2018秋高三期中考试试卷数学(扬州卷)

2018秋高三期中考试试卷(二)数学(满分160分，考试时间120分钟)2018．11一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1.已知i为虚数单位，若复数z满足z1－2i＝1＋i，则复数z＝________．2.函数y＝4－2x的定义域为________．3.已知x，y∈R，直线(a－1)x＋y－1＝0与直线x＋ay＋2＝0垂直，则实数a的值为________．4.已知函数f(x)为偶函数，且x0时，f(x)＝x3＋x2，则f(－1)＝________．5.已知向量m＝(1，a)，n＝(4a，3a＋1)．若m∥n，则实数a＝________．6.设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a＝26，b＝6，cosB＝－12，则角A的大小为________．7.设实数x，y满足x－y≥0，x＋y≤1，x＋2y≥1，则3x＋2y的最大值为________．8.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y2＝2px(p0)上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为________．9.已知条件p：xa，条件q：1－xx＋20.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．10.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线x2m－y2m＋1＝1的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为__________．11.若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ2)的部分图象如图所示，则函数f(x)在[－π，0]上的单调增区间为________．12.在△ABC中，AH是边BC上的高，点G是△ABC的重心．若△ABC的面积为6＋1，AC＝5，tanC＝2，则(AH→＋BC→)·(GB→＋GC→)＝________．13.已知正实数a，b满足2a＋b＝3，则2a2＋1a＋b2－2b＋2的最小值是________．14.已知函数f(x)＝22x－x2，g(x)＝lnx－ax＋5(e为自然对数的底数，e≈2.718)．对于任意的x0∈(0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的x1，x2，使得g(x1)＝g(x2)＝f(x0)，则整数a的取值集合是__________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)在△ABC中，已知3AB→·AC→＝|AB→||AC→|，设∠BAC＝α.(1)求tanα的值；(2)若cosβ＝35，β∈(0，π2)，求cos(β－α)的值．16.(本小题满分14分)已知a∈R，函数f(x)＝a－1|x|.(1)若f(x)≤2x对x∈(0，2)恒成立，求实数a的取值范围；(2)当a＝1时，解不等式f(x)≥2x.17.(本小题满分15分)在平面直角坐标系xOy中，已知直线x－3y－10＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r0)相切．(1)若直线l过点(2，1)且截圆O所得的弦长为26，求直线l的方程；(2)已知直线y＝3与圆O交于A，B两点，P是圆上异于A，B的任意一点，且直线AP，BP与y轴相交于M，N点．判断点M，N的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．18.(本小题满分15分)江苏省园博会有一中心广场，南京园、常州园都在中心广场的南偏西45°方向上，到中心广场的距离分别为2km、22km；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为10km.现规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园、常州园、扬州园到柏油路的最短路径铺设成鹅卵石路(如图(1)、(2))．已知铺设每段鹅卵石路的费用(万元)与其长度的平方成正比，比例系数为2.设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中∠COF为θ(θ∈(0，π4))，铺设三段鹅卵石路的总费用为y(万元)．(1)求南京园到柏油路的最短距离d1关于θ的表达式；(2)求y的最小值及此时tanθ的值．19.(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右准线方程为直线x＝2，且两焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)假设直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于A，B两点．①若A为椭圆的上顶点，M为线段AB中点，连结OM并延长交椭圆C于点N，且ON→＝62OM→，求OB的长；②若原点O到直线l的距离为1，并且OA→·OB→＝λ，当45≤λ≤56时，求△OAB的面积S的范围．20.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝lnxx，g(x)＝x2－2x.(1)求f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程；(2)若关于x的不等式f2(x)＋tf(x)0有且仅有三个整数解，求实数t的取值范围；(3)若h(x)＝g(x)＋4xf(x)存在两个正实数x1，x2，满足h(x1)＋h(x2)－x21x22＝0，求证：x1＋x2≥3.2018秋高三期中考试试卷(二)数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)21.(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋1在矩阵0111对应的变换下得到的直线过点P(3，2)，求实数k的值．22.(本小题满分10分)假定某人在规定区域投篮命中的概率为23，现他在某个投篮游戏中，共投篮3次．(1)求连续命中2次的概率；(2)设命中的次数为X，求X的分布列和数学期望E(X)．23.