核反应堆物理分析习题答案-第四章

第四章1.试求边长为,,abc（包括外推距离）的长方体裸堆的几何曲率和中子通量密度的分布。设有一边长0.5,0.6abmcm（包括外推距离）的长方体裸堆，0.043,Lm42610m。（1）求达到临界时所必须的k；（2）如果功率为15000,4.01fkWm，求中子通量密度分布。解：长方体的几何中心为原点建立坐标系，则单群稳态扩散方程为：222222()0aaDkxyz边界条件：(/2,,)(,/2,)(,,/2)0ayzxbzxyc（以下解题过程都不再强调外推距离，可认为所有外边界尺寸已包含了外推距离）因为三个方向的通量拜年话是相互独立的，利用分离变量法：(,,)()()()xyzXxYyZz将方程化为：22221kXYZXYZL设：222222,,xyzXYZBBBXYZ想考虑X方向，利用通解：()cossinxxXxABxCBx代入边界条件：1cos()0,1,3.5,...2xnxxanABBnBaa同理可得：0(,,)cos()cos()cos()xyzxyzaaa其中0是待定常数。其几何曲率：22222()()()106.4gBmabc（1）应用修正单群理论，临界条件变为：221gkBM其中：2220.00248MLm1.264k（2）只须求出通量表达式中的常系数03222002222cos()cos()cos()()abcabcffffffVPEdVExdxydyzdzEabcabc3182102()1.00710ffPmsEabc2.设一重水—铀反应堆的堆芯222221.28,1.810,1.2010kLmm。试按单群理论，修正单群理论的临界方程分别求出该芯部的材料曲率和达到临界时候的总的中子不泄露几率。解：对于单群理论：在临界条件下：2222110.781311gmBLBL（或用1k）对于单群修正理论：2220.03MLm22219.33MkBmL在临界条件下：2222110.781311gmBMBM（注意：这时能用1k，实际上在维持临界的前提条件下修正理论不会对不泄露几率产生影响，但此时的几何曲率、几何尺寸已发生了变化，不再是之前的系统了。）4.设有圆柱形铀-水栅装置，R=0.50米，水位高度H=1.0米，设栅格参数为：k∞=1.19，L2=6.6×10-4米2，τ=0.50×10-2米2。（a）试求该装置的有效增殖系数k；（b）当该装置恰好达临界时，水位高度H等于多少？（c）设某压水堆以该铀-水栅格作为芯部，堆芯的尺寸为R=1.66米，H=3.50米，若反射层节省估算为δr=0.07米，δH=0.1米。试求反应堆的初始反应性ρ以及快中子不泄漏几率和热中子不泄漏几率。5.一个球壳形反应堆，内半径为1R,外半径为2R，如果球的内、外均为真空，求证单群理论的临界条件为：11211tantan1tanBRBRBRBRBR解答：以球心为坐标原点建立球坐标系，单群稳态扩散方程：2222Brrr边界条件：i.1lim0;xRJii.2()0R（如果不2R包括了外推距离的话，所得结果将与题意相悖）球域内方程通解：cossin()BrBrrACrr由条件i可得：111111221111cossinsincoslim0rRrRBRBRBRBRJDABACBCRRRR1111111111cossintansincostan1BRBRBRBRBRCAABRBRBRBRBR由条件ii可得：由此可见，11211tantantan1BRBRBRBRBR，证毕。7.一由纯235U金属33(18.710/)kgm组成的球形快中子堆，其周围包以无限厚的纯238U33(19.010/)kgm，试用单群理论计算其临界质量，单群常数如下：23512381:1.5,1.78,35.4,2.51;:0,0.18,35.4fatrfatrUbbmvUbm。解：以球心为左边原点建立球左边系，对于U-235和U-238分别列单群稳态扩散方程，设其分界面在半径为R处：255251235:kUL方程1288281238:UL方程2边界条件：i.50limrii.58()()RRiii.5858rRrRDDrriv.8lim0r令2251kBL（.在此临界条件下，既等于材料曲率，也等于几何曲率），球域内方程1通解：555cossin()BrBrrACrr由条件i可知50A，所以：5sin()BrrCr球域内方程2通解：88888exp(/)exp(/)()rLrLrACrr由条件iv可知,所以：888exp(/)()rLrAr由条件ii可得：88exp(/)exp(/)sinsinRLRLBRCACARRBR由条件iii可得：888582885(1)exp()cossin11()()exp()sincosRRDLLBRBRRDCBDACARRLRRLDBRBRBR所以（由题目已知参数,5,858,5,81133trtrtrtrDD）888858(1)exp()exp(/)sincos(1)sinsincossinRRLLDRLRAABRBRBRBRBRBRBRDBRL即：8cossinRBRBRBRL88cot(1/)1cossinarcBLBRBRRBLB代入数据：3283585104.7910ANNmM3283888104.8110ANNmM,5,5,5,52325,5,521258,5,58835552.11511.31103129.1710.10433cot(1/)/2arctan(1/)0.06474421.33ffaaafafvvkLmkBmLLmarcBLBLRmBBmVRkg8.