高中数学抛物线的几何性质总结

抛物线几何性质1习主席的三句话你的责任就是你的方向，你的经历就是你的资本，你的性格就是你的命运。•复杂的事情简单做，你就是专家；简单的事情重复做，你就是行家；重复的事情用心做，你就是赢家。•美好是属于自信者的，机会是属于开拓者的，奇迹是属于执著者的！你若不想做，总会找到借口；你若想做，总会找到方法。图形方程范围对称性顶点离心率x0(0,0)x轴抛物线的几何性质e1x轴y轴y轴x0y0y0(0,0)(0,0)(0,0)e1e1e1pxy220ppxy220ppyx220ppyx220p问题：与椭圆、双曲线的几何性质比较，抛物线的几何性质有什么特点？（1）抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可以无限延伸，但没有渐近线；（2）抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；抛物线又叫做无心圆锥曲线。（3）抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；（4）抛物线的离心率是确定的，为1．引例.yOx........ABF想一想？yOx........ABFyOx........ABF则,1tanm)1tan1(2||2pAB,tan1m).1(2||2mpAB)1sincos(222p.sin22p（6）证明:以CD为直径的圆过焦点F.想一想？结论:则;2p（6）以CD为直径的圆与弦AB相切于焦点F.例1.抛物线21xmy(0)m的焦点坐标是（）A.（0，4m）或（0，4m）B.（0，4m）C.（0，m41）或（0，m41）D.（0，m41）【解析】选B.0522xy2002ayxa9.焦点在直线34120xy上的抛物线的标准方程是____________．答案：216yx或212xy.变式2若A是定直线l外的一定点，则过A与l相切圆的圆心轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线一支D．抛物线答案：D当k为何值时，直线y=kx+k-2与抛物线y2=4x有两个公共点？仅有一个公共点？无公共点？解：由x4y2kkxy2得：k2x2+2(k2-2k-2)x+(k-2)2=0当k=0时，方程退化为一次方程，-4x+4=0，该方程只有一解x=1，原方程组只有一组解2y1x，∴直线y=-2与抛物线只有一个公共点.当k≠0时，二次方程的△=4(k2-2k-2)2-4k2(k-2)2=-16(k2-2k-1)当△0得k2-2k-10，21k21，∴当0k21，或21k0时，直线与抛物线有两个公共点由△=0得k=21，此时直线与抛物线相切，只有一个公共点由△0得21k，或21k，此时直线与抛物线无公共点抛物线的焦点F在x轴上，A(m，－3)在抛物线上，且|AF|＝5，求抛物线的标准方程．解：设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px，(p＞0)，∵A点在抛物线上∴(－3)2＝2pm或(－3)2＝－2pm，∴m＝±92p①又|AF|＝2p＋|m|＝5②把①代入②可得922pp＝5即p2－10p＋9＝0∴p＝1或p＝9∴所求抛物线方程为y2＝±2x或y2＝±18x．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M（-3，m）到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值.解：抛物线对称轴为x轴，且过点M（-3，m），所以可设抛物线标准方程为22ypx，又因为M（-3，m）到焦点的距离等于5，所以M（-3，m）到准线的距离等于5，即35,42pp故所求抛物线的方程为xy82，62m.3.（2010全国）已知抛物线2:2(0)Cypxp＞的准线为l，过(1,0)M且斜率为3的直线与l相交于点A，与C的一个交点为B．若AMMB，则p．【解析】过B作BE垂直于准线l于E，∵AMMB，∴M为中点，∴1BMAB2，又斜率为3，0BAE30，∴1BEAB2，∴BMBE，∴M为抛物线的焦点，∴p2.4.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，若A，B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于.5．（习题2.4B组第2题）已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线)0(22ppxy上，求这个等边三角形的边长.【解析】设这个等边三角形OAB的顶点,AB在抛物线上，且坐标分别为11(,)xy，22(,)xy则2211222,2.ypxypx又||||,OAOB所以22221122xyxy，即222212121212220.()2()0xxpxpxxxpxx，因此1212()(2)0xxxxp.因为120,0,20xxp,所以12xx.由此12||||yy，即线段AB关于x轴对称.因为x轴垂直于AB，且030AOx，所以0113tan303yx.又因为2112yxp，所以123yp，因此1||243.AByp变式1：已知抛物线y2＝2px(p0)，一条长为4p的弦，其两个端点在抛物线上滑动，求此弦中点到y轴的最小距离．解：如图所示，设动弦两个端点为A、B，中点为C，作AA′，BB′，CC′垂直于准线，垂足分别为A′，B′，C′，连结AF、BF，由抛物线定义可知，|AF|=|AA′|，|BF|=|BB′|.∵CC′是梯形ABB′A′的中位线，∴|CC′|==当AB经过点F时取等号，所以C点到y轴的距离最小值为3.已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()．A.34B．1C.54D.74【答案】C【解析】设抛物线的准线为l，如图，作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知|AA1|＋|BB1|＝|AF|＋|BF|＝3，则AB的中点到y轴的距离为12(|AA1|＋|BB1|)－14＝54.抛物线28yx的焦点为F，(4,2)A为一定点，在抛物线上找一点M.（1）当||||MAMF为最小时，求M点的坐标；（2）当||||||MAMF为最大时，求M点的坐标．