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1线性代数公式大全——最新修订1、行列式1.n行列式共有2n个元素,展开后有!n项,可分解为2n行列式;2.代数余子式的性质:①、ijA和ija的大小无关;②、某行(列)的元素乘以其它行(列)元素的代数余子式为0;③、某行(列)的元素乘以该行(列)元素的代数余子式为A;3.代数余子式和余子式的关系:(1)(1)ijijijijijijMAAM4.设n行列式D:将D上、下翻转或左右翻转,所得行列式为1D,则(1)21(1)nnDD;将D顺时针或逆时针旋转90,所得行列式为2D,则(1)22(1)nnDD;将D主对角线翻转后(转置),所得行列式为3D,则3DD;将D主副角线翻转后,所得行列式为4D,则4DD;5.行列式的重要公式:①、主对角行列式:主对角元素的乘积;②、副对角行列式:副对角元素的乘积(1)2(1)nn;③、上、下三角行列式(◥◣):主对角元素的乘积;④、◤和◢:副对角元素的乘积(1)2(1)nn;⑤、拉普拉斯展开式:AOACABCBOB、(1)mnCAOAABBOBC⑥、范德蒙行列式:大指标减小指标的连乘积;⑦、特征值;6.对于n阶行列式A,恒有:1(1)nnknkkkEAS,其中kS为k阶主子式;7.证明0A的方法:①、AA;②、反证法;③、构造齐次方程组0Ax,证明其有非零解;④、利用秩,证明()rAn;⑤、证明0是其特征值;2、矩阵1.A是n阶可逆矩阵:0A(是非奇异矩阵);()rAn(是满秩矩阵)A的行(列)向量组线性无关;齐次方程组0Ax有非零解;nbR,Axb总有唯一解;A与E等价;A可表示成若干个初等矩阵的乘积;2A的特征值全不为0;TAA是正定矩阵;A的行(列)向量组是nR的一组基;A是nR中某两组基的过渡矩阵;2.对于n阶矩阵A:**AAAAAE无条件恒成立;3.1**111**()()()()()()TTTTAAAAAA***111()()()TTTABBAABBAABBA4.矩阵是表格,推导符号为波浪号或箭头;行列式是数值,可求代数和;5.关于分块矩阵的重要结论,其中均A、B可逆:若12sAAAA,则:Ⅰ、12sAAAA;Ⅱ、111121sAAAA;②、111AOAOOBOB;(主对角分块)③、111OAOBBOAO;(副对角分块)④、11111ACAACBOBOB;(拉普拉斯)⑤、11111AOAOCBBCAB;(拉普拉斯)3、矩阵的初等变换与线性方程组1.一个mn矩阵A,总可经过初等变换化为标准形,其标准形是唯一确定的:rmnEOFOO;等价类:所有与A等价的矩阵组成的一个集合,称为一个等价类;标准形为其形状最简单的矩阵;对于同型矩阵A、B,若()()rArBAB;2.行最简形矩阵:①、只能通过初等行变换获得;②、每行首个非0元素必须为1;③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0;3.初等行变换的应用:(初等列变换类似,或转置后采用初等行变换)①、若(,)(,)rAEEX,则A可逆,且1XA;②、对矩阵(,)AB做初等行变化,当A变为E时,B就变成1AB,即:1(,)(,)cABEAB;③、求解线形方程组:对于n个未知数n个方程Axb,如果(,)(,)rAbEx,则A可逆,且1xAb;4.初等矩阵和对角矩阵的概念:①、初等矩阵是行变换还是列变换,由其位置决定:左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵;3②、12n,左乘矩阵A,i乘A的各行元素;右乘,i乘A的各列元素;③、对调两行或两列,符号(,)Eij,且1(,)(,)EijEij,例如:1111111;④、倍乘某行或某列,符号(())Eik,且11(())(())EikEik,例如:1111(0)11kkk;⑤、倍加某行或某列,符号(())Eijk,且1(())(())EijkEijk,如:11111(0)11kkk;5.矩阵秩的基本性质:①、0()min(,)mnrAmn;②、()()TrArA;③、若AB,则()()rArB;④、若P、Q可逆,则()()()()rArPArAQrPAQ;(可逆矩阵不影响矩阵的秩)⑤、max((),())(,)()()rArBrABrArB;(※)⑥、()()()rABrArB;(※)⑦、()min((),())rABrArB;(※)⑧、如果A是mn矩阵,B是ns矩阵,且0AB,则:(※)Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组0AX解(转置运算后的结论);Ⅱ、()()rArBn⑨、若A、B均为n阶方阵,则()()()rABrArBn;6.三种特殊矩阵的方幂:①、秩为1的矩阵:一定可以分解为列矩阵(向量)行矩阵(向量)的形式,再采用结合律;②、型如101001acb的矩阵:利用二项展开式;二项展开式:01111110()nnnnmnmmnnnnmmnmnnnnnnmabCaCabCabCabCbCab;注:Ⅰ、()nab展开后有1n项;Ⅱ、0(1)(1)!1123!()!mnnnnnnnmnCCCmmnmⅢ、组合的性质:111102nmnmmmmrnrrnnnnnnnnrCCCCCCrCnC;③、利用特征值和相似对角化:7.伴随矩阵:①、伴随矩阵的秩:*()()1()10()1nrAnrArAnrAn;4②、伴随矩阵的特征值:*1*(,)AAAXXAAAAXX;③、*1AAA、1*nAA8.