多少条线段．求图中一共有多少个矩形．随堂练习1.如图，四条边长度都相等的四边形称为菱形．用16个同样大小的菱形组成如图的一个大菱形．数一数，图中共有多少个菱形？例题7.右图是一个长为9，宽为4的长方形网格，每一个小格都是一个正方形，那么：1）从中可以数出_______个矩形．2）从中可以数出_______个正方形．3）从中可以数出包含_______个，正方形有________个．随堂练习（1）图中包含★的长方形有_______个．包含的正方形又有_______个．（2）图中同时包含和★的长方形有_______个．17/22三、与容斥原理有关的几何计数例题8.图中一共包含多少个矩形？多少个正方形？随堂练习1.图中有_______个矩形思考题用16个边长为1的等边三角形拼成一个边长为4的大等边三角形，那么组成的图形中可以找出多少个平行四边形？作业1.数一数图中一共有多少条线段？★18/222.图中共有_______个三角形．【分析与解】按边长分类数，图中共有93113个三角形；平行四边形共有333215个．3.在图中，包含※的长方形共有________个．4.图中有_______个矩形，_______个正方形．【分析与解】图中共有718个正方形，19个长方形．这道题适合按大小分类数．5.图中有三角形_______个，梯形_______个．【分析与解】三角形有312318个，梯形有1212318个．6.图中有_______个正方形，_______个长方形．【分析与解】答案是38，144．长方形有123123452123123144个，正方形有352413294138个（这里给出正方形的求法比较巧妙，如果不合适，请按正方形的边长分类枚举）．ABC※19/22行程知识总结：本讲重点学习在小升初中和各个杯赛中的较复杂的行程问题，行程问题主要有三组共9个基本公式：（1）路程速度时间；速度路程时间；时间路程速度；（2）相遇路程速度和时间；速度和相遇路程时间；时间相遇路程速度和；（3）追及路程速度差时间；速度差追及路程时间；时间追及路程速度差．要会灵活运用公式，通过已知的条件求出未知的路程、速度或时间．此时，我们还经常需要用到以下这三个基本倍数关系：当运动的速度相同时，时间的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的时间相同时，速度的倍数关系等于路程的倍数关系；当运动的路程相同时，时间的倍数关系等于速度的倍数关系，但注意时间长的速度慢，时间短的速度快．例题1.（）甲、乙两地间的路程是600千米，上午8点客车以平均每小时60千米的速度从甲地开往乙地，货车以平均每小时50千米的速度从乙地开往甲地．要使两车在全程的中点相遇，货车必须在上午几点出发