张量分析

1张量分析学习技术中心（王金云）2015.092张量分析在三维空间，一个矢量（例如力矢量、速度矢量等）在某参考坐标系中，有三个分量；这三个分量的集合，规定了这个矢量；当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。在力学中还有一些更复杂的量。例如受力物体内一点的应力状态，有9个应力分量，如以直角坐标表示，用矩阵形式列出，则有：zzzyzxyzyyyxxzxyxxij这9个分量的集合，规定了一点的应力状态，称为应力张量。当坐标变换时，应力张量的分量按一定的变换法则变换。所谓张量是一个物理量或几何量，它由在某参考坐标系中—定数目的分量的集合所规定，当坐标变换时，这些分量按一定的变换法则变换。张量有不同的阶和结构，这由它们所遵循的不同的变换法则来区分。矢量是一阶张量；应力张量、应变张量是二阶张量；还有三阶、四阶等高阶张量。张量是矢量概念的推广。它是一种不依赖于特定坐标系的表达物理定律的方法。采用张量记法表示的方程，在某一坐标系中成立，则在容许变换的其他坐标系中也成立，即张量方程具有不变性。张量是佛克脱(WVoigt)提出（用来表示晶体的应力(张力)状态）。3一、符号与求和约定A)指标变量的集合：nnyyyxxx,...,,,...,,2121表示为：njynixji...,3,2,1,,...,3,2,1,写在字符右下角的指标，例如xi中的i称为下标。写在字符右上角的指标，例如yj中的j称为上标；使用上标或下标的涵义是不同的。用作下标或上标的拉丁字母或希腊字母，除非作了说明，一般取从1到n的所有整数，其中n称为指标的范围。B)求和约定若在一项中，同一个指标字母在上标和下标中重复出现，则表示要对这个指标遍历其范围1，2，3，…n求和。这是一个约定，称为求和约定。例：三维空间的平面方程为：pzazaza332211式中iap是常数。这个方程可写成:pzaiii31应用求和约定，则这个方程可写成如下形式：pzaii4遍历指标的范围求和的重复指标称为哑指标或跑标。不求和的指标称为自由指标。注：哑指标只是表示求和。在一项中，同一个指标字母的使用不能超过两次。),...,2,1,()(21njixaxaxajjiilnil求和约定可以推广到微分公式：设f(nxxx,...,21)为n个独立变量nxxx,...,21的函数，则它的微分可写成:iidxxfdfix中i被认为是下标。C)克罗内克(Kronecker)符号克罗内克符号ji的定义是:)(0)(1jijiji克罗内克符号也可写成ijij,.13322110323121231312例：空间直角坐标系中，线元矢量长度的平方为：2322212)()()(dxdxdxds利用克罗内克符号，上式可写成：jiijdxdxds25克罗内克符号的一些常用性质：jijixxjiijxxjkikjiD)置换符号置换符号ijkijkee定义为:的任意二个指标任意kj,i,当021)(213,132,3的奇置换3，2，1是kj,i,当112)(123,231,3的偶置换3，2，1是kj,i,当1ijkijkeei,j,k的这些排列分别叫做循环排列、逆循环排列和非循环排列。置换符号主要可用来展开三阶行列式：231231331221233211231231133221332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa若以jia表示行列式中的普遍项，以||jia表示行列式，则上述行列式可写成：kjiijkjiaaaeaa321||knjmilijkilmaaaeaeE)克罗内克符号与置换符号的关系1100010001333231232221131211ji6knjlimkljnimkljminkmjlinkmjnilknjmillmnijkknkmkljnjmjlinimileekmjnknjmimnijkeeknknknkjjnknjjijnijkee2362kkijkijkee二、基矢量在曲线坐标系中，空间一点P的位置矢量r是曲线坐标ix的函数，则：iidxxdrr空间一点P的位置矢量可用直角坐标表示为：jjzir式中ji为沿坐标轴jz方向的单位矢量。jijijjixzxzzxirr上式表明ixr是单位矢量ji的线性组合，因此也是矢量。ixr表征当ix变化时位置矢量r的变化，因此ixr的方向是沿坐标曲线ix的切线方向。矢量ixr可以取作曲线坐标系的基矢量（协变基矢量）：jijiixzxirg注意：对于在曲线坐标系中的每一点，都有三个基矢量。7基矢量一般不是单位矢量，彼此也不正交；基矢量可以有量纲，但一点的三个基矢量的量纲可以不同；基矢量不是常矢量，它们的大小和方向依赖于它们所在点的坐标。作用在一点的任意矢量V，可以沿ig的方向按平行四边形法则分解：jjvgV坐标变换时，—个量的分量的变换法则是该量的重要性质。若坐标系ix变换成另一新坐标系iy)3,2,1(),,(321jxxxyyjj逆变换为：)3,2,1(),,(321jyyyxxjj则在新坐标系iy中的基矢量为ijjijjiiyxyxxygrrg可知：若坐标系由ix变换为iy，则基矢量ig按上述变换法则变换。基矢量ig也称为协变基矢量。三、基本度量张量对于任何坐标系，首先必须知道在该坐标系中如何度量长度。在曲线坐标系中，线元矢量dr长度的平方为下式。jijijjiidxdxdxdxdddsggggrr2定义:jiijggg称为坐标系ix的基本度量张量。