第六讲周期问题

第六讲周期问题一、知识要点和基本方法1．周期问题客观世界中，存在着一些数、图形和事物的变化是周而复始循环出现的，我们把具有这种规律性的问题称为周期问题．例如，每隔7天是一周，周周如此；每隔12个月是一年，年年一样；每隔24小时是一昼夜，天天相同；……，这些问题都属于周期问题．2．周期问题中的周期周期是一个数，由于我们所学的知识有限，还不能给出周期的明确定义，只能具体问题具体分析．例如，由于每个星期有7天，即时间是7天一循环，则说周期是7；由于每年有12个月，即时间是12个月一循环测说周期是12；每个昼夜24个小时，即时间是24个小时一循环，则说周期是24；在循环小数中，“循环节数字的位数”即为循环的“周期”．研究周期问题，就是要发现问题的周期性和确定周期，从而解决有关问题．3．利用余数处理离散序列周期性问题的一般模式．余数反映了自然数的某种周期变化。它可以帮助我们确定具有周期规律的离散量在某个序号上的性质．解决这种问题的一般模式是：（1）序列：123456789···,aaaaaaaaa，，，，，，，，，↓↓↓↓↓↓↓↓↓性质：123451234···PPPPPPPPP，，，，，，，，，．其中，12345ppppp，，，，是以5为周期循环的数字12aa，，…所对应的性质．（2）若问ka对应什么性质？我们只要用5去除k，看余数是几就可以了．比如1998a，因为1998÷5=399……3，立即可判定1998a具有性质3p．4．自然数乘方的个位数所呈现的周期现象．一个数码a自乘后，积的个位数是有周期现象的，我们把数码a自乘m次后记作=mmaaaaa个，记作a的m次方则易知数码0，1，5，6的任何次方的个位数仍是它本身．数码2，3，4，7，8，9的m次方的个位数有如下周期现象。41ka与a的个位数相同，42ka与2a的个位数相同，43ka与3a的个位数相同，44ka与4a的个位数相同．（其中k可以是任意自然数）运用以上规律，可以解决有关问题．二、例题精讲例1已知2002年9月22日是星期日，请问2008年7月1日是星期几？分析一周为七天，关键是计算出从2002年9月22日到2008年7月1日经过了多少天．应注意常年每年有365天，闰年每年有366天．经查万历表知：从2002年至2008年间，2004年、2008年为闰年（闰年2月份有29天），其余均为常年．解从2002年9月22日至该年年底还有8＋31＋30＋31=100天．2003、2005、2006、2007均为常年，共有365×4=1460（天），2004年有366天，2008年元旦至该年7月1日经过了31＋29＋31＋30＋31＋30＋1=183（天）．因此，从2002年9月22日至2008年7月1日共经过了100＋1460＋366＋183=2109（天），2109=7×301＋2．这说明，2008年7月1日为星期二．答2008年7月1日为星期二．例2（1）2002200837的个位数字是几？（2）21609121（它有65050位，是用电子计算机找到的）是一个很大的质数，你能确定它的个位数字吗？分析3、23、33、43、53、63、73、83、…的个位数字为3、9、7、1、3、9、7、1、…，它们按3、9、7、1四个数字循环．而7、27、37、47、57、67、77、87、…的个位数字为7、9、3、1、7、9、3、l、…，它们按7、9、3、1四个数字循环．由此，可解（1）．同理，2、22、32、42、…的个位数字按2、4、8、6这四个数字循环，由此可解（2）．解（1）2002200837=45002450237，所以，20023的个位数字与23的个位数字相同，为9．而20087的个位数字与47的个位数字相同，为1．从而，2002200837的个位数字为0（9＋l=10）．（2）由于216091=4×54022＋3，所以2160912的个位数字与32的个位数字相同为8，81=7，所以21609121的个位数字为7．