高中数学椭圆几何性质练习题

2．1.2椭圆的简单几何性质第1课时椭圆的简单几何性质双基达标（限时20分钟）1．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为()．A．(±13，0)B．(0，±10)C．(0，±13)D．(0，±69)解析由题意知，椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝a2－b2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．答案D2．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为()．A.32B.34C.22D.23解析将椭圆方程x2＋4y2＝1化为标准方程x2＋y214＝1，则a2＝1，b2＝14，c＝a2－b2＝32，故离心率e＝ca＝32.答案A3．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，离心率是63，则椭圆C的方程为()．A.x23＋y2＝1B．x2＋y23＝1C.x23＋y22＝1D.x22＋y23＝1解析因为ca＝63，且c＝2，所以a＝3，b＝a2－c2＝1.所以椭圆C的方程为x23＋y2＝1.答案A4．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于5，则此椭圆的标准方程是________．解析设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，a2＋b2＝(5)2，即a2＝4.所以椭圆的标准方程是x24＋y2＝1或y24＋x2＝1.答案x24＋y2＝1或y24＋x2＝15．已知椭圆x2k＋8＋y29＝1的离心率为12，则k的值为________．解析当k＋89时，e2＝c2a2＝k＋8－9k＋8＝14，k＝4；当k＋89时，e2＝c2a2＝9－k－89＝14，k＝－54.答案4或－546．求椭圆x24＋y2＝1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．解已知方程为x24＋y21＝1，所以，a＝2，b＝1，c＝4－1＝3，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a＝4，2b＝2，离心率e＝ca＝32，两个焦点分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，椭圆的四个顶点是A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－1)，B2(0，1)．综合提高（限时25分钟）7．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝()．A.14B.12C．2D．4解析将椭圆方程化为标准方程为x2＋y21m＝1，∵焦点在y轴上，∴1m1，∴0m1.由方程得a＝1m，b＝1.∵a＝2b，∴m＝14.答案A8．过椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为()．A.52B.33C.12D.13解析记|F1F2|＝2c，则由题设条件，知|PF1|＝2c3，|PF2|＝4c3，则椭圆的离心率e＝2c2a＝|F1F2||PF1|＋|PF2|＝2c2c3＋4c3＝33，故选B.答案B9．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．解析依题意，设椭圆G的方程为x2a2＋y2b2＝1(ab0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12.∴2a＝12，即a＝6.∵椭圆的离心率为32，∴e＝ca＝a2－b2a＝32，∴36－b26＝32，∴b2＝9.∴椭圆G的方程为x236＋y29＝1.答案x236＋y29＝110．已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为92，离心率为35的椭圆的标准方程为________．解析由题意知a＋b＝92，ca＝35，a2＝b2＋c2，解得a＝52，b＝42.但焦点位置不确定．答案x250＋y232＝1或x232＋y250＝111．已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且过点A(2，－6)．求椭圆的标准方程．解法一依题意a＝2b.(1)当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为x24b2＋y2b2＝1.代入点A(2，－6)坐标，得44b2＋36b2＝1，解得b2＝37，∴a2＝4b2＝4×37＝148，∴椭圆的标准方程为x2148＋y237＝1.(2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为y24b2＋x2b2＝1.代入点A(2，－6)坐标得364b2＋4b2＝1，∴b2＝13，∴a2＝52.∴椭圆的标准方程为y252＋x213＝1.综上所述，所求椭圆的标准方程为x2148＋y237＝1或y252＋x213＝1.法二设椭圆方程为x2m＋y2n＝1(m0，n0，m≠n)，由已知椭圆过点A(2，－6)，所以有4m＋36n＝1.①由题设知a＝2b，∴m＝2n，②或n＝2m，③由①②可解得n＝37，∴m＝148.由①③可解得m＝13，∴n＝52.所以所求椭圆的标准方程为x2148＋y237＝1或x213＋y252＝1.12．(创新拓展)已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0)．(1)求椭圆E的标准方程；(2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．解(1)由题意可得，c＝1，a＝2，∴b＝3.∴所求椭圆E的标准方程为x24＋y23＝1.(2)设M(x0，y0)(x0≠±2)，则x204＋y203＝1.①MP→＝(t－x0，－y0)，MH→＝(2－x0，－y0)，由MP⊥MH可得MP→·MH→＝0，即(t－x0)(2－x0)＋y20＝0.②由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－14x20＋2x0－3.∵x0≠2，∴t＝14x0－32.∵－2x02，∴－2t－1.∴实数t的取值范围为(－2，－1)．