八年级数学上册第三章3.1勾股定理的证明知识点与同步训练(含解析)(新版)苏科版

1。勾股定理的证明一．勾股定理1．如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222abc．2．勾股定理的变形：22cab，22acb，22bca．二．勾股定理的证明1．如下图，22142ABCDScabab正方形，所以222abc．HGFEDCBAcba2．如下图，2()()112222ABCDababSabc梯形，所以222abc．cbacbaEDCBA一．勾股定理逆定理1．如果三角形的三边长a，b，c满足222abc，那么这个三角形是直角三角形．2．勾股定理与其逆定理的区别是：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为前提，得到这个三角形的三边长的数量关系；勾股定理的逆定理以“三角形的三边长满足222abc”为前提，得到这个三角形是直角三角形．两者的题设和结论正好相反，应用时要注意其区别．知识精讲三点剖析2二．勾股数1．满足222abc的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．2．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、40、41．题模一：证明例1.1.1请根据我国古代数学家赵爽的弦图（如图），说明勾股定理．【答案】见解析【解析】∵△ABC、△BMD、△DHE、△AGE是全等的四个直角三角形，∴AEDEBDAB，1809090EAGBACEAGAEG，∴四边形ABDE是正方形，∵90AGEEHDBMDACB，∴90HGC，∵GHHMCMCGba，∴四边形GHMC是正方形，∴大正方形的面积是2ccc，大正方形的面积也可以是：2222214222abbaabaabbab（），∴222abc，即在直角三角形中，两直角边ab（、）的平方和等于斜边c（）的平方．例1.1.2如图所示，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D，E在边BC上，顶点F在边AB上；△ABC的底边BC及BC上的高的长分别为a，h，且是关于x的一元二次方程mx2+nx+k=0的两个实数根，设过D，E，F三点的⊙O的面积为S⊙O，矩形PDEF的面积为S矩形PDEF．（1）求证：以a+h为边长的正方形面积与以a、h为边长的矩形面积之比不小于4；题模精讲3（2）求OPDEFSS矩形的最小值；（3）当OPDEFSS矩形的值最小时，过点A作BC的平行线交直线BP与Q，这时线段AQ的长与m，n，k的取值是否有关？请说明理由．【答案】见解析【解析】解法一：（1）据题意，∵a+h=-nm，ah=km∴所求正方形与矩形的面积之比：2()ahah=2()nmkm=2nmk（1分）∵n2-4mk≥0，∴n2≥4mk，由ah=km知m，k同号，∴mk＞0（2分）（说明：此处未得出mk＞0只扣（1分），不再影响下面评分）∴2nmk≥4mkmk=4（3分）即正方形与矩形的面积之比不小于4．（2）∵∠FED=90°，∴DF为⊙O的直径．∴⊙O的面积为：S⊙O=π(2DF)2=π24DF=4(EF2+DE2)．（4分）矩形PDEF的面积：S矩形PDEF=EF•DE．∴面积之比：OPDEFSS矩形=4(EFDE+DEEF)，设EFDE=f．OPDEFSS矩形=4(f+1f)4=4[(f)2+(1f)2-2f-1f+2f1f]=4(f-1f)2+2．（6分）∵(f-1f)2≥0，∴4(f-1f)2+2≥2，∴f=1f，即f=1时（EF=DE），OPDEFSS矩形的最小值为2（7分）（3）当OPDEFSS矩形的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形．过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP=e，∵BN∥FE，NF∥BE，∴BN=EF，∴BN=FP=e．由BC∥MQ，得：BM=AG=h．∵AQ∥BC，PF∥BC，∴AQ∥FP，∴△FBP∽△ABQ．（8分）（说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评分）∴FPAQ=BNBM，（9分）∴eAQ=eh，∴AQ=h（10分）∴AQ=242nnmkm（11分）∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关．（解题过程叙述基本清楚即可）解法二：（1）∵a，h为线段长，即a，h都大于0，5∴ah＞0（1分）（说明：此处未得出ah＞0只扣（1分），再不影响下面评分）∵（a-h）2≥0，当a=h时等号成立．故，（a-h）2=（a+h）2-4ah≥0．（2分）∴（a+h）2≥4ah，∴2()ahah≥4．（﹡）（3分）这就证得2()ahah≥4．（叙述基本明晰即可）（2）设矩形PDEF的边PD=x，DE=y，则⊙O的直径为22xy．S⊙O=π(222xy)2（4分），S矩形PDEF=xyOPDEFSS矩形=22()4xyxy=4[22(2)2xxyyxyxy]=4[2()xyxy-2]（6分）2()xyxy≥4由（1）（*）．∴4[2()xyxy-2]≥4(4-2)=2．∴OPDEFSS矩形的最小值是2（7分）（3）当OPDEFSS矩形的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形．6∴EF=PF．作AG⊥BC，G为垂足．∵△AGB∽△FEB，∴ABBF=AGEF．（8分）∵△AQB∽△FPB，ABBF=AQPF，（9分）∴ABBF=AGEF=AQPF．而EF=PF，∴AG=AQ=h，（10分）∴AG=h=242nnmkm，或者AG=h=242nnmkm（11分）∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关．（解题过程叙述基本清楚即可）题模二：勾股定理例1.2.1如图，每个小正方形的边长为1，△ABC的三边a，b，c的大小关系式（）A．a＜c＜bB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．