圆与相似-解直角三角形综合题精选有答案

解直1.（2012江苏镇江6分）如图，AB是⊙O的直径，DF⊥AB于点D，交弦AC于点E，FC=FE。（1）求证：FC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为5，2cosFCE=5，求弦AC的长。【答案】解：（1）连接OC，∵FC=FE，∴∠FCE=∠FEC（等边对等角）。∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA（等边对等角）。又∵∠FEC=∠AED（对项角相等），∴∠FCE=∠AED（等量代换）。又∵DF⊥AB，∴∠OAC＋∠AED=900（直角三角形两锐角互余）。∴∠OCA＋∠FCE=900（等量代换），即∠OCF=900。∴OC⊥CF（垂直定义）。又∵OC是⊙O的半径，∴FC是⊙O的切线（切线的定义）。（2）连接BC。∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900（直径所对圆周角是直角）。∵OB=OC。∴∠OBC=∠OCB（等边对等角）。∵∠OCB=∠ACB－∠ACO=900－∠ACO=∠OCF－∠ACO=∠FCE，∴∠OBC=∠FCE。又∵2cosFCE=5，∴2cosOBC=5。又∵⊙O的半径为5，∴AB=10。在Rt△ABC中，2BCABcosOBC=1045∴2222ACABBC104221。【考点】等腰三角形的性质，对项角的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，勾股定理。【分析】（1）要证FC是⊙O的切线，只要FC垂直于过C点的半径，所以作辅助线OC。由已知条件，根据等腰三角形的等边对等角性质，直角三角形两锐角互余的关系，经过等量代换即可得到。（2）构造直角三角形ABC，由等量代换得到∠OBC=∠FCE，从而得到2cosOBC=5，应用锐角三角函数知识和勾股定理即可求得弦AC的长。2（2012四川巴中10分）如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且∠AED=45°。（1）判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若⊙O的半径为6cm，AE=10cm，求∠ADE的正弦值。【答案】解：（1）连接BD，OD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°。∵∠ABD=∠E=45°，∴∠DAB=45°，则AD=BD。∴△ABD是等腰直角三角形。∴OD⊥AB。又∵DC∥AB，∴OD⊥DC，∴CD与⊙O相切。（2）过点O作OF⊥AE，连接OE，则AF=12AE=12×10=5。∵OA=OE，∴∠AOF=12∠AOE。∵∠ADE=12∠AOE，∴∠ADE=∠AOF。在Rt△AOF中，sin∠AOF=AF5AO6，∴sin∠ADE=sin∠AOF=AF5AO6。3（2012福建福州12分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，AD交⊙O于点E．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若∠B＝60º，CD＝23，求AE的长．【答案】解：(1)证明：如图，连接OC，∵CD为⊙O的切线，∴OC⊥CD。∴∠OCD＝90°。∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°。∴∠OCD＋∠ADC＝180°。∴AD∥OC。∴∠CAD＝∠ACO。∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO。∴∠CAD＝∠CAO，即AC平分∠DAB。(2)∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．又∵∠B＝60°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°。在Rt△ACD中，CD＝23，∴AC＝2CD＝43。在Rt△ABC中，AC＝43，∴AB＝ACcos∠CAB＝43cos30°＝8。连接OE，∵∠EAO＝2∠CAB＝60°，OA＝OE，∴△AOE是等边三角形。∴AE＝OA＝12AB＝4。【考点】切线的性质，平行的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质。【分析】(1)连接OC，由CD为⊙O的切线，根据切线的性质得到OC垂直于CD，由AD垂直于CD，可得出OC平行于AD，根据两直线平行内错角相等可得出∠CAD＝∠ACO，再由OA＝OC，利用等边对等角得到∠ACO＝∠CAO，等量代换可得出∠CAD＝∠CAO，即AC为角平分线。(2)由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角可得出∠ACB为直角，在Rt△ABC中，由∠B的度数求出∠CAB的度数为30°，可得出∠CAD的度数为30°。在Rt△ACD中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半，由CD的长求出AC的长，在Rt△ABC中，根据cos30°及AC的长，利用锐角三角函数定义求出AB的长，从而得出半径OE的长，由∠EAO为60°，及OE＝OA，得到△AEO为等边三角形，可得出AE＝OA＝OE，即可确定出AE的长。相似与圆1（2012广西北海10分）如图，AB是O的直径，AE交O于点E，且与O的切线CD互相垂直，垂足为D。（1）求证：∠EAC＝∠CAB；（2）若CD＝4，AD＝8：①求O的半径；②求tan∠BAE的值。【答案】（1）证明：连接OC。∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC。又∵CD⊥AE，∴OC∥AE。∴∠1＝∠3。∵OC＝OA，∴∠2＝∠3。∴∠1＝∠2，即∠EAC＝∠CAB。（2）解：①连接BC。∵AB是⊙O的直径，CD⊥AE于点D，∴∠ACB＝∠ADC＝90°。∵∠1＝∠2，∴△ACD∽△ABC。∴ADACACAB。∵AC2＝AD2＋CD2＝42＋82＝80，∴AB＝2ACAD808＝10。∴⊙O的半径为10÷2＝5。②连接CF与BF。∵四边形ABCF是⊙O的内接四边形，∴∠ABC＋∠AFC＝180°。∵∠DFC＋∠AFC＝180°，∴∠DFC＝∠ABC。∵∠2＋∠ABC＝90°，∠DFC＋∠DCF＝90°，∴∠2＝∠DCF。∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠DCF。∵∠CDF＝∠CDF，∴△DCF∽△DAC。∴CDDFADCD。