(本小题满分10分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，AC＝BC＝AA1＝A1C＝2，平面ACC1A1⊥平面ABC.现以边AC的中点D为坐标原点，平面ABC内垂直于AC的直线为x轴，直线AC为y轴，直线DA1为z轴建立空间直角坐标系．(1)求异面直线AB与A1C所成角的余弦值；(2)求直线AB与平面A1BC所成角的正弦值．24.(本小题满分10分)已知正项数列{an}满足an＋1＝an－a2n(n∈N*)．求证：(1)0a11，且当n≥2时，an≤1n＋2；(2)2018秋高三期中考试试卷(二)(扬州)数学参考答案及评分标准1.3－i2.(－∞，2]3.124.25.16.π47.38.x＝－39.a≤－210.y＝±52x11.(－3，0)(区间开闭皆可)12.113.13514.{3，4，5，6，7}15.解：(1)由3AB→·AC→＝|AB→|·|AC→|，得3|AB→|·|AC→|cosα＝|AB→|·|AC→|，所以cosα＝13.因为0＜α＜π，所以sinα＝1－cos2α＝1－（13）2＝23.所以tanα＝2.(6分)(2)因为cosβ＝35，β∈(0，π2)，所以sinβ＝45.(8分)由(1)知sinα＝23，所以cos(β－α)＝cosβcosα＋sinβsinα＝35×13＋45×23＝33＋4615.(14分)16.解：(1)∵f(x)≤2x对x∈(0，2)恒成立，∴a≤1x＋2x对x∈(0，2)恒成立．∵1x＋2x≥22，当且仅当1x＝2x，即x＝22时取等号，∴a≤22.(6分)(2)当a＝1时，f(x)＝1－1|x|，∵f(x)≥2x，∴1－1|x|≥2x(*)．①若x＞0，则(*)可化为2x2－x＋1≤0，∴x∈∅；(9分)②若x＜0，则(*)可化为2x2－x－1≥0，解得x≥1或x≤－12.∵x＜0，∴x≤－12.(12分)由①②可得，(*)式的解集为(－∞，－12]．(14分)17.解：∵直线x－3y－10＝0与圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)相切，∴圆心O到直线x－3y－10＝0的距离r＝|10|1＋9＝10.(2分)(1)记圆心到直线l的距离为d，∴d＝10－6＝2.当直线l与x轴垂直时，直线l的方程为x＝2，满足题意；(3分)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y－1＝k(x－2)，即kx－y＋(1－2k)＝0，∴d＝|1－2k|1＋k2＝2，解得k＝－34，此时直线l的方程为3x＋4y－10＝0.(6分)综上，直线l的方程为x＝2或3x＋4y－10＝0.(7分)(2)设P(x0，y0)．∵直线y＝3与圆O交于A，B两点，不妨取A(1，3)，B(－1，3)，∴直线PA，PB的方程分别为y－3＝y0－3x0－1(x－1)，y－3＝y0－3x0＋1(x＋1)．令x＝0，得M(0，3x0－y0x0－1)，N(0，3x0＋y0x0＋1)，则yM·yN＝3x0－y0x0－1·3x0＋y0x0＋1＝9x20－y20x20－1(*)．(13分)∵点P(x0，y0)在圆C上，∴x20＋y20＝10，即y20＝10－x20，代入(*)式，得yM·yN＝9x20－（10－x20）x20－1＝10为定值．(15分)18.解：(1)∵∠COF＝θ，南京园在中心广场的南偏西45°方向上，且到中心广场的距离为2km，∴∠AOE＝π4－θ，∴d1＝2sin(π4－θ)．(4分)(2)分别设点B，C到直线EF的距离为d2，d3.由(1)知d2＝22sin(π4－θ)，d3＝10sinθ，∴y＝2{[2sin(π4－θ)]2＋[22sin(π4－θ)]2＋(10sinθ)2}＝201－cos（π2－2θ）2＋1－cos2θ2＝20－10(sin2θ＋cos2θ)＝20－102sin(2θ＋π4)，θ∈(0，π4)．(9分)∵θ∈(0，π4)，∴2θ＋π4∈(π4，3π4)，∴当2θ＋π4＝π2时，ymin＝20－102(万元)．(12分)此时2θ＝π4，∴tan2θ＝2tanθ1－tan2θ＝1，解得tanθ＝2－1.(14分)答：铺设三条鹅卵石路的总费用为(20－102)万元，此时tanθ的值为2－1.(15分)19.解：(1)因为两焦点与短轴的一个顶点的连线构成等腰直角三角形，所以a＝2c.由右准线方程为直线x＝2，得a2c＝2，解得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝1，所以椭圆C的方程为x22＋y2＝1.(4分)(2)①设B(x1，y1)，而A(0，1)，则M(x12，1＋y12)．因为ON→＝62OM→，所以N(6x14，6（1＋y1）4)．因为点B，N都在椭圆上，所以x212＋y21＝1①3x2116＋3（1＋y1）28＝1②，将②式两边同时乘以83再减去①式，解得y1＝13，x21＝169.(8分)所以OB＝x21＋y21＝169＋（13）2＝173.(9分)②由原点O到直线l的距离为1，得|m|1＋k2＝1，化简得1＋k2＝m2.联立直线l的方程与椭圆C的方程y＝kx＋m，x22＋y2＝1，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－4km1＋2k2，x1x2＝2m2－21＋2k2，且Δ＝8k2＞0.(11分)因为OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝(1＋k2)2m2－21＋2k2－4k2m21＋2k2＋m2＝2m2－2＋2k2m2－2k2－4k2m2＋m2＋2k2m21＋2k2＝3m2－2－2k21＋2k2＝1＋k21＋2k2＝λ，所以k2＝1－λ2λ－1.△OAB的面积S＝12×1×AB＝121＋k2|x1－x2|＝121＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝121＋k28k2（1＋2k2）2＝2（1＋k2）k2（1＋2k2）2＝2λ（1－λ）.(14分)因为S＝2λ（1－λ）在45，56上为单调减函数，且当λ＝45时，S＝225，当λ＝56时，S＝106，所以△OAB的面积S的范围是106，225.(16分)20.(1)解：因为f(x)＝lnxx，f(1)＝0，所以P点坐标为(1，0)．又f′(x)＝1－lnxx2，f′(1)＝1，则切线方程为y－0＝x－1，所以函数f(x)在点P(1，f(1))处的切线方程为x－y－1＝0.(3分)(2)解：f′(x)＝1－lnxx2(x＞0)．x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)单调递增极大值单调递减由f2(x)＋tf(