质点系的动能定理

§13-1力的功时，正功；2时，功为零；2时，负功。2cosWFSFS一．恒力的功单位：焦耳（J）：1J=1N1m力的功是代数量。二．变力的功δdWFr元功：变力F在曲线路程中作功为21MM21dMMWFrxyzFFiFjFk在直角坐标系中，知ddddrxiyjzk变力F在曲线路程中作功为21MM2211ddddMMxyzMMWFrFxFyFz三．合力的功221112d()dMMnMMWRrFFFr22211112dddMMMnMMMFrFrFrn21即在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。1．重力的功211212()d()zzWmgzmgzz对于质点系，重力作功为12121212()()iiiiCCWWmgzzMgzz故质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的运动路径无关。0,0,xyzFFFmg取z轴铅垂向上，则：四．几种常见力的功设弹簧原长为l0，在弹性极限内，弹簧的刚度系数为k（使弹簧发生单位变形所需的力，单位：N/m），变形后长为r，沿矢径的单位矢量为0()rFkrle/rerr2211120d()dMMrMMWFrkrler211ddd()d()d22rrerrrrrrrrr221122212001020()dd()[()()]22rrrrkkWkrlrrlrlrl221212()2kW则故弹性力的功只与弹簧在初始和终了位置的变形有关，而与力作用点的路径无关。2．弹性力的功则110220,rlrl令：δddcosWFrFR2112dzWM作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。若Mz=常量，则1221()zWM如果刚体上作用的是力偶，则力偶所作的功仍可用上式计算，其中Mz为力偶对z轴的矩。设刚体绕z轴转动，在其上M点作用有力F，则3．定轴转动刚体上作用力的功其中Ft为力F在作用点M处的轨迹切线上的投影。ddzFRMt于是力F在刚体从角1转到角2过程中作的功为δddRCCWFrM平面运动刚体上力系的功，等于力系向质心简化所得的力（主矢）与力偶（主矩）作功之和。4．平面运动刚体上力系的功首先可以证明，刚体上力系的全部力所作的元功之和为则刚体质心C由C1移到C2，同时刚体又由角1转到角2时，力系所作的功为221112ddCRCCCWFrM注意：以上结论也适用于作一般运动的刚体，基点也可以是刚体上任意一点（不一定取在质心）。[例1]质量为m=10kg的物体，放在倾角为=30º的斜面上，用刚度系数为k=100N/m的弹簧系住，如图示。斜面与物体间的动摩擦系数为f=0.2，试求物体由弹簧原长位置M0沿斜面运动到M1时，作用于物体上的各力在路程s=0.5m上的功及合力的功。0.2(109.80.866)0.58.5J(109.8)0.50.524.5J解：我们取物体M为研究对象，作用于M上的力有重力mg，斜面法向反力FN，摩擦力F′以及弹簧力F，各力所作的功为22212100()(00.5)12.5J22FkW合力的功为24.508.512.53.5JiWWosin30GWmgsN0FWocos30FWFsfmgs对任一质点系，若记vi′为第i个质点相对质心的速度，则可证明有§13-2质点和质点系的动能221mvT动能是一个瞬时的、与速度方向无关的正标量，具有与功相同的量纲，单位也是焦耳（J）。212iiTmv2211'22CiiTMvmv柯尼希定理物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。一．质点的动能二．质点系的动能22211()22PCTJJMd记刚体平面运动某瞬时的速度瞬心为P，质心为C，则22221111()2222CCCJMdJMv222111()222iiiCCTmvmvMv2222111()222iiiizTmvmrJ3．平面运动刚体三．刚体的动能1．平动刚体2．定轴转动刚体即作平面运动刚体的动能，等于随质心平动的动能与绕质心转动的动能之和。[例2]滚子A的质量为m，沿倾角为的斜面作纯滚动，滚子借绳子跨过滑轮B连接质量为m1的物体，如图所示。滚子与滑轮质量相等，半径相同，皆为均质圆盘，此瞬时物体速度为v，绳不可伸长，质量不计，求系统的动能。2222111112222CCCBBTmvJJmvCCBvrrv222222122111111222222vvTmvmrmrmvrr解：取滚子A、滑轮B、重物作为研究对象，其中重物作平动，滑轮作定轴转动，滚子作平面运动，系统的动能为根据运动学关系，有代入上式得2112mmv2CBlvv22222221111122222123BCCBBvTmvJmvmlmvl[例3]均质细长杆长为l，质量为m，与水平面夹角为30º，已知端点B的瞬时速度为vB，如图所示。求杆AB的动能。则杆的动能为解：滑杆作平面运动，其速度瞬心为P，角速度为质心速度为2/2BBvvll§13-3动能定理1．质点的动能定理2d1dd()dd22vmmvtvvmvt21dδ2mvW因此质点动能定理的微分形式将上式沿路径积分，可得21MM2221121122mvmvW此即质点动能定理的积分形式。两边同时点乘，有ddrvtddddvmvtFrtddvmFt由牛顿第二定律有注意到此即质点系动能定理的微分形式。