矢量分析与场论

电磁场与电磁波矢量分析与场论2内容基本概念标量、矢量、矢性函数场、标量场、矢量场方向导数与梯度、通量与散度、环量与旋度基本定律散度定理、旋度定理、Helmholtz定律圆柱坐标球坐标标量与矢量4概念什么是标量？常量（数）：大小不变的标量变量：大小变化的标量标量相等：标量的大小相同只有数值大小的代数量称为标量5什么是矢量？常矢：大小与方向均不变的矢量变矢：大小与方向至少有一个变化的矢量既有大小又有方向的量称为矢量矢量的大小称为矢量的模6矢量相等：矢量的大小与方向均相同矢量可以由有向线段表示：线段方向与矢量方向一致线段长度与矢量大小成正比7运算标量与标量的运算代数量之间的各种运算满足代数量的各种运算法则8标量与矢量相乘AaBB的大小：A的大小与a的乘积B的方向：a0，B与A方向相同a0，B与A方向相反9矢量相加BAC10矢量相加满足加法交换律矢量相加满足加法结合律ABBACBACBACBA11加法结合律12矢量相减BAC13A－B＝A＋(－B)A、－B相加满足矢量加法运算法则14矢量的标量积BAABBA,cosA、B：A、B的模(A、B)：A、B的夹角矢量的标量积为标量BcosAB15矢量的标量积满足乘法交换律与分配律ABBACBCACBA矢量的标量积不满足乘法结合律CBACBA16矢量的矢量积neBAABBA,sin矢量积为矢量大小：ABsin(A,B)方向：垂直于A、B满足右手螺旋法则17右手螺旋法则矢量A、B、C满足BAC18矢量的矢量积满足乘法分配律CBCACBA矢量的矢量积不满足乘法交换律与结合律ABBAABBACBACBA19矢性函数定义设t为数性变量，A为变矢量，区间G[a,b]内的每一个变量t都对应矢量A的一个确定值A(t)，则称A为t的矢性函数区间G称为矢性函数的定义域20矢端曲线当t变化时，A(t)的终端描绘出的曲线称为矢性函数A(t)的矢端曲线zzyyxxetAetAetAtA21矢径矢量oM称为点M对于点o的矢径zyxezeyexr22矢性函数的导数yyyyxxetAetAetAtA矢性函数的积分dttAedttAedttAedttAzzyyxx21212121ttzzttyyttxxttdttAedttAedttAedttA23导数公式0CBABAAkAkC为常矢量，k为常数24AuAuAuBABABABABABAu为标量函数25积分公式dtAkdtAkdtBdtAdtBAdtAadtAadtAadtAaa为常矢量，k为常数场论27场定义空间区域内的每一点，都对应某物理量的一个确定值，则称在此区域中确定了该物理量的一个场除了区域内有限个点和区域表面以外，场中的物理量处处连续28标量场：标量函数确定的场矢量场：矢性函数确定的场静态场：物理量与时间无关的场动态场：物理量与时间有关的场29标量场的等值面标量场中，由函数值相等的点构成的曲面（曲线）称为标量场的等值面（等值线）常数zyx,,过标量场中每一点只有一个等值面标量场中一个点只能在一个等值面上30等高线31矢量场的矢量线矢量场中，用于直观描述矢量函数空间分布的有向曲线称为矢量线zyxAdzAdyAdx矢量线上任意一点的切线方向即为该点处矢量的方向矢量线的密度与矢量的大小成正比32电力线33标量场的方向导数定义000limMMlMMM设点M0为标量场φ中任意已知点，由M0出发沿某一方向引一条射线l，在l上取一点M，令M0到M的距离为ρ。则下式中的极限称为标量场φ在点M0沿方向l的方向导数34标量场φ在点M0处沿l方向的变化率物理意义0l0lφ沿l方向增大φ沿l方向减小35存在性若函数φ(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)处可微，则在点M0处沿l方向的方向导数必然存在coscoscos0zyxlMcosα、cosβ、cosγ：l的方向余弦36补充：方向角与方向余弦方向角定义：空间两点M1(x1,y1,z1)与M2(x2,y2,z2)确定一矢量a，a与直角坐标三条坐标轴之间的夹角分别为α、β、γ，则将α、β、γ称为矢量a的方向角xyzo1M2M37方向余弦定义：矢量a方向角的余弦称为a的方向余弦cos||aaxcos||aaycos||aazzzyyxxeaeaeaa矢量a的方向余弦222||zyxaaaa38方向余弦的性质222coszyxxaaaa222coszyxyaaaa222coszyxzaaaa1coscoscos222