试证明有限高半圆形反应堆中子通量密度分布和几何曲率11(,)()sincos()xrzrzAJRH2221()()gxBRH其中：13.89x是11()Jx的第一个零点，即。证明：（1）书上图4-8所示的柱坐标系下，单群稳态扩散方程可写为（临界条件下，几何曲率与材料曲率相等）：2222222211,(0,0,/2/2)gBrRHZHrrrrz边界条件（不考虑外推距离）：i.00rRrII.00III./2/20zHzH(注意,这里不能用线性微分方程解的存在唯一性定理：如果()(1,2,,),()iatinft都是区间,ab上的连续函数，则对于任一0(,)tab及任意的(0)(1)(2)(1)0000,,,,nxxxx方程：()()11()nnnnxaxaxaxft存在唯一解()xt定义于区间,ab上，且满足初值条件()()00()(0,,1),kkxtxkn而此扩散方程并非线性微分方程。）对于表达式：111(,,)()sincos(),3.89xrzrzAJxRH不难证明其满足上述全部三个边界条件。11((0)(3.89)0)JJ（2）将表达式代入方程，其中，已知如下条件：101,nnnxJnJxJJJ可推得：101JxJJx10001001110011222212(1)JxJJJJxJJJJJxJJJJxxxxxxxx111111110()()()()xrJxrxrxxrRJJJRRrRR1220211111111111102211()22()()1()()()()()xrJxrxrxrxxrxrxrxrRJJJJJxrxrRRRRrRRRRRR所以：2211111022112()()()xxrxrxrJJrRRRRrxrJR11110111()()()xrxxrJJrrRRrRxrJR2112221111()()xrJrrRxrJR所以：11221121111111002222222111()()211()()()()()()xrxrJJxxrxrxrxrxrRRJJJxrrRRRRrRRrrrrrxrRJR再有：2222cos()()cos()zFHzzHH所以方程为：2221gxBRH可知该表达式为方程的解。证毕。（也可如此推出解的形式：分离变量：(,,)()()()rzrQZz方程变形：2222222211gdddQdZdrrdrddzBrQZ设：222dQdnQ（n为任意实数），222zdZdzBZ；2222222222221()0gzrrddndddrrdrBBBrrBnrdrdr变量替换：22222,()(),()0rrddxBrBxrxxxndxdx此为nBessel阶方程，通解为()()()()()nnrnnrJxJBrrYxYBx由边界条件i可得,n须取使(0)0nJ的值，在其中，我们只去基波，即1n，相应的1rBRx：11()(/)rJxrR相应的：()sinsinQAC由边界条件ii可得：0,()sinCQA对于z有：()sin()cos()zzzzZzABzCBz由边界条件ii可得，0,/,()cos(/)zzzABHZzCzH所以:11(/)sincos(/)AJxrRzH10.设有均匀圆柱形裸堆，其材料曲率等于，试求：（1）使临界体积为最小的/RH的值；（2）最小临界体积V与2mB的关系。解：（1）对于均匀圆柱体裸堆，其几何曲率：2222.405()()gBHR可得，在临界条件下：22222.405()gRBH临界体积：2322222.405gHVRHBH其取最小值时:0dVdH,即：222322222222222222.40532.4053203()2()ggggggHHBHBHBHHBHBHB222222222.4052.40532.4053223/ggggRRBBBB所以：22.4050.54122R（2）由上可得临界最小体积：2222232.405332.4053322gggVRHBBB由于临界条件下：22gmBB，所以：3148.4/mVB11.设有意纯239Pu33(14.410/)kgm组成的球形快中子临界裸堆，试用下列单群常数：2.19,1.85,0.26,6.8frtrvbbb计算其临界半径与临界质量。解：由已知条件可得：3283103.6410ANNmM1.92ffafrvvk232111.771033()aatrtrfrDLmNN设临界半径为R，则临界条件：22