对质点系中的任一质点i：21dδ2iiimvWdδiTW将上式沿路径积分，可得21MM2112()iTTW此即质点系动能定理的积分形式。即质点系在某段运动过程中动能的增量，等于作用于质点系的全部力在这段过程中所作功的和。2211dδdδ22iiiiiimvWmvW对质点系，有2．质点系的动能定理即1．光滑固定面2．固定铰支座、活动铰支座和向心轴承、固定端3．刚体沿固定面作纯滚动5．不可伸长的绳索、刚性二力杆（不计质量）绳拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。δd0(d)WNrNrδd'ddd0WNrNrNrNr3．理想约束及内力作功理想约束：约束力作功为零的约束。4．光滑铰链（中间铰）下面考察质点系内力的功由上可知，刚体所有内力作功之和等于零。δd'dABWFrFrddABFrFrd()ABFrrdBAFr注意：一般情况下，应用动能定理时要计入摩擦力作的功。故只要A、B两点间距离保持不变，内力的元功和就等于零。总之，应用动能定理时，要仔细分析质点系所有的作用力并确定其是否作功。[例4]曲柄连杆机构如图示。已知曲柄OA=r，连杆AB=4r，C为连杆之质心，在曲柄上作用一不变转矩M。曲柄和连杆皆为均质杆，质量分别为m1、m2。曲柄开始时静止且在水平向右位置。不计滑块的质量和各处的摩擦，求曲柄转过一周时的角速度1。22222211221111(4)232212Cmmrmvr解：取曲柄连杆机构为研究对象，初始时系统静止，T1=0。曲柄转过一周后，连杆速度瞬心在B点，其速度分布如图b)所示，系统的动能为曲柄转过一周，重力的功为零，转矩的功为2πM，代入动能定理，有2222122111222OCCTJmvJ44421211121rrrvrvvAAC，212212)(61rmmT221211()026mmrM11223Mrmm由于则解得[例5]图示系统中，均质圆盘A、B各重P，半径均为R，两盘中心线为水平线，盘A上作用矩为M(常量)的一力偶，重物D重Q。求下落距离h时重物的速度v与加速度a。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)2(87)16vQPg(/)487MRQhgvQP解：取系统为研究对象。12(/)WMQhhR01T2222111222OACBQTvJJg22222111322222ABQPPvRRggg2112TTW2(87)016vMQPQhgR上式求导得：87ddd216dddQPvMhhvQvgtRtt8(/)87MRQgaQP由动能定理：解得：(2)ABvRR[例6]图示均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k=3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平位置OA'，在铅直位置时的角速度0至少应为多大？解：取杆OA为研究对象，则全部力所作的功为：221211.2()2WPk221(309.8)1.23000[0(2.41.22)]2388.4(J)22210011302.428.823T02T由动能定理21TTW20028.8388.403.67rad/s[例7]如图行星齿轮传动机构放在水平面内。动齿轮半径r，重P，视为均质圆盘；曲柄重Q，长为l，作用一力偶矩为M(常量)，曲柄由静止开始转动。求曲柄的角速度(以转角的函数表示)和角加速度e。解：取整个系统为研究对象。WM10T2222221111123222QlPPrTvggg111,//vlvrlr2222222229()62412QlPPrlQPTllgggrg根据动能定理，得2229012QPlMg①PQgMl9232将①式对t求导数，得2)92(6lPQgMe[例8]两根均质直杆组成的机构及尺寸如图，OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B端的速度v。0.92(0.60.15)1.352Wmgmgmg10T222211120.9232Tmmv0.9v21TTW3.98m/sv解：取整个系统为研究对象，则全部力所作的功为：2256Tmv2501.356mvmg根据动能定理得§13-4功率·功率方程·机械效率力在单位时间内所作的功称功率。它是衡量机器工作能力的一个重要指标。功率是代数量，并有瞬时性。δdWPtδdddWFrPFvFvttt作用在转动刚体上的力的功率为：δdddzzWPMMtt功率的单位：瓦特（W）或千瓦（kW），1W=1J/s。一．功率注意到，则δdWFr将质点系动能定理的微分形式的两边同除以dt得dδiTWδdddiWTtt首先定义机器的有效功率100%PP有效输入表明了机器对输入功率的有效利用程度，是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下＜１。二．功率方程ddiTPt即ddiTPPPPt无用输入有用上式称为功率方程，即质点系动能对时间的一阶导数，等于作用于质点系的所有力的功率的代数和。对一部机器，有三．机械效率则机械效率ddTPPt有效有用+§13-5势力场·势能·机械能守恒定律1．力场：若一质点在某空间任一位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力作用，则此空间称为力场。在势力场中质点受到的场力称为有势力(或保守力)，如重力、弹力、万有引力等。2．势力场：如果质点在力场中运