答2002200837的个位数字是0，21609121的个位数字为7．例31～1001各数按图6-1中的格式排列，其中用一个正方形框框出的九个数，要使这样框出的九个数之和等于图6-1（1）1986；（2）2529；（3）1989．问是否能办得到？如果办不到，简单说明理由；如果办得到，请写出所框正方形里的最大的数和最小的数．分析通过仔细观察和分析，发现图中方框中间的数（即18）是方框中九个数的平均数，即方框里九个数的和一定是9的倍数．这个结论，对任意画的九个数方框都是正确的，因为方框中的数相邻两行差7，相邻两列差1，所以一般形式如图6－2所示图6-2易知九个数之和为876116789aaaaaaaaaa．所以方框中间数为这九个数的平均数，九个数之和一定是9的倍数．我们正是以这个结论去判断所要解决的问题．解（1）因为1986不能被9整除，所以无论怎样框方框，框中九个数之和都不可能等于1986．（2）易知2529÷9=281，注意能被9整除只是框中九数和等于2529的必要条件．因为，被9整除的数未必都会成为框中九数的和数．所以，必须经过验证才能确认．由于框中九数和的平均数为281，即若框出这九个数，中间一个数必为281，而281必须在第2列至第6列，第2行至第142行之内才可能成为所框方框的中间数．由于281÷7=40余1，即281落在第41行的第1列，因此281不可能作为九个数方框的中间数．所以在图61中不存在这样的方框，使框中数之和为2529．（3）按（2）中的分析方法，由于1989÷9=221，这只是存在所框方框内9数之和为1989的可能性，关键在确定方框中间数221的位置，而221÷7=31…4，所以211是在第32行的第4个数，即所框九数如图6－3所示．其中，最大数是229，最小数是213．例4把17化为循环小数，问小数点后第1999个数字是几？这1999个数字的总和是几？分析解决这个问题最容易想到的方法，也是最不用动脑筋的方法，就是列一个大除法算式，在小数点后试除1999次，但大家也很容易想到，这种方法不好，很繁琐．实际上，用1除以7在小数点后多除几位，得到：17=0.142857142857142857.观察便知其中数字出现的规律：从小数点后第一位起，依次是1、4、2、8、5、7，然后反复出现，即所谓的循环节，周期是6．由于1999=6×333＋1，说明循环333次后，下一个数字是第1999个数字，而每个循环的下一个数字（同时也就是每个循环的第一个数字），在本题中就是1，所以，所求的数字是1．继续，不难看出，这1999个数字的和可以这样计算：一个循环节的数字和×333＋1，即（l＋4＋2＋8＋5＋7）×333＋1=8992．解因为17=0.142857142857142857.，所以这个循环小数的周期是6，循环节为142857．由于1999=6×333＋l，所以第1999个数字是循环节的第一个数字1．这1999个数字的和=（1＋4＋2＋8＋5＋7）×333＋1=8992．答小数点后第1999个数字是1，小数点后这1999个数字和是8992．注分母是7的真分数有一个十分有趣的性质，它们的循环周期都是6，循环节中的6个数字都是1、4、2、8、5、7，只是排列顺序同而已．具体写出来就是：上述结论告诉我们，142857这个6位数用1、2、3、4、5、6去乘，其结果仍是一个6位数，而且这些6位数的6个数字仍是1、4、2、8、5、7，只不过是排列顺序不同罢了．例5如图6－4，将16把椅子摆成一个圆圈．依次编上1到16的号码．现有一位同学从第1号椅子顺时针行进328个位子，再逆时针行进485个位子，又顺时针行进328个位子，再逆时针行进485个位子，又顺时针行进136个位子。问这时他到了第几号椅子？图6-4分析不论是顺时针还是逆时针，只要是前进了16个位子，就回到原来位子，所以只要考虑前进了多少圈（每圈16个位子）又多多少，就可以知道他到了第几号椅子．但要注意顺时针行进与道时针行进的关系．