关于A矩阵秩的描述:①、()rAn,A中有n阶子式不为0,1n阶子式全部为0;(两句话)②、()rAn,A中有n阶子式全部为0;③、()rAn,A中有n阶子式不为0;9.线性方程组:Axb,其中A为mn矩阵,则:①、m与方程的个数相同,即方程组Axb有m个方程;②、n与方程组得未知数个数相同,方程组Axb为n元方程;10.线性方程组Axb的求解:①、对增广矩阵B进行初等行变换(只能使用初等行变换);②、齐次解为对应齐次方程组的解;③、特解:自由变量赋初值后求得;11.由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程:①、11112211211222221122nnnnmmnmnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb;②、1112111212222212nnmmmnmmaaaxbaaaxbAxbaaaxb(向量方程,A为mn矩阵,m个方程,n个未知数)③、1212nnxxaaax(全部按列分块,其中12nbbb);④、1122nnaxaxax(线性表出)⑤、有解的充要条件:()(,)rArAn(n为未知数的个数或维数)4、向量组的线性相关性1.m个n维列向量所组成的向量组A:12,,,m构成nm矩阵12(,,,)mA;m个n维行向量所组成的向量组B:12,,,TTTm构成mn矩阵12TTTmB;含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应;2.①、向量组的线性相关、无关0Ax有、无非零解;(齐次线性方程组)②、向量的线性表出Axb是否有解;(线性方程组)③、向量组的相互线性表示AXB是否有解;(矩阵方程)3.矩阵mnA与lnB行向量组等价的充分必要条件是:齐次方程组0Ax和0Bx同解;(101P例14)4.()()TrAArA;(101P例15)5.n维向量线性相关的几何意义:①、线性相关0;②、,线性相关,坐标成比例或共线(平行);5③、,,线性相关,,共面;6.线性相关与无关的两套定理:若12,,,s线性相关,则121,,,,ss必线性相关;若12,,,s线性无关,则121,,,s必线性无关;(向量的个数加加减减,二者为对偶)若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量,构成n维向量组B:若A线性无关,则B也线性无关;反之若B线性相关,则A也线性相关;(向量组的维数加加减减)简言之:无关组延长后仍无关,反之,不确定;7.向量组A(个数为r)能由向量组B(个数为s)线性表示,且A线性无关,则rs(二版74P定理7);向量组A能由向量组B线性表示,则()()rArB;(86P定理3)向量组A能由向量组B线性表示AXB有解;()(,)rArAB(85P定理2)向量组A能由向量组B等价()()(,)rArBrAB(85P定理2推论)8.方阵A可逆存在有限个初等矩阵12,,,lPPP,使12lAPPP;①、矩阵行等价:~rABPAB(左乘,P可逆)0Ax与0Bx同解②、矩阵列等价:~cABAQB(右乘,Q可逆);③、矩阵等价:~ABPAQB(P、Q可逆);9.对于矩阵mnA与lnB:①、若A与B行等价,则A与B的行秩相等;②、若A与B行等价,则0Ax与0Bx同解,且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性;③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩;④、矩阵A的行秩等于列秩;10.若mssnmnABC,则:①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示,B为系数矩阵;②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示,TA为系数矩阵;(转置)11.齐次方程组0Bx的解一定是0ABx的解,考试中可以直接作为定理使用,而无需证明;①、0ABx只有零解0Bx只有零解;②、0Bx有非零解0ABx一定存在非零解;12.设向量组12:,,,nrrBbbb可由向量组12:,,,nssAaaa线性表示为:(110P题19结论)1212(,,,)(,,,)rsbbbaaaK(BAK)其中K为sr,且A线性无关,则B组线性无关()rKr;(B与K的列向量组具有相同线性相关性)(必要性:()()(),(),()rrBrAKrKrKrrKr;充分性:反证法)注:当rs时,K为方阵,可当作定理使用;13.①、对矩阵mnA,存在nmQ,mAQE()rAm、Q的列向量线性无关;(87P)②、对矩阵mnA,存在nmP,nPAE()rAn、P的行向量线性无关;14.12,,,s线性相关存在一组不全为0的数12,,,skkk,使得11220sskkk成立;(定义)1212(,,,)0ssxxx有非零解,即0Ax有非零解;12(,,,)srs,系数矩阵的秩小于未知数的个数;15.设mn的矩阵A的秩为r,则n元齐次线性方程组0Ax的解集S的秩为:()rSnr;16.若*为Axb的一个解,12,,,nr为0Ax的一个基础解系,则*12,,,,nr线性无关;(111P题33结论)65、相似矩阵和二次型1.正交矩阵TAAE或1TAA(定义),性质:①、A的列向量都是单位向量,且两两正交,即1(,1,2,)0Tijijaaijnij;②、若A为正交矩阵,则1
本文标题:线性代数公式大全--最全最完美
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