在三维空间，基本度量张量ijg有9个分量。8jlikkljliklkljlkikijxzxzxzxzxzxzgiiii若坐标系ix变换成另一新坐标系iy)3,2,1(),,(321jxxxyyjj逆变换为：)3,2,1(),,(321jyyyxxjjjjiidyyxdx则在新坐标系iy中的基矢量为lkljkiijjiijdydyyxyxgdxdxgdddsrr2lkklljkiijkldydygdsyxyxgg2gij的特性：1）度量空间线元的长度(称为度量)；2）当坐标变换时，它按照一特定的变换法则变换，这是张量的基本特性;因此ijg称为度量张量，这是一个非常重要的基本张量，又称为基本度量张量。四、对偶基矢量、相伴度量张量A)指标对偶基矢量（逆变基矢量）gi由下式定义：ijjigg在三维空间中，g1、g2、g3分别垂直于（g2，g3）、（g1，9g3）及（g1，g2）所在的平面。B)相伴（共轭）度量张量将对偶基矢量ig沿基矢量jg的方向分解:jijiggg式中ijg是对偶基矢量在jg方向的分量，共有9个,称为相伴度量张量，或共轭度量张量.ijjkikjkikigggjggggijkjikijjkikijjiiijggggjggggggjijijijigggjijigggggg协变基矢量和逆变基矢量之间可以通过度量张量和相伴度量张量变换，提升或下降指标。C)矢量的逆变分量和协变分量任何一个矢量V可以用它沿基矢量方向的分量表示：jijijijijijijijiiiiivgvvgvvgvvgvvvggV表明矢量V也可以用它沿逆变基矢量ig方向的分量表示。iv称为矢量V的协变分量;iv是矢量V的逆变分量。10iiiivvgVgV表示矢量的逆变分量和协变分量的大小等于矢量和相应的基矢量的点积。D)对偶基矢量、相伴度量张量的变换法则若坐标系ix变换成另一新坐标系iy)3,2,1(),,(321jxxxyyjj逆变换为：ikiikikikikiijjiijjxydxdydxddxddxxydyjyyyxxk321gg)gg(gggrgr)3,2,1(),,(逆变基矢量的变换法则:ikiikkxyigg)gg(g相伴度量张量的变换法则：nkmimnnkmiiijxyxygxyxygnmjgggg五、张量在物理量或几何量中，有一些量与参考坐标无关，例如质量、温度、长度等；另有一些量，它们的分量却与参考坐标的选择有关,例如位移、速度等。前者称为标量，后者称为矢量。当坐标作容许变换时，矢量的分量根据相应的变换法则进行变换。11设一个量的分量在曲线坐标系ix（i=1,2,3）中定义，它们是坐标1x、2x、3x的函数。若坐标系ix作容许变换成另一新坐系标iy（i=1,2,3），则可以定义该量在新坐标系iy中的分量，并根据该量的分量在坐标变换时所遵循的不同变换法则，给予该量以不同的名称。A)标量、逆变矢量、协变矢量(1)标量一个量被称为标量或绝对标量，若它在坐标系ix中只有一个分量，在新坐标系iy中也只有一个分量，并且在两个坐标系中的对应点上，与的数值相等。),,(),,(321321xxxyyy(2)逆变矢量(一阶逆变张量)一个量被称为逆变矢量或一阶逆变张量，若它在坐标系ix中有三个分量iA，在坐标系iy中有三个分量i^A，它们由以下的变换法则相联。jijixyxAyAˆ逆变矢量用上标表示；因此上标也称为逆变指标。A）协变矢量(一阶协变张量)一个量被称为协变矢量或一阶协变张量，若它在坐标系ix中有三个分量iA，在坐标系iy中有三个分量i^A，其变换法则相为；ijyxxAyAjiˆ12协变矢量用下标表示，下标也称为协变指标B）高阶张量：(1)二阶协变张量jnimyxyxxAyAmnijˆ(2)二阶逆变张量njmixyxyxAyAmnijˆ(3)二阶混合张量njimnmjixyyxxAyAˆC)张量特性1）张量是矢量概念的推广。2）张量由它的分量的集合所规定。3）张量的基本性质由坐标变换时张量的分量所遵循的变换法则来确定，变换法则与张量表示什么物理量无关。4）张量可分为零阶、一阶、二阶……。张量的阶等于变换法则中变。换系数的维度，也等于张量的指标的数目。在三维空间，r阶张量的分量总数为N=3r，标量是零阶张量，矢量是一阶张量。5）按照张量的变异(结构)，张量可分为逆变、协变和混合，张量的变异也由张量的指标的位置(上标、下标、或兼有上标下标)来区别。注：在曲线坐标系中，必须很好地理解逆变张量与协变张量的意义以及变换法则的区别。但若采用直角坐标系描述，则张量的逆变与协变的区别消失，把所有张量的指标写成下标。此张量称为笛卡尔张13量或直角坐标张量。5.2张量代数一、张量的加法(减法)两个同阶、同变异(结构)的张量可以相加(或相减)。张量相加(或相减)是相加(或相减)其同名的分量。设ijkijkBA,是张量，则ijkijkijkijkijkijkBACBAAˆ也是张量。可以证明，相加(减)的结果是一个同阶同变异的张量。xCyxyxxyxAxAyxyxxyyByAyCyxyxxyxByByxyxxyxAyAlmnknjmlilmnlmnknjmliijkijkijkknjmlilmnijkknjmlilmnijkˆˆˆˆˆ二、对称张量、斜对称张量A)对称张量若张量满足如下的关系式：jiijAA这样的张量称为二阶对称张量。例如，基本度量张量和相伴度量张量都是对称张量。B）斜对称张量若张量满足以下关系