解顺时针行进：328=20×16＋8（个位子），逆时针行进：485=30×16＋5（个位子），顺时针行进：136=8×16＋8（个位子），因此，该生相当于顺时针行进了8＋8＋8=24（个位子），逆时针行进了5＋5=10（个位子），总计顺时针行进了24－10=14（个位子），这时，该生到了第15号（=14＋l）位置上．答这时他到了第15号椅子．例6A、B、C、D四个盒子中依次放有6、4、5、3个球．第1位小朋友找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取一个球放人这个盒子；第2位小朋友接着找到放球最少的盒子，从其他盒子中各取一个球放人这个盒子；第3位小朋友同样做下去……．当第34位小朋友放完后，问B盒中放有多少个球？分析先将前5位小朋友依次放完的球数表示出来：数据显示，每经过4位小朋友放过球后，四个盒子中的球的数目重复出现，即周期为4．解34÷4=8……2可知，第34位小朋友放过后与第2位小朋友放过后四盒中球数状况一样，即B盒中有6个球．答当第34位小朋友放完后出盒中放有6个球．例7一列数1、2、4、7、11、16、22、29、…，这列数的组成规律是第2个数比第1个数多1；第3个数比第2个数多2；第4个数比第3个数多3，依次类推．那么这列数左起第2002个数除以5的余数是几？分析从左到右寻找该列数中的数除以5的余数规律（周期）．数的序号l、2、3、4、5、6、7、8、9、10、…除以5的余数1、2、4、2、1、1、2、4、2、1、…由此可见，余数从左到右循环排列情况为：1、2、4、2、1周期为5．解2002=5×400＋2．所以，第2002个数被5除的余数与第2个数被5除的余数相同，也就是2．答第2002个数除以5的余数为2．例8一个正四面体（如图6－5）摆在桌面上，现在正对你的面（ABC）是红色；底面（BCD）是白色；右侧面（ACD）是蓝色；左侧面（ABD）是黄色．先让四面体绕底面（现在是BCD面）面对你的棱（现在是BC边）向你翻转入此时底面变成ABC面）再让它绕底面右侧棱（AC棱）翻转；然后第3次绕底面（ACD面）面对你的棱（AD）向你翻转；第4次绕底面（ABD）左侧的棱（AB）翻转，此后依上面的翻转方式循环进行（向你、向右、向你、向左不断翻转）操作．问：按规则完成第100次操作后，面对你的面是什么颜色？图6-5分析此题是一个立体图形——正四面体，即四条棱都相等的三棱锥，在实行上述“翻转”操作中，不易想象，同学们可做一个正四面体，按题目要求依次对它进行翻转，就比较容易看到其中的变化规律了．解由初始状态，第1次翻转后红面为底面，第2次翻转后蓝面变为底面，这时黄面正对着你；第3次翻转后，黄面变为底面，第4次翻转后红面变成底面，这时白面正对着你．继续按规则操作，会发现连续翻转到第8次出现红面正对着你．此后，每8次按如上规则操作后，面对你的红面重复出现，形成周期性有序的变化，其周期为8．由于100÷8=12……4，所以，第100次操作后，面对你的面与完成第4次操作后面对你的面颜色相同，是白色．练习题A组1．335化成小数后J数点右边第1991位上的数字是多少？这1991个数字的和是多少？2．如图6－6，用圆周列出的十个数按顺时针方向可以组成许多个整数部分是一位的循环小数．例如，3．439897398（循环节自己确定），那么在所有这种数中，最大的一个是什么？最小的一个是什么？图6-63．紧接着数字1、9、8、9后面写一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字乘积的个位数．例如8×9=72，则在9的后面写2，又接着9×2=18，则在2的后面写8，…得到一列数字：1、9、8、9、2、8、6、…请问：这串数字从1开始往右写，第2002个数字是什么？4．在数列16，27，38，…，19972002中，共有多少个最简分数？5．图6－7是一个三角形数阵：图6-7如果分别求每一行中