全国大学生数学竞赛(非数学类)大纲及历年预赛试卷

—1—一、函数、极限、连续1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1.导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2.基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6.洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.7.函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8.函数最大值和最小值及其简单应用.9.弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1.原函数和不定积分的概念.2.不定积分的基本性质、基本积分公式.3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6.广义积分.7.定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2.变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方程、全微分方程.3.可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n(xfy),,(yxfy),(yyfy.4.线性微分方程解的性质及解的结构定理.5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、—2—余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler)方程.8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4.多元复合函数、隐函数的求导法.5.二阶偏导数、方向导数和梯度.6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7.二元函数的二阶泰勒公式.8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单—3—幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数2009年第一届全国大学生高等数学竞赛预赛试题及答案（非数学类）一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算yxyxxyyxDdd1)1ln()(____________，其中区域D由直线1yx与两坐标轴所围成三角形区域.解令vxuyx,，则vuyvx,，vuvuyxdddd1110detdd，vuuvuuuyxyxxyyxDDdd1lnlndd1)1ln()(1021000d1)ln(1lnd)dln1d1ln(uuuuuuuuuuvvuuvuuuuu102d1uuu（*）令ut1，则21tu，dt2dtu，42221ttu，)1)(1()1(2tttuu，0142d)21(2(*)ttt1042d)21(2ttt1516513221053ttt2．设)(xf是连续函数，且满足2022d)(3)(xxfxxf,则)(xf____________.解令20d)(xxfA，则23)(2Axxf，AAxAxA24)2(28d)23(202,解得34A。因此3103)(2xxf3．曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是__________.—4—解因平面022zyx的法向量为)1,2,2(，而曲面2222yxz在),(00yx处的法向量为)1),,(),,((0000yxzyxzyx，故)1),,(),,((0000yxzyxzyx与)1,2,2(平行，因此，由xzx，yzy2知0000002),(2,),(2yyxzxyxzyx，即1,200yx，又1)1,2(),(00zyxz，于是曲面022zyx在)),(,,(0000yxzyx处的切平面方程是0)1()1(2)2(2zyx，即曲面2222yxz平行平面022zyx的切平面方程是0522zyx。4．设函数)(xyy由方程29ln)(yyfexe确定，其中f具有二阶导数，且1f，则22ddxy________________.解法1方程29ln)(yyfexe的两边对x求导，得29ln)()()(yeeyyfxeyyfyf即29ln])(1[)(yyfeyxeyyfx因029ln)(yfyxee，故yyyfx)(1，即))(1(1yfxy，因此2222)](1[)())(1(1ddyfxyyfyfxyxy322232)](1[)](1[)())(1(1)](1[)(yfxyfyfyfxyfxyf解法2方程29ln)(yyfexe取对数，得29lnlnln)(yxyf（1）方程（1）的两边对x求导，得yxyyf1)(（2）即))(1(1yfxy（3）方程（2）的两边对x求导，得yxyyfyyf221))(()(（4）将（3）代入（4），得yxyfxyfyyf2221))(1()()(将左边的第一项移到右边，得))(1())(1())(1()(222yfyyfxyfyf因此—5—322)](1[)](1[)(yfxyfyfy二、（5分）求极限xenxxxxneee)(lim20，其中n是给定的正整数.解法1因xenxxxxxenxxxxnneeeneee)1(lim)(lim2020故nxneeeexenneeeAnxxxxnxxxx2020limlimennnenneeeenxxxx21212lim20因此enAxenxxxxeeneee2120)(lim解法2因xneeeeneeenxxxxxenxxxxln)ln(lim)ln(lim2020ennneeeeneeeenxxxnxxxx21212lim220故enAxenxxxxeeneee2120)(lim三、（15分）设函数)(xf连续，10d)()(txtfxg，且Axxfx)(lim0，A为常数，求)(xg并讨论)(xg在0x处的连续性.解由Axxfx)(lim0和函数)(xf连续知，0)(limlim)(lim)0(000xxfxxffxxx因10d)()(txtfxg，故0)0(d)0()0(10ftfg，因此，当0x时，xuufxxg0d)(1)(，故0)0(1)(limd)(lim)(lim0000fxfxuufxgxxxx当0x时，—6—xxfuufxxgx)(d)(1)(02，200000d)(limd)(1lim)0()(lim)0(xttfxttfxxgxggxxxxx22)(lim0Axxfx22d)(1lim)(lim])(d)(1[lim)(lim02000200AAAuufxxxfxxfuufxxgxxxxxx这表明)(xg在0x处连续.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(yxyxD，L为D的正向边界，试证：（1）LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin；（2）2sinsin25ddLyyxyeyxe.证因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知（1）yxyeyxexxyeyxeDxyLxydd)()(ddsinsinsinsinyxeeDxydd)(sinsinLxyxyeyxeddsinsinyxyeyxexDxydd)()(sinsinyxeeDxydd)(sinsin而D关于x和y是对称的，即知yxeeDxydd)(sinsinyxeeDxydd)(sinsin因此LxyLxyxyeyxexyeyxeddddsinsinsinsin（2）因)1(2)!4!21(2242ttteett故22cos522cos12sin22sinsinxxxeexx由—7—DxyLDxyyyyxeeyxeexyeyxedd)(dd)(ddsinsinsinsinsinsin知