c＜b＜a【答案】C【解析】∵AC=2243=5=25，BC=2241=17，AB=4=16，∴b＞a＞c，即c＜a＜b．故选C．例1.2.2有一个三角形两边长为3和4，要使三角形为直角三角形，则第三边长为（）A．5B．7C．5或7D．不确定【答案】C【解析】本题考查勾股定理的使用．此题要分两种情况进行讨论：①当3和4为直角边时；②当4为斜边时，再分别利用勾股定理进行计算即可．①当3和4为直角边时，第三边长为223457②当4为斜边时，第三边长为22437，故选C．例1.2.3在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（）A．365B．1225C．94D．334【答案】A【解析】根据题意画出相应的图形，如图所示：在Rt△ABC中，AC=9，BC=12，根据勾股定理得：AB=22ACBC=15，过C作CD⊥AB，交AB于点D，又S△ABC=12AC•BC=12AB•CD，∴CD=ACBCAB=91215=365，则点C到AB的距离是365．故选A例1.2.4已知直角三角形的一直角边等于35cm，另外两条边的和为49cm，求斜边长．【答案】斜边长为37cm【解析】设直角三角形的斜边长为xcm，则另一直角边为49xcm，根据勾股定理可列方程：2223549xx，解得37x随练1.1勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：随堂练习8将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a．∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=12b2+12ab．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=12c2+12a（b-a）∴12b2+12ab=12c2+12a（b-a）∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2证明：连结____．∵S五边形ACBED=____．又∵S五边形ACBED=____．∴____．∴a2+b2=c2．【答案】（1）BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a（2）S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab，（3）S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a（b-a）（4）12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a（b-a）【解析】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b-a，9∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=12ab+12b2+12ab，又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=12ab+12c2+12a（b-a），∴12ab+12b2+12ab=12ab+12c2+12a（b-a），∴a2+b2=c2．随练1.2如图，在正方形网格（图中每个小正方形的边长均为1）中，△ABC的三个顶点均在格点上，则△ABC的周长为=_____，面积为_____【答案】62610；36【解析】该题考查的是勾股定理和三角形面积计算．由勾股定理得：2239310AB，226662BC，1.2239310AC，2.所以△ABC的周长为62610ABACBC，1199662393622ABCS△随练1.3若一直角三角形两边长为6和8，则第三边长为（）A．10B．2710C．10或27D．10或7【答案】C【解析】该题考查的是勾股定理．（1）当6和8是直角边时，斜边226810；（2）当8是斜边时，另一直角边228627；故选C．随练1.4若一直角三角形两边长为6和8，则第三边长为（）A．10B．27C．10或27D．10或7【答案】C【解析】该题考查的是勾股定理．（1）当6和8是直角边时，斜边226810；（2）当8是斜边时，另一直角边228627；故选C．随练1.5设a、b是直角三角形的两条直角边，若该三角形的周长为6，斜边长为2.5，则ab的值是____A．1.5B．2C．2.5D．3【答案】D【解析】本题考查了勾股定理和三角形的周长以及完全平方公式的运用．由该三角形的周长为6，斜边长为2.5可知a+b+2.5=6，再根据勾股定理和完全平方公式即可求出ab的值．∵三角形的周长为6，斜边长为2.5，∴a+b+2.5=6，∴a+b=3.5，①∵a、b是直角三角形的两条直角边，∴a2+b2=2.52，②由①②可得ab=3，故选D．随练1.6已知在Rt△ABC中，90C，ABc，BCa，ACb．如果26c，:5:12ab，求a、b的值．11【答案】10a，24b【解析】∵RtABC△中，90C，26c，:5:12ab，可设5ax，则12bx，∴22251226xx，解得2x，∴10a，24b．作业1如图，有一块长方形花圃，有少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了（）m的路，却踩伤了花草．A．5B．4C．3D．2【答案】B【解析】该题考查的是勾股定理．根据直角三角形勾股定理两直角边长的平方和等于斜边长的平方，可得斜边长为2251213，因此少走的路为512134．所以本题的答案是B．作业2如图，点E在正方形ABCD内，满足90AEB，6AE，8BE，则阴影部分的面积是（）EACBDA．48B．60C．76D．80【答案】C【解析】211100687622ABEABCDSSSABAEBE正方形阴影部分．故选C．作业3已知一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，那么这个直角三角形斜边上的高为cm．课后作业12【答案】4.8【解析】∵直角三角形的两条直角边分别为6cm，8cm，∴斜边为=10，设斜边上的高为h，则直角三角形的面积为×6×8=×1