(642,442)(642,442)1(,2)2M变式训练2如图，已知抛物线y2＝2px(p0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．解设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－1kx，由y＝kx，y2＝2px，得x＝0或x＝2pk2.∴A点坐标为2pk2，2pk，B点坐标为(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8，可得4p2k2＋1k4＝1，①4p2k2k2＋1＝64，②②÷①解方程组得k6＝64，即k2＝4.则p2＝16k2k2＋1＝45.又p0，则p＝255，故所求抛物线方程为y2＝455x.3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于()A．43B．8C．83D．16解析设Py28，y，则A(－2，y)，B由kAF＝－3，即y－0－2－2＝－3，得y＝43，|PF|＝|PA|＝y28＋2＝8.3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于()A．43B．8C．83D．16解析设Py28，y，则A(－2，y)，B由kAF＝－3，即y－0－2－2＝－3，得y＝43，|PF|＝|PA|＝y28＋2＝8.2．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA→＋FB→＋FC→＝0，则|FA→|＋|FB→|＋|FC→|等于()A．9B．6C．4D．3解析设A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，又F(1,0)．B由FA→＋FB→＋FC→＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3，|FA→|＋|FB→|＋|FC→|＝x1＋x2＋x3＋32p＝6.3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为()A．(2,22)B．(2，－22)C．(2，±2)D．(2，±22)如图所示，由题意，可得|OF|＝1，由抛物线的定义，得|AF|＝|AM|，∵△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，解析∴S△AMFS△AOF＝12×|AF|×|AM|×sin∠MAF12×|OF|×|AF|×sinπ－∠MAF＝3，3．已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若△AMF与△AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为3∶1，则点A的坐标为()A．(2,22)B．(2，－22)C．(2，±2)D．(2，±22)∴|AF|＝|AM|＝3，设Ay204，y0，D∴y204＋1＝3，解得y0＝±22.∴y204＝2，∴点A的坐标是(2，±22)．解析证明2：如图，记X轴与抛物线准线L的交点为E，过A作AD⊥L，D是垂足．则AD∥FE∥BC．连结AC，与EF相交于点N，则||||||,||||||ENCNBFADACAB||||.||||NFAFBCAB根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，|,|||||||||||||||NFABBCAFABBFADEN即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O．1．（2011湖南）将两个顶点在抛物线22(0)ypxp上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则（）A．0nB．1nC．2nD．3n【解析】根据抛物线的对称性，正三角形的两个顶点一定关于x轴对称，且过焦点的两条直线倾斜角分别为030和0150，这时过焦点的直线与抛物线最多只有两个交点，如图所以正三角形的个数记为n，2n，所以选C.5.过抛物线02aaxy的焦点F作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PF，QF的长分别是p，q，则qp11=（）A.a2B.a21C.a4D.a4【解析】选C.由21xya，得直线为14ykxa，与21xya联立，消去x得2211()0216aykya设PQ、的纵坐标分别为12yy，，则212122121,216kyyyyaa由题意114pya，214qya11pqpqpq=121212212411()416yyaayyyyaa变式3如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2上异于坐标原点O的两个不同动点A，B满足OA⊥OB.(1)求△AOB的重心G(即三角形三条中线的交点)的轨迹方程；解：(1)设△AOB的重心G的坐标为(x，y)，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x＝x1＋x23，①y＝y1＋y23.②∵OA⊥OB，∴kOA·kOB＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.③又∵点A，B在抛物线上，∴y1＝x21，y2＝x22，代入③化简得x1x2＝－1.由①得x1＋x2＝3x，∴y＝y1＋y23＝13(x21＋x22)＝13[(x1＋x2)2－2x1x2]＝3x2＋23.故△AOB的重心G的轨迹方程为y＝3x2＋23.变式3如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2上异于坐标原点O的两个不同动点A，B满足OA⊥OB.(2)△AOB的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．(2)S△AOB＝12|OA|·|OB|＝12x21＋y21x22＋y22＝12x21x22＋x21y22＋x22y21＋y21y22.由(1)得S△AOB＝12x21＋x22＋2≥122x21·x22＋2＝122×－2＋2＝12×2＝1.当且仅当x21＝x22，即x1＝－x2＝1时，等号成立．∴△AOB的面积存在最小值，最小值