二次函数知识点总结

人教版九年级数学二次函数在中考中知识点总结一、相关概念及定义1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc（abc，，是常数，0a）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a，而bc，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．21教育名师原创作品2二次函数2yaxbxc的结构特征：（1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．（2）abc，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数各种形式之间的变换1二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，.2二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.三、二次函数解析式的表示方法1一般式：2yaxbxc（a，b，c为常数，0a）；2顶点式：2()yaxhk（a，h，k为常数，0a）；3两根式：12()()yaxxxx（0a，1x，2x是抛物线与x轴两交点的横坐标）.4注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.四、二次函数2yaxbxc图象的画法1五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc化为顶点式2()yaxhk，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，、以及0c，关于对称轴对称的点2hc，、与x轴的交点10x，，20x，（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.【版权所有：21教育】2画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.五、二次函数2axy的性质六、二次函数2yaxc的性质七、二次函数2yaxh的性质：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上00，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值0．0a向下00，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上0c，y轴0x时，y随x的增大而增大；0x时，y随x的增大而减小；0x时，y有最小值c．0a向下0c，y轴0x时，y随x的增大而减小；0x时，y随x的增大而增大；0x时，y有最大值c．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质八、二次函数2yaxhk的性质九、抛物线2yaxbxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.1a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.2对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作2bxa.特别地，y轴记作直线0x.3顶点坐标：），（abacab44224顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，0a向上0h，X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值0．0a向下0h，X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值0．a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a向上hk，X=hxh时，y随x的增大而增大；xh时，y随x的增大而减小；xh时，y有最小值k．0a向下hk，X=hxh时，y随x的增大而减小；xh时，y随x的增大而增大；xh时，y有最大值k．只是顶点的位置不同.十、抛物线cbxaxy2中，cba,,与函数图像的关系1二次项系数a二次函数2yaxbxc中，a作为二次项系数，显然0a．⑴当0a时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当0a时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小．2一次项系数b在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在0a的前提下，当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴左侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的右侧．⑵在0a的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b时，02ba，即抛物线的对称轴在y轴右侧；当0b时，02ba，即抛物线的对称轴就是y轴；当0b时，02ba，即抛物线对称轴在y轴的左侧．总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．总结：3常数项c⑴当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当0c时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当0c时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要abc，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法1公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2.2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx.3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.十二、用待定系数法求二次函数的解析式1一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.2顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.3交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay.十三、直线与抛物线的交点1y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0,c).2与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2).3抛物线与x轴的交点:二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：21教育网①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.4平行于x轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.5一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交点，由方程组2ykxnyaxbxc的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.21cnjy.com6抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，，，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1关于x轴对称2yaxbxc关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于x轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；2关于y轴对称2yaxbxc关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于y轴对称后，得到的解析式是2yaxhk；3关于原点对称2yaxbxc关于原点对称后，得到的解析式是2yaxbxc；2yaxhk关于原点对称后，得到的解析式是2yaxhk；4关于顶点对称2yaxbxc关于顶点对称后，得到的解析式是222byaxbxca；2yaxhk关于顶点对称后，得到的解析式是2yaxhk．5关于点mn，对称2yaxhk关于点mn，对称后，得到的解析式是222yaxhmnk总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．21·cn·jy·com十五、二次函数图象的平移1.平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式2yaxhk，确定其顶点坐标hk，；⑵保持抛物线2yax的形状不变，将其顶点平移到hk，处，具体平移方法如下：向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向右(h0)【或左(h0)】平移|k|个单位向上(k0)【或下(k0)】平移|k|个单位向上(k0)【或向下(k0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。1.三点式。（1）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（3，0），B（32，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。（2）已知抛物线y=a(x-1)２+4，经过点A（2，3），求抛物线的解析式。2.顶点式。（1）已知抛物线y=x2-2ax+a2+b顶点为A（2，1），求抛物线的解析式。（1）已知抛物线y=4(x+a)2-2a的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。3.交点式。（1）已知抛物线与x轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。2·1·c·n·j·y（2）已知抛物线线与x轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y=21a(x-2a)(x-b)的解析式。【来源：21·世纪·教育·网】4.定点式。（1）在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线2225212axaxy经过x轴上一定点Q，直线2)2(xay经过点Q,求抛物线的解析式。（2）抛物线y=x2+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。21·世纪*教育网（3）抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。5.平移式。（1）把抛物线y=-2x2向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a(x-h)2+k,求此抛物线解析式。（2）抛物线32xxy向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.6.距离式。（1）抛物线y=ax2+4ax+1(a﹥0)与x轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。（2）已知抛物线y=mx2+3mx-4m(m﹥0)与x轴交于A、B两点，与轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。2-1-c-n-j