矢量a的模不等于零39标量场的梯度定义标量场φ中点M处存在一矢量G，其方向为φ在点M处变化率最大的方向，其模等于变化率的最大值，则称矢量G为标量场φ在点M的梯度点M处沿任意方向的方向导数等于该点梯度在此方向上的投影任一点的梯度垂直于过该点的等值面标量场的梯度为矢量40数学描述gradzyxezeyexzyxezeyex称为Hamilton算子41运算0cuccuvuvuc为常数，u、v为标量函数42vuuvuvvuuvvvu21uufuff(u)为标量函数u的函数43有向曲面概念确定了方向的曲面称为有向曲面闭合曲面非闭合曲面44dS表示曲面上任意面元大小：dS方向：面元法线方向dSnSdn：dS法线方向单位矢量dxdyedzdxedydzezyx45有向曲面的正侧与负侧：法线指向的一侧称为正侧，另一侧为负侧闭合曲面外部为正侧，内部为负侧46矢量场的通量定义SSSdASdA闭合曲面非闭合曲面矢量场的通量为标量dSnASSAdSAdScoscos47含义非闭合曲面：向曲面正侧穿过的通量与向曲面负侧穿过的通量的代数和闭合曲面：由曲面内部穿出的通量与向曲面内部穿入的通量的代数和Φ为净通量48Φ＞0：流向曲面正侧的通量大于流向负侧的通量Φ＜0：流向曲面正侧的通量小于流向负侧的通量Φ＝0：流向正、负侧的通量相等非闭合曲面：49Φ＞0：流出曲面的通量大于流入的通量Φ＜0：流出曲面的通量小于流入的通量Φ＝0：流出与流入的通量相等闭合曲面：50矢量场的散度定义VSdAAdivSV0lim矢量场的散度为标量矢量场A中任取体积元△V包围点M，当△V趋于零时，下式中的极限称为矢量场A在点M处的散度51含义矢量场中任意一点的通量密度散度＞0：存在正通量源散度＜0：存在负通量源散度＝0：无通量源~无源区域，散度处处为052散度0散度0散度=053运算zAyAxAAAdivzyxBABAAAAφ为任意标量函数54Gauss定理（散度定理）SVSdAdVAV：任意曲面S包围的区域55矢量场的环量定义lldAlzyxzzyyxxedzedyedxeAeAeAdzAdyAdxAzylxl：矢量场A中任意闭合曲线56环量面密度定义：设点P为矢量场A中任意一点，过P任意作微小曲面△S，其法向单位矢量为n，边界为闭合曲线△l。当△S以任意方式趋于P时，下式中的极限称为矢量场A在点P处沿方向n的环量面密度SldASldAlSlPS0limlim△S：以△l为边界的任意曲面57矢量场的旋度定义SldAnArotRlSmax0lim△S：以△l为边界的任意曲面定义：若矢量场A中任意一点P处存在一矢量R，矢量场A在点P处沿R方向的环量面密度最大，且最大值等于R的模，则矢量R称为矢量场A在点P处的旋度58含义旋度的大小：点P处环量面密度的最大值旋度的方向：点P处环量面密度取最大值的方向59运算zyxzyxAAAzyxeeeyAxAexAzAezAyAexyzzxyyzxAArot60BABAAAABAABBAAAA22222222zyx称为Laplace算子61性质任意标量函数梯度的旋度恒为00任意矢量函数旋度的散度恒为00A62Stockes定理（旋度定理）SdAldASll：任意曲面S的边界正交曲线坐标64圆柱坐标空间点的坐标zP,,ρ：点P到oz轴的距离φ：过P以oz轴为界的半平面与xoz面的夹角z：与直角坐标相同zzazOrxP(,,z)yaa65坐标变量的取值020zzz＝常数＝常数y＝常数Ox66坐标变量间的关系1zzeeeeee0eeeeeezz0zzeeeeeeeeeeeeeeezzz67与直角坐标的关系zzyxsincoszzxytgyx2268zyxzeeeeee1000cossin0sincoszzyxeeeeee1000cossin0sincos矩阵求逆69标量与矢量公式zzAeAeAeAdzededeldzddedzdedzdeSdzdzdddV矢量：体积元：面元：线元：70zeeez122222211zHamilton算子：Laplace算子：71zueueueuz1zAAAAz11梯度：散度：72zzAAAzeeeA旋度：73球坐标空间点的坐标,,rPr：点P到原点o的距离φ：过点P以oz轴为界的半平面与xoz面的夹角θ：有向线段oP与oZ轴的夹角zrsinrcosryMxP(r,,)O74坐标变量的取值r0200z＝常数＝常数r＝常数Oaaaryx75坐标变量间的关系1eeeeeerr0rreeeeee