∴DF＝22CDAD48＝2。∴AF＝AD－DF＝8－2＝6。∵AB是⊙O的直径，∴∠BFA＝90°。∴BF＝2222ABAF106＝8。∴tan∠BAD＝BFAF8463。【考点】切线的性质，平行的判定和性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接OC，由CD是⊙O的切线，CD⊥OC，又由CD⊥AE，即可判定OC∥AE，根据平行线的性质与等腰三角形的性质，即可证得∠EAC=∠CAB。（2）①连接BC，易证得△ACD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AB的长，从而可得⊙O的半径长。②连接CF与BF．由四边形ABCF是⊙O的内接四边形，易证得△DCF∽△DAC，然后根据相似三角形的对应边成比例，求得AF的长，又由AB是⊙O的直径，即可得∠BFA是直角，利用勾股定理求得BF的长，即可求得tan∠BAE的值。2（2012山东聊城10分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D．（1）当点P在什么位置时，DP是⊙O的切线？请说明理由；（2）当DP为⊙O的切线时，求线段DP的长．【答案】解：（1）当点P是BC的中点时，DP是⊙O的切线。理由如下：连接AP。∵AB=AC，∴ABAC。又∵PBPC，∴PBAPCA。∴PA是⊙O的直径。∵PBPC，∴∠1=∠2。又∵AB=AC，∴PA⊥BC。又∵DP∥BC，∴DP⊥PA。∴DP是⊙O的切线。（2）连接OB，设PA交BC于点E。．由垂径定理，得BE=BC=6。在Rt△ABE中，由勾股定理，得：AE=2222ABBE1068。设⊙O的半径为r，则OE=8﹣r，在Rt△OBE中，由勾股定理，得：r2=62+（8﹣r）2，解得r=254。∵DP∥BC，∴∠ABE=∠D。又∵∠1=∠1，∴△ABE∽△ADP，∴BEAEDPAP，即6825DP24，解得：75DP8。【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据当点P是BC的中点时，得出PBAPCA，得出PA是⊙O的直径，再利用DP∥BC，得出DP⊥PA，问题得证。（2）利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出△ABE∽△ADP，即可得出DP的长。3.（2012湖北恩施12分）如图，AB是⊙O的弦，D为OA半径的中点，过D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O于点F，且CE=CB．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；（3）如果CD=15，BE=10，sinA=513，求⊙O的半径．【答案】解：（1）证明：连接OB，∵OB=OA，CE=CB，∴∠A=∠OBA，∠CEB=∠ABC。又∵CD⊥OA，∴∠A+∠AED=∠A+∠CEB=90°。∴∠OBA+∠ABC=90°。∴OB⊥BC。∴BC是⊙O的切线。（2）连接OF，AF，BF，∵DA=DO，CD⊥OA，∴△OAF是等边三角形。∴∠AOF=60°。∴∠ABF=12∠AOF=30°。（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，∴EG=12BE=5。易证Rt△ADE∽Rt△CGE，∴sin∠ECG=sin∠A=513，∴EG5CE==135sinECG13。∴2222CGCEEG13512。又∵CD=15，CE=13，∴DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE得ADDECGGE，即AD2125，解得24AD5。∴⊙O的半径为2AD=485。【考点】等腰（边）三角形的性质，直角三角形两锐角的关系，切线的判定，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接OB，有圆的半径相等和已知条件证明∠OBC=90°即可证明BC是⊙O的切线。（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数。（3）过点C作CG⊥BE于点G，由CE=CB，可求出EG=12BE=5，由Rt△ADE∽Rt△CGE和勾股定理求出DE=2，由Rt△ADE∽Rt△CGE求出AD的长，从而求出⊙O的半径。4（2012江苏泰州12分）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5，OA与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=52，求⊙O的半径和线段PB的长；【答案】解：（1）AB=AC。理由如下：连接OB。∵AB切⊙O于B，OA⊥AC，∴∠OBA=∠OAC=90°。∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°。∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB。∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC。∴AB=AC。（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5－r。又∵PC=25，∴2222222222ABOAOB5rACPCPA255r，（）。由（1）AB=AC得22225r255r（），解得：r=3。∴AB=AC=4。∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC。∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA。∴CPAPPDBP，即2526BP，解得65PB=5。【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出∠OBA=∠OAC=90°，推出∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠CPB=90°，求出∠ACP=∠ABC，根据等腰三角形的判定推出即可。（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5－r，根据AB=AC推出22225r255r（），求出r，证△DPB∽△CPA，得出CPAPPDBP，代入求出PB即可。（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OE⊥MN，求出OE＜r，求出r范围，再根据相离得出r＜5，即可得出答案。