东南大学《工程矩阵理论》试卷样卷及答案(修改)3

1工程矩阵理论试卷样卷10a一、假如nnAC。1、记()nnVAXCAXXA。证明：()VA是nnC的子空间。2、若A是单位矩阵，求()VA。3、若2n，0011A。求这里V（A）的一组基及其维数。4、假如22()WAXCAXO。问：对上一题中的()VA和()WA，()()VAWA是否为直和？说明理由。解：1、证明子空间，即为证明该空间关于加法和数乘封闭。即若有,()xyVA，()()xyVA，()kxVA。设,()xyVA，kF，()()AxyAxAyxAyAxyA，()()xyVA()()AkxkAxkxAkxA，()kxVA()VA是nnC的子空间。2、若A是单位矩阵，则()nnVAXCIXXI，因为对单位阵I来说，IXXI恒成立，故，()nnVAC。3、若2n，0011A，设abXcd，有AXXA，即，00001111000ababcdcdbbacbdddbacdbdd，→有0bacd，故0aXcac=0000acca故X的一组基为00101101,，维数为2。24、22()WAXCAXO，即()()WAKA，其基为10011001,。下面计算dim(()())VAWA，若dim(()())0VAWA，则是直和。dim(()())dim()dim()dim(()())VAWAVAWAVAWA。dim(()())VAWA=（()VA、()WA基的极大线性无关组），011010101010000100010110101001100001110111010000001001110101,,为极大线性无关组（可以不求，从上式即可看出dim(()())3VAWA），dim(()())dim()dim()dim(()())22310VAWAVAWAVAWA()WA+()VA不是直和。二、假如1100A，1010B，在22C上定义变换如下：22(),fXAXBXC。1、证明：f是22C上的线性变换。2、求f在22C的基111000E120100E210010E220001E下的矩阵M。3、试求M的jordan标准形，并写出f的最小多项式。4、问：能否找到22C的基，使得f的矩阵为对角阵？为什么？解：1、22XC有：()fXAXB22,XYC，有()()()()fXYAXYBAXBAYBfXfY←加法封闭kC，有()()()fkXAkXBkAXBkfX←数乘封闭f是22C上的线性变换。32、111110101000001000()fE121101101000001000()fE211100101000101000()fE221100101000011000()fE11122122111221221111000000000000()()fEEEEEEEE1111000000000000M3、311110001000000()IMM的若当标准形为1000000000000000J，f的最小多项式为1()()m4、0，11110000000000000IM，基础解系为1100，1010，10011，0111010000100001IM，基础解系为1111这四个基础解系所对应的基均线性无关，故能找到找到22C的基，使得f的矩阵为对角阵。三、设3R的子空间20(,,)Vxyzxyz，112,,，求0V，使得0minV。解：思路：求V的基12,→0由该基生成01122kk；40minV的含义是指在V中找一向量0，使得0的距离最短，即寻找在V中的正投影。作图如右侧。由20(,,)Vxyzxyz，得V的基为1210，2101则0V，01122kk，01122kk010200,,或0()V11220111122101112202112222020000,,,,,,,,kkkkkkkk112101122202523223,,,,,,112011221223233223221052300100223001kkkkkkkk四、设308316205A，求100502AA及矩阵函数Ate。解：23083831611125205()()()IA1211（2重根）21时，2()rIA，故A的jordan标准形为100011001J，A的最小多项式为211()()()m。令100502()fxxx，2()()()fxmxqxabxcx100501121111()()()fmqabcabc100501121111()()()()()fmqabcabc00V59949110050100505022'()'()()()'()fxxmxqxmxqxbcxbc26025abc10050222625()()()fxxxmxqxx22625()()()fAmAqAIA（计算略）令()xtpxe，2()gxabxcx11()()tpegabc11()()tpegabc112'()'()tptegbcabc(太麻烦了，不算啦！)2()AtpAeaIbAcA五、已知矩阵A的特征多项式()AC及最小多项式()m都等于223()()，并且矩阵200130123B。1、分别给出A和B的jordan标准形；2、问：A与B是否相似？为什么？解：A的特征多项式()AC及最小多项式()m都等于223()()，故A的jordan标准形为：200031003AJ，220013023123()()IB200031003BJA和B有相同的jordan标准形，故A、B相似。6六、已知矩阵4511000220000000000023A，求A的广义逆矩阵A。解：对A进行分块：110002200000000000023MAN0MAN对1122M进行满秩分解，1112M111111211121211212110()(())()M对23()N进行满秩分解，2323()()NI11132222323333()(())NII54313213115101151000000000000000A七、证明题：1、假如是欧几里德空间V中单位向量，V上的线性变换f如下：对任意xV，2(),fxxx（镜像变换）。证明：f是V上的正交变换。证明：要证f是V上的正交变换，只要证明f下的矩阵是一个正交矩阵即可。将扩充V上的一组标准正交基23,,,,n，22(),f722222(),f2(),nnnnf221000100001(,,)(,,)nnf可看出，f下的矩阵中，所有的行向量或列向量均为单位正交向量，故f是V上的正交变换。2、设H阵A，B均是正定的，并且AB=BA，证明：AB是正定矩阵。证明：A，B均是正定的H阵，故HAA，HBB，且酉矩阵P、Q，st.,HHAPPBQQ,要证明AB是正定矩阵，首先要证AB是H阵。()HHHABBABAAB是H阵。111()()()()HHHHHHHHHABPPQQQQPPQQQQPPQQQPQPQQ即AB∽()()HHHPQPQ，()()HHHPQPQ是正定矩阵，故HPQ的特征值均大于0，所认AB特征值也大于0，故AB正定。