二次插值法课件

4.3二次插值法（抛物线插值法）演讲者：刘楠4.3.1基本思想问题求解的解，我们利用在某些点的信息去构造一个插值多项式,用去拟合，然后求出的极小点，以作为的估计值。通常取为二次或三次多项式，即得到二次或三次插值法。二次插值法的特点就是把插值多项式取为二次多项式。1min()tRt*t()t()Pt()Pt()t()Pt*t()Pt()Pt4.3.2三点二次插值法设已知函数在三点，，且处的函数值为，和，为了保证在区间内存在着函数的一个极小点，在选取，和时要求它们满足条件1t2t3t123ttt12313(,)tt()t1t2t3t123()()()ttt即从“两头高中间低”的搜素区间开始，我们可以通过，，三点作一条二次插值多项式曲线（抛物线），并且认为这条抛物线在区间上近似于曲线。于是可以用这条抛物线的极小点，作为极小点的近似。11(,)t22(,)t33(,)t13(,)tt()t()Pt()t设通过三点，，的抛物线为11(,)t22(,)t33(,)t20122(),0Ptaatata使得21011211()Ptaatat22012222()Ptaatat23013233()Ptaatat从上面的三个方面解出可以得到012,,aaa233112123121323213132()()()()()()()()()()()()()ttttttttttttPttttttttttttt22(,)t33(,)t然后求的极小点。()Pt令，可解得'()0Pt222222123231312231312123()()()2()()()tttttttttttt点即为的极小点的一次近似，然后算出在点处的函数值。现在我们已有四个点，，和，从中找出相邻的且满足“两头高中间低”的三点，然后又以这三点作二次抛物线，……，如此重复下去，就得到的极小点的新估计值，直至满足一定的精度要求（）为止。这个方法称为三点二次插值法。()t()11(,)t22(,)t33(,)t(,)()t2t1.找，，，满足和；1t2t3t123ttt123()()()ttt2.求和；()3.判断，若则停止迭代，输出函数值最小的那点；否则转到4；2t2t4.找新的，，，从，，和找出满足“两头高中间低”的相邻三点分别作为新的，，，转到2。11(,)t22(,)t33(,)t(,)1t2t3t1t2t3t222222123231312231312123(-)(-)(-)2(-)(-)(-)tttttttttttt4.3.3二点二次插值法如果知道一点的函数值和导数值及另一点的函数值，也可以用二次插值法。已知在处的函数值和导数值以及在另一点处的函数值，我们可以作二次多项式，使其满足下列条件()t1t1'102t2()Pt11()Pt''11()Pt22()Pt为保证二次插值有极小点，要求()Pt'21121()tt或'20由条件易得211()()()PtAttBttC其中1C'1B'21121221()()ttAtt令，得'()0Pt'21211'21121()2()ttttt它可作为的极小点的估计值，其算法与前边类似，此方法称为二点二次插值法。()t1.找，，满足和，；1t2t12tt'1()0t2.求和；()3.判断，若则停止迭代，输出函数值最小的那点；否则转到4；1,2miniit4.找出新的，，从，和找出函数值最小的那点和与其满足满足条件1的另一点作为新的，，转到2。11(,)t22(,)t(,)1t2t1t2t'21211'21121()2()ttttt